SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP PHÚ YÊN THCS Năm học : 2012 – 2013 Mơn thi : Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Đề thi có trang) ( Không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A 2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 c) Cho x3 y z Chứng minh rằng: Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : x 2x2 y z 2 33 2x 2 x 1 x 3 8 2 x y 2 10 4 x y 2 x y 2 Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : 2 x y 2x y Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N AM AN PQ 1 AB AC AQ AM AN PQ b) Xác định vị trí điểm Q để AB AC AQ 27 a) Chứng minh : Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 y 2013 x1006 y1006 - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A 2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 c) Cho x3 y z Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có : 2012 2011 2012 2012 2011 2013 2012 2013 B 2013 2012 A 2011 2012 2x2 y z 2 33 1 2012 2011 2013 2012 2012 2011 2013 2012 1 Nên hay A > B 2012 2011 2013 2012 Mà b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 3 18 12 3 18 12 3 3 3 2 23 2 2 3 3 3 3 2 23 32 32 c)Cho x3 y z Chứng minh rằng: Mình chưa biết giải, bạn biết giúp Nhưng kiểm tra thấy đề không Cho x 12; y = 8; z = Thì x3 y z 12 24 ( Thỏa mãn đẳng thức) Nhưng 2x2 y z 2 33 122 3 82 62 1 2333 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : x 1 1 x 1 2 2 2 x x x x 3 ĐKXĐ : x R Đặt t x x t x 1 (*) 1 2 t 1 4t 5t t 1 2 t t 1 5t 10t 3t 8t t 15t 15t 12t ThuVienDeThi.com (*) t 1 t 1 Vậy S 5t 15t 12t Pt vô nghiệm t 8 2 x y 2 10 4 x y 2 x y 2 Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : I 2x y 2 2x y * Điều kiện xác định : x y 2 y 2 y 10 y 2 y 0 y Nếu x I : PTVN 2 2 y y 2 y Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm Nếu x y Chia vế phương trình (1) cho 2 x y 2 x y Ta có : 2x y 2x y 8 2 x y 2 10 4 x y 2 x y 2 (*) 10 2x y 2x y x y 2 2x y (**) 2x y 2x y 2x y Đặt t 2x y * 8t 10 3t t 23 t 14 t 23 Ê; t= 41 + Với t 2x y x y 2x y 2 Thay vào (**) Ta có : 2 y y 2 6y 2 2y 2 y y 1 1 12y y y y y ; y 6 5 x ( thỏa mãn ĐKXĐ) 2 1 1 5 Với y x ( thỏa mãn ĐKXĐ) 6 12 Với y ThuVienDeThi.com 1 x y 1 3 x y Thay vào (**) Ta có : 2x y 10 3 8y 20 y 25 : Phương trình vơ nghiệm 2 2 y y 10 2 y y 10 5 1 5 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm : ; ; 4 2 + Với t Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N A AM AN PQ c) Chứng minh : 1 AB AC AQ AM AN PQ d) Xác định vị trí điểm Q để AB AC AQ 27 M N GIẢI: Gọi H PN BC ; I=MP BC Ta có: P AN NC AC AC (1) Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có: NC CH CI IH CI IH (2) B H Q AC BC BC BC BC CI AM Vì MI // AC nên ; (3) BC AB Vì ABC PHI (g-g) IH PH PH PQ IH PQ mà nên (4) BC AB AB AQ BC AQ AN NC AN CI IH AN AM PQ 1 Từ (1), (2), (3) (4) Suy : AC AC AC BC BC AC AB AQ AM AN PQ 1 Hay AB AC AQ AM AN PQ CI AN IH CI BH IH b) Từ câu a Ta có : AB AC AQ BC AC BC BC BC BC 27 BC CI IH HB 27 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm CI IH HB Ta có : CI IH HB 33 BC 27 Dấu “ = ” xảy CI = IH = HB Đẳng thức xảy Q trung điểm BC A N M ThuVienDeThi.com P I C AP AQ Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Giải: Cách vẽ: + Vẽ phân giác ADB cắt AB E Đường phân giác ACD đường thẳng vng góc với AB E cắt I Ta có : I ; IE đường tròn tiếp xúc với AC; DC (O) Thật : Hạ IF DC Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác) Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC IECF hình vng Chứng minh: + Chứng minh ba điểm B; F G thẳng hàng G IGF sd PF Ta có : IGF cân I nên IF Xét OBG : AOG 2OBG ( Tính chất góc ngoài) EP GE FP 1 1 GE EF EF FP IF GFI E OBG AOG 2 2 2 2 2 GFI 450 450 IGF 2IGF IGF = 2 Nên ba điểm G, F B thẳng hàng ( tia GF GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ADB : ADB 900 Nên BD BC BA (1) +Áp dụng tính chất tiếp tuyến Ta có : BE BF BG (2) Mặt khác : AGB FCB ( g-g) AB BG BF BG AB BC (3) BF BC Từ (2) (3) Suy : BE AB.BC (4) Từ (1) (4), suy : BD = BE ThuVienDeThi.com D G F I P A E C B O Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 y 2013 x1006 y1006 Giải: Từ x 2013 y 2013 x1006 y1006 * Nếu x = y ; Nếu y = x * Nếu x 0; y 1006 Thì x 2013 Đặt t y 2013 2x 1006 y 1006 x x 2013 y 2013 1006 1006 x x y y 1006 y y x ( *) x 0 y t Thì * xt y xt 2t y Giải phương trình theo biến t Ta có : ' b '2 ac 1 xy xy Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ) Thì ' xy xy Nên giá trị nhỏ P = – xy = xy = ( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư “ tailieu20112012@gmail.com” ) ThuVienDeThi.com ... 2011 2013 2012 2013 B 2013 2012 A 2011 2012 2x2 y z 2 33 1 2012 2011 2013 2012 2012 2011 2013 2012 1 Nên hay A > B 2012 2011 2013 2012 Mà b) Tính... A 2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 c) Cho x3 y z Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có : 2012 2011 2012 2012 2011 2013. .. BD = BE ThuVienDeThi.com D G F I P A E C B O Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 y 2013 x1006 y1006 Giải: Từ x 2013 y 2013 x1006 y1006