Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lào Cai lớp 12 THPT năm học 2010 – 2011 môn: Toán

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác được tạo thành từ ba đường thẳng đã cho mà tam giác này không bị chia cắt bởi bất kỳ đường thẳng nào trong các đường thẳng còn lại.... - Giả sử d1 là[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/12/2010 Câu (5,5 điểm) Giải phương trình: x  2010x  2011  2x 2010x  2011 2 x y  xy  30 Giải hệ phương trình:  3 x  y  35 Câu (3,0 điểm) Tìm tất các hàm số f :    thỏa mãn điều kiện f (x )  f (q )  2010 x  q  , với số thực x và số hữu tỷ q Câu (6,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 5;  , đường trung trực cạnh BC , đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C tam giác ABC có phương trình là d: x  y   và d' : 2x  y   Tìm tọa độ các đỉnh còn lại tam giác ABC Cho hình chóp tam giác S ABC , có cạnh đáy a Gọi  là góc mặt bên và mặt đáy,  là góc hai mặt bên kề Tính thể tích hình chóp S ABC và chứng minh rằng: tan   2   tan    2 Câu (2,5 điểm) Trong mặt phẳng cho n đường thẳng n  3 đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy Chứng minh tồn tam giác tạo thành từ ba đường thẳng đã cho mà tam giác này không bị chia cắt đường thẳng nào các đường thẳng còn lại Câu (3,0 điểm) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm bẩy chữ số khác cho ba chữ số lẻ không đứng cạnh - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - Ghi chú:  Thí sinh không sử dụng tài liệu  Cán coi thi không giải thích gì thêm WWW.MATHVN.COM Trang 1/4 Lop12.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÀO CAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang) A Hướng dẫn chấm - Cho điểm lẻ tới 0,25; - Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần, không làm tròn; - Chỉ cho điểm tối đa bài làm thí sinh chính xác mặt kiến thức; - Học sinh giải đúng cách khác cho điểm tương ứng các thành phần B Đáp án và thang điểm Câu Nội dung Điểm Giải phương trình: x  2010x  2011  2x 2010x  2011 - Điều kiện: x  2011 2010 0,25  - Phương trình đã cho có dạng x  2010x  2011 1.1  0 0,75  x  2010x  2011 0,5 x   x  2010x  2011  0,5  x  2011 0,5 x 2y  xy  30 Giải hệ phương trình:  3 x  y  35 1.2 xy x  y   30 - Viết lại hệ  3 x  y  3xy x  y   125 0,75 xy x  y   30  x  y   125 0,75 x  y   xy  0,75 - Giải ta nghiệm hệ là 2; 3 và 3;  0,75 Tìm tất các hàm số f :    thỏa mãn f (x )  f (q )  2010 x  q  , với số thực x và số hữu tỷ q - Với x , x   x  x  , chọn số hữu tỉ q nằm x và x thì: 0,5 f (x )  f (x )  f (x )  f (q )  f (q )  f (x )  f (x )  f (q )  f (q )  f (x )  2010 x  q   2010 q  x   2010 x  x   2010 x  x   4020 x  x  (1) WWW.MATHVN.COM 2 Trang 2/4 Lop12.net 2 0,5 Vậy ta có lim f x   f x   Suy f (x ) liên tục x   x x - Mặt khác từ (1), ta có suy lim x x f (x )  f (x )  4020 x  x , x  x0 f (x )  f (x )  , hay f '(x )  0, x   x  x0 - Do f (x ) liên tục và có f '(x )  0, x   , suy f (x )  c , x   - Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn điều kiện bài toán 0,25 0,5 0,5 0,75 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 5;  , đường trung trực cạnh BC , đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C tam giác ABC có phương trình là d: x  y   và d' : 2x  y   Tìm tọa độ các đỉnh còn lại tam giác ABC - Giả sử B(a; b), Vì C thuộc đường thẳng d ' nên gọi C(c; 2c+3)  a5 b2 - Ta có: trung điểm AB là M  ;   d'    a  c b  2c   và trung điểm BC là N  ; d    và CB  (a  c; b  2c  3) 3.1 0,25 0,25 0,25 a  b  3c    - Từ giả thiết ta có hệ phương trình a  b  c   2a  b  14   0,75 19  a    Giải nghiệm hệ là b    14 c   0,5  19   14 37  Vậy các đỉnh cần tìm B  ; , C ;  3    0,5 Cho hình chóp tam giác S ABC , có cạnh đáy a Gọi  là góc mặt bên và mặt đáy,  là góc hai mặt bên kề Tính thể tích hình chóp 3.2 0,5 S ABC và chứng minh tan   WWW.MATHVN.COM 2   tan    2 Trang 3/4 Lop12.net (Thí sinh không vẽ hình vẽ sai hình, giám khảo không chấm phần bài làm thí sinh) - Gọi K là trung điểm BC Vì S.ABC là hình chóp tam giác nên   AK  BC, SK  BC , suy AKS    Có DB = DC  BDK   - Hạ KD  SA  SA  DBC   BDC - Hạ SH  AK  H là tâm đáy - Ta có h  SH  a a2 tan   h  tan  12 (1) 0,5 a2 - Diện tích ABC là SABC  - Vậy thể tích hình chóp S.ABC là V  - Trong SAH vuông H, có a2 a a3 tan   tan  24 - Từ (1) và (2), ta có 0,5 1 1 1   2   2 HE HA h h HE HA 0,5 2a 3   tan   2 HE HA a2 2 h     HA  HE  a    a2  tan  1        tan  a2 (2) a2 a2 tan   (đpcm)  tan   12     tan 1  tan  1 2   Trong mặt phẳng cho n đường thẳng n  3 đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy Chứng minh tồn tam giác tạo thành từ ba đường thẳng đã cho mà tam giác này không bị chia cắt đường thẳng nào các đường thẳng còn lại WWW.MATHVN.COM 0,5 Trang 4/4 Lop12.net 0,5 0,5 - Giả sử d1 là các đường thẳng đã cho Xét tất các giao điểm n  đường thẳng còn lại Gọi M là tập hợp các khoảng cách (chú ý số đo là số thực dương) từ các giao điểm đó đến đường thẳng d1 M có số nhỏ là 0,75 t0 - Giả sử P là giao điểm hai đường thẳng d2 và d3 có khoảng cách đến d1 t0 Các đường thẳng d2 và d3 cắt đường thẳng d1 các điểm Q và R tương ứng (vì không có hai đường thẳng nào song song) Như PQR tạo thành từ 0,75 ba đường thẳng d1 , d2 và d3 và không bị cắt bất kì đường thẳng nào - Thật vậy, giả sử có đường thẳng d4 cắt cạnh PR cạnh PQ điểm T  P (vì không có ba đường thẳng nào đồng quy) Khoảng cách từ T đến d1 là t1 Rõ 0,75 ràng t1  t0 Điều này trái với giả thiết t0 là khoảng cách nhỏ - Vậy tồn PQR thỏa mãn yêu cầu 0,25 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm bẩy chữ số khác cho ba chữ số lẻ không đứng cạnh - Gọi A là tập các số gồm bẩy chữ số khác Ta có A  7! + B là tập các số gồm chữ số khác mà chữ số lẻ không đứng cạnh + C là tập các số gồm chữ số khác mà chữ số lẻ đứng cạnh nhau: C  A + D là tập các số gồm chữ số khác mà chữ số lẻ đứng cạnh nhau: D  C 0,25 0,5 - Khi đó số các hoán vị theo yêu cầu là: B  A  C - Tính C : + Gọi   a1 , a , a  , với a1 , a , a  1,3,5, 7, suy có C34  cách chọn  Với  có 3! hoán vị, nên số cách chọn các  là 4.3! = 24 cách chọn + Với  , số các hoán vị dạng  , a , a , a , a  là 5! hoán vị Suy có 1,0 24.5! = 2880 số, đó số lẻ đứng cạnh nhau, các số mà số lẻ đứng cạnh đã kể hai lần Tính D : + Gọi   a1 , a , a , a  với a1 , a , a , a  1,3,5, 7, có 4! = 24 hoán vị  + Với  , số các hoán vị gồm chữ số dạng  , a , a , a  là 4! = 24 hoán 1,0 vị Suy D  24.24  576 Vậy C  2880  576  2304 Do đó số các hoán vị theo yêu cầu là B  7! 2304  2736 - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - WWW.MATHVN.COM Trang 5/4 Lop12.net 0,25