Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Yên lớp 9 THCS năm học: 2012 – 2013 môn thi: Toán39460

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP PHÚ YÊN THCS Năm học : 2012 – 2013 Mơn thi : Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Đề thi có trang) ( Không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A  2012  2011; B= 2013  2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C  15  26  15  26 c) Cho x3  y  z Chứng minh rằng: Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : x 2x2  y  z 2 33  2x  2  x 1  x  3  8 2 x  y 2  10 4 x  y  2 x  y 2   Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :  2 x  y    2x  y  Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N AM AN PQ   1 AB AC AQ AM  AN  PQ b) Xác định vị trí điểm Q để  AB  AC  AQ 27 a) Chứng minh : Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013  y 2013  x1006 y1006 - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A  2012  2011; B= 2013  2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C  15  26  15  26 c) Cho x3  y  z Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có :  2012  2011 2012   2012  2011  2013  2012  2013  B  2013  2012  A 2011  2012  2x2  y  z 2 33 1 2012  2011 2013  2012 2012  2011  2013  2012 1 Nên hay A > B  2012  2011 2013  2012 Mà b) Tính giá trị biểu thức: C  15  26  15  26  3  18  12   3  18  12    3  3   3  2  23    2    2  3 3  3   3  2  23 32 32  c)Cho x3  y  z Chứng minh rằng: Mình chưa biết giải, bạn biết giúp Nhưng kiểm tra thấy đề không Cho x  12; y = 8; z = Thì x3  y  z  12      24 ( Thỏa mãn đẳng thức) Nhưng 2x2  y  z 2 33  122  3 82  62 1 2333 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :   x  1  1 x  1  2 2 2  x  x    x  x  3 ĐKXĐ : x  R Đặt t  x  x  t  x  1   (*)  1 2    t  1  4t  5t t  1 2 t t  1  5t  10t  3t  8t    t  15t  15t  12t    ThuVienDeThi.com  (*)   t 1  t 1   Vậy S    5t  15t  12t    Pt vô nghiệm t  8 2 x  y 2  10 4 x  y  2 x  y 2   Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :  I  2x  y  2  2x  y  * Điều kiện xác định : x  y 2     y 2     y   10         y  2 y 0          y     Nếu x  I    : PTVN 2  2   y   y   2  y    Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm Nếu x  y Chia vế phương trình (1) cho 2 x  y 2 x  y  Ta có : 2x  y  2x  y 8 2 x  y 2  10 4 x  y  2 x  y 2     (*) 10  2x  y 2x  y        x y 2   2x  y   (**) 2x  y   2x  y 2x  y Đặt t  2x  y    * 8t  10  3t    t  23  t  14    t  23 Ê; t= 41    + Với t  2x  y  x y 2x  y 2 Thay vào (**) Ta có : 2 y  y  2   6y  2 2y 2 y  y  1  1  12y  y     y   y     y  ; y   6  5 x   ( thỏa mãn ĐKXĐ) 2 1 1 5  Với y   x    ( thỏa mãn ĐKXĐ) 6 12  Với y  ThuVienDeThi.com 1 x  y 1 3  x y Thay vào (**) Ta có : 2x  y 10 3  8y  20 y  25  : Phương trình vơ nghiệm 2 2 y y  10 2 y y 10  5 1  5 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  ;   ;    4 2 + Với t  Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N A AM AN PQ c) Chứng minh :   1 AB AC AQ AM  AN  PQ d) Xác định vị trí điểm Q để  AB  AC  AQ 27 M N GIẢI: Gọi H  PN  BC ; I=MP  BC Ta có: P AN NC   AC AC (1) Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có: NC CH CI  IH CI IH (2)     B H Q AC BC BC BC BC CI AM  Vì MI // AC nên ; (3) BC AB Vì ABC PHI (g-g) IH PH PH PQ IH PQ mà nên (4)     BC AB AB AQ BC AQ AN NC AN CI IH AN AM PQ        1 Từ (1), (2), (3) (4) Suy : AC AC AC BC BC AC AB AQ AM AN PQ   1 Hay AB AC AQ AM  AN  PQ CI  AN  IH CI  BH  IH b) Từ câu a Ta có :    AB  AC  AQ BC  AC  BC BC  BC  BC 27 BC  CI  IH  HB  27 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm CI  IH  HB  Ta có : CI  IH  HB  33 BC  27 Dấu “ = ” xảy CI = IH = HB Đẳng thức xảy Q trung điểm BC A N M ThuVienDeThi.com P I C AP  AQ Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Giải: Cách vẽ: + Vẽ phân giác ฀ADB cắt AB E Đường phân giác ฀ACD đường thẳng vng góc với AB E cắt I Ta có : I ; IE  đường tròn tiếp xúc với AC; DC (O) Thật : Hạ IF  DC Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác) Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC IECF hình vng Chứng minh: + Chứng minh ba điểm B; F G thẳng hàng ฀ ฀ G  IGF ฀  sd PF Ta có : IGF cân I nên IF ฀ ฀ Xét OBG : AOG  2OBG ( Tính chất góc ngoài) ฀ ฀  EP ฀   GE ฀ ฀  FP ฀  1 ฀  1  GE EF EF FP ฀ ฀ ฀ IF GFI E  OBG  ฀AOG              2  2 2   2  2 ฀ ฀ ฀ GFI  450  450  IGF   2IGF  I฀GF = 2   Nên ba điểm G, F B thẳng hàng ( tia GF GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ADB : ฀ADB  900 Nên BD  BC  BA (1) +Áp dụng tính chất tiếp tuyến Ta có : BE  BF BG (2) Mặt khác : AGB FCB ( g-g) AB BG   BF  BG  AB  BC (3) BF BC Từ (2) (3) Suy : BE  AB.BC (4) Từ (1) (4), suy : BD = BE ThuVienDeThi.com D G F I P A E C B O Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013  y 2013  x1006 y1006 Giải: Từ x 2013  y 2013  x1006 y1006 * Nếu x =  y  ; Nếu y =  x  * Nếu x  0; y  1006 Thì x 2013 Đặt t  y 2013  2x 1006 y 1006 x x 2013  y 2013  1006 1006   x   x y y 1006 y  y  x  ( *) x 0 y t Thì *  xt  y    xt  2t  y  Giải phương trình theo biến t Ta có :  '  b '2  ac  1  xy   xy Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ) Thì  '   xy   xy  Nên giá trị nhỏ P = – xy = xy = ( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư “ tailieu20112012@gmail.com” ) ThuVienDeThi.com ... 2011  2013  2012  2013  B  2013  2012  A 2011  2012  2x2  y  z 2 33 1 2012  2011 2013  2012 2012  2011  2013  2012 1 Nên hay A > B  2012  2011 2013  2012 Mà b) Tính... A  2012  2011; B= 2013  2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C  15  26  15  26 c) Cho x3  y  z Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có :  2012  2011 2012   2012  2011  2013. .. BD = BE ThuVienDeThi.com D G F I P A E C B O Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013  y 2013  x1006 y1006 Giải: Từ x 2013  y 2013  x1006 y1006