Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng CB’D’.. Tính độ dài đoạn MN theo a..[r]
(1)SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005-2006 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề sin x m sin x 2m cos x Câu Cho phương trình 3 0; Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn Câu x x2 lim x2 1) Tìm x 2) Tìm m để phương trình x 3x (m 2) x m 0 có ba nghiệm phân biệt, đó có nghiệm âm và nghiệm dương x y sin x m y sin y m Câu Tìm m để hệ phương trình x có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x 2 ;0 y 2 Câu Cho tứ diện SABC M là điểm nằm bên tam giác ABC (không nằm trên các cạnh) Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC tương ứng cắt các mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) các điểm A’, B’, C’ 1) Tùy theo vị trí M hãy trình bày cách dựng các điểm A’, B’, C’ MA ' MB ' MC ' 2) Xác định vị trí điểm M để đại lượng SA SB SC đạt GTLN Câu Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: (b c a)2 (c a b ) (a b c )2 (b c)2 a (c a)2 b2 (a b) c - Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! Chữ kí giám thị 1:……………………… Chữ kí giám thị 2:……………………… (2) Họ và tên thí sinh:………………………………………… SBD:………………… SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Cho hai phương trình sau 2sin x sin a sin x a.sin x a 1 cos x 2sin x 2sin x a 1 (1) (2) a Giải các phương trình trên với a b Tìm a để hai phương trình trên tương đương 3 sin x sin y sin z cos x cos y cos z Câu Giải hệ phương trình lim Câu Tìm 1 n 1 3 2n n Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A1B1C1D1 Một mặt phẳng ̣ P thay đổi song song với hai đáy lăng trụ cắt các đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DA1 các điểm M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng P cho diện tích tứ giác MNPQ đạt GTLN Câu Tìm tất các số nguyên dương a b c cho 1 1 1 a b c - Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! Chữ kí giám thị 1:……………………… Chữ kí giám thị 2:……………………… Họ và tên thí sinh:………………………………………… SBD:………………… (3) SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3 điểm)Tìm tất các giá trị x 0;2 cho: 2cos x sin x sin x 2 Câu (2 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn abc1 Cmr: 1 a b c 1 b c a Câu (2 điểm)Cho dãy số un n n 1, n 1,2,3, ; a Với 1, tìm lim un b Tìm để dãy số có giới hạn Câu (3 điểm) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D vẽ các đường thẳng d A OA, d B OB, d C OC , d D OD Các sậưp đường thẳng d A và d B , d B và dC , dC và d D , d D và d A tương ứng cắt K, L, M, N a Cmr KM, LN cắt O b Gọi p, q, r là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM Tính độ dài đoạn ON - Hết - Cán coi thi không giải thích gì thêm (4) - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Tìm các giá trị a để phương trình dau có nghiệm: 1 2a 1 a 5a x a x a x 3a 1 Câu Tìm số tự nhiên a bé để phương trình sau có nghiệm: cos a x 2cos a x cos 3 x x cos 2 2a 2a Câu Cho ABC có tan A tan C tan B Cmr cos A cos C Câu Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E là giao điểm AC và BD Cmr ba trung điểm ba đoạn thẳng AD, BC, OE thẳng hàng thì AB CD AEB 900 Câu Cho x, y, z là các số dương, t/m: x+y+z=3 Tìm GTNN biểu thức: P x y z xy yz zx - Hết - (5) - Cán coi thi không giải thích gì thêm - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2, điểm) Giải hệ phương trình: x3 y (1 y ) x y (2 y ) xy 30 0 2 x y x(1 y y ) y 11 0 (2 Câu (2, điểm) Giải phương trình: x 3)cos x 2sin 1 2cos x Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho đa giác 2n đỉnh A1 A2 A2 n ( với n là số nguyên lớn 1) Hỏi có tất bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh đa giác đã cho Câu (2, điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 2, BC a, SA SB SC SD 2a K là hình chiếu vuông góc B trên AC, H là hình chiếu vuông góc K trên SA a Tính HK b M, N là trung điểm đoạn thẳng AK, CD Cmr BM MN Câu (1, điểm) Cho x, y, z là các số dương, t/m x+y+z=1 Cmr : 1 27 xy yz xz (6) - Hết - Cán coi thi không giải thích gì thêm - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (2 điểm) Giải phương trình: 3tan2 x cotx 2 cos x 0 cos x cotx Câu II (2,5 điểm) Cho khai triển: 1 x x x x 2010 2011 a0 a1 x a2 x a3 x a4042110 x 4042110 a Tính tổng a0 a2 a4 a4042110 b Chứng minh đẳng thức sau: 2010 2011 C2011 a2011 C2011 a2010 C2011 a2009 C2011 a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A và số đó chia hết cho Câu III (2,5 điểm) u Cho dãy số n xác định sau u1 2011; un n un un , u với n , n 2 Chứng minh dãy số n có giới hạn và tìm giới hạn đó Tính giới hạn: * x x 3x x x2 A lim Câu IV (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất các mặt là hình vuông cạnh a A ' BD và đường thẳng AC ' qua Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng trọng tâm tam giác A ' BD Hãy xác định các điểm M, N nằm trên các cạnh A’D, CD’ cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a -Hết - (7) Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (8) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (1,5 điểm) tan x tan x sin x 2 4 Giải phương trình: tan x Câu (3,0 điểm) Gọi A là tập hợp tất các số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị Chứng minh đẳng thức sau: 2012 2012 2 2012 2012 C C C C 2 2011 2012 1006 C2012 C2012 C2012 Câu (2,5 điểm) Chứng minh phương trình x x 0 có ba nghiệm thực phân biệt Hãy tìm nghiệm đó sin n u1 sin1; un un u n , với Cho dãy số n xác định bởi: u Chứng minh dãy số n xác định trên là dãy số bị chặn n , n 2 Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên và 3a ( a ) Hãy xác định điểm O cho O cách tất các đỉnh hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh đường 1 1 2 2 2 thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết SH SA SB SC Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD, BC AD, AC BD và điểm X thay đổi không gian Tìm vị trí điểm X cho tổng XA XB XC XD đạt giá trị nhỏ —Hết— Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… (9) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác đúng và đủ ý thì cho điểm tối đa - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn - Với bài hình học thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó II ĐÁP ÁN: Câ Ý u 1,5 điểm Điể m Nội dung trình bày cos x 0 x k Điều kiện: (*) 2 Phương trình đã cho tương đương với: cos x(tan x tan x) sin x cos x 2sin x 2sin x.cos x sin x cos x 2sin x(sin x cos x) sin x cos x (sin x cos x)(2sin x 1) 0 sin x cos x 0 tan x x k + Với 5 2sin x 0 sin x x k 2 ; x k 2 6 + Với 0,25 0,5 0,25 0,25 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình đã cho là: x 5 k ; x k 2 ; x k 2 (k ) 6 0,25 1,5 điểm Số các số tự nhiên có chữ số là 99999 10000 1 90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị là: abcd1 Ta có abcd1 10.abcd 3.abcd 7.abcd chia hết cho và 0,5 h là số nguyên 0,5 3.abcd chia hết cho Đặt và h 3t 3.abcd 7h abcd 2h Khi đó ta được: abcd 7t 1000 7t 9999 998 9997 t t 143, 144, , 1428 7 suy số cách chọn t cho số 0,5 (10) abcd1 chia hết cho và chữ số hàng đơn vị là 1286 1286 0, 015 Vậy xác suất cần tìm là: 90000 1,5 điểm 1 x Xét đẳng thức 2012 +) Ta có C 1 x 2012 .1 x 2012 2012 x k C2012 x2 2012 0,5 k k 0 2012 suy hệ số số hạng chứa x là 1 x 2012 .1 x 2012 2012 2012 k k k C2012 xk x C2012 k 0 k 0 +) Ta có 2012 suy hệ số số hạng chứa x là 0,5 o 2012 2011 2010 2009 2012 2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 2 2 2 2011 2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 0,5 1006 2012 Từ đó suy đẳng thức cần chứng minh 1,5 điểm Đặt có f x 8 x x ; tập xác định D suy hàm số liên tục trên Ta 0,25 1 f 1 3, f 1, f 1, f 1 1 2 suy 1 1 f 1 f 0, f f 0, f f 1 2 2 Từ bất đẳng thức này và f x 0 tính liên tục hàm số suy pt có ba nghiệm phân biệt thuộc 0,5 0,25 1; 1 Đặt x cos t , t 0; thay vào pt ta được: 4cos3 t 3cos t 1 cos 3t cos 2 t k , kết hợp với t 0; ta 5 7 t ; ; 9 Do đó phương trình đã cho có nghiệm: 5 7 x cos , x cos , x cos 9 0,5 1,0 điểm 1 1 2 n Nhận xét Với số nguyên dương n ta có: 1 1 1 2 n 1.2 2.3 n n 1 Thật vậy, ta có 1 1 1 1 2 2 n n n suy nhận xét chứng minh 0,5 (11) Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được: un sin1 sin sin n 2 n 1 un 2 n Ta có với n (theo nhận xét trên) (1) 1 un n 1 Mặt khác với n (theo nhận xét trên) (2) Từ 0,25 0,25 (1) và (2) suy dãy số đã cho bị chặn 1,0 điểm S M D O C 0,25 I A B Gọi I AC BD Do SA SB SC SD nên các tam giác SAC, SBD cân đỉnh S nên SI vuông góc với AC, BD suy SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy điểm nằm trên đường thẳng SI cách các đỉnh A, B, C, D Trong tam giác SIC, dựng trung trực cạnh SC cắt đường thẳng SI O 0,25 suy OS OA OB OC OD SM SC 3a.3a 9a 2a SM SC SO.SI SO 2 2 SI SA IA 9a a Ta có 2a SO Vậy 0,5 1,0 điểm 0,25 A H C S K B D Gọi K là giao điểm đường thẳng AH và BC; mặt phẳng (SBC) gọi (12) D là giao điểm đường thẳng qua S, vuông góc với SC Ta có BC vuông góc với SH và SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy BC vuông góc với SK 1 2 2 Trong tam giác vuông SAK ta có SH SA SK , kết hợp với giả thiết ta 1 2 2 SK SB SC (1) 1 2 2 Trong tam giác vuông SDC ta có SK SD SC (2) Từ (1) và (2) ta SB SD , từ đó suy B D hay suy SB vuông góc 0,5 0,25 với SC 1,0 điểm A Q M G D B 0,25 N P C Gọi G là trọng tâm tứ diện; M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AN BN suy MN AB , tương tự ta chứng minh MN CD và đường thẳng PQ vuông góc với hai đường thẳng BC, AD Từ đó suy GA GB GC GD XA XB XC XD Ta có XA.GA XB.GB XC.GC XD.GD GA XA.GA XB.GB XC.GC XD.GD GA XG GA GB GC GD 4.GA2 GA 4GA Dấu xảy và X 0,25 trùng với điểm G Vậy XA XB XC XD nhỏ và X là trọng tâm tứ diện ABCD 0,5 (13)