Các bài tập phương trình bậc 2 Viet43636

Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT A- TĨM TẮT LÍ THUYẾT: I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a  0)  = b2 - 4ac * Nếu  > phương trình có hai nghiệm phân biệt * Nếu  = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = x1 = -b 2a -b -  -b +  ; x2 = 2a 2a * Nếu  < phương trình vơ nghiệm II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình cơng thức nghiệm thu gọn  ' = b'2 - ac * Nếu  ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = * Nếu  ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' a III- Hệ thức Vi - Et ứng dụng : -b' -  ' -b' +  ' ; x2 = a a * Nếu  ' < phương trình vơ nghiệm b  S  x1  x     a Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c  0(a  0) :  c P  x x   a 2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x  Sx  P  (Điều kiện để có u v S2  4P  ) c Nếu a + b + c = phương trình ax  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm : x1  1; x  a c Nếu a - b + c = phương trình ax  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm : x1  1; x   a IV: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: * Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a  0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm)    Vô nghiệm   < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)   = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > Hai nghiệm dấu   P > Hai nghiệm trái dấu   > P <  a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0)   0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0)   0; S < P > Hai nghiệm đối   S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo   P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S > * Tính giá trị biểu thức nghiệm Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức  x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2      x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2    x14  x24  ( x12 )  ( x22 )   x12  x22   x12 x22  ( x1  x2 )  x1 x2   x12 x22 1 x1  x2   * x1  x2    x1  x2   x1 x2 * x12  x22 (   x1  x2  x1  x2  =…….) x1 x2 x1 x2 2 x13  x23 ( =  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2  =…… )   4 2 2 6 x1  x2 ( =  x1  x2  x1  x2  =…… ) * x1  x2 ( = ( x1 )  ( x22 )3   x12  x22  x14  x12 x22  x24  = …… ) Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Tổng quát: Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số Giải hệ tìm tham số m.Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay khơng? Bài Cho hai phương trình: x  x  m  x  mx   Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung x = ) Giải: Giả sử x0 nghiệm chung phương trình ta có Bài Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung x  mx   x  x  m  ( Đáp số: m = - nghiệm chung x = 1) Bài Giải phương trình sau : B- BÀI TẬP I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI a / 2x   b / 3x  5x  e / x  3x  2x   d / x  3x   c / 2x  3x   f/ x2 3 x 5 2x Giải a / 2x    2x   x   x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  2 2 x  x  b / 3x  5x   x(3x  5)    Vậy phương trình có nghiệm x  0; x  x  3x    c / 2x  3x    2x  3x   Nhẩm nghiệm:Ta có : a - b + c = + - = => phương trình có nghiệm : x1  1; x   d / x  3x   Đặt t  x (t  0) Ta có phương trình : t  3t   => phương trình có nghiệm : t1   (thỏa mãn); t2    4  (loại) 5  2 a+b+c=1+3-4=0 Với: t   x   x  1 Vậy phương trình có nghiệm x  1 e / x  3x  2x    (x  3x )  (2x  6)   x (x  3)  2(x  3)   (x  3)(x  2)   x  3  x   Vậy phương trình có nghiệm x  3; x   x       x   x  3    x  x2 x2 (ĐKXĐ : x  2; x  ) Phương trình : 3 3 x 5 2x x 5 2x (x  2)(2  x) 3(x  5)(2  x) 6(x  5)     (x  2)(2  x)  3(x  5)(2  x)  6(x  5) (x  5)(2  x) (x  5)(2  x) (x  5)(2  x) f/   x  6x  3x  30  15x  6x  30  4x  15x     152  4.(4).4  225  64  289  0;   17 15  17 15  17  (thỏa mãn ĐKXĐ) => phương trình có hai nghiệm : x1    (thỏa mãn ĐKXĐ), x  2.(4) 2.(4) Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a.2x2 + 2012x – 2014 = c.x2 + (  )x - 15 = Giải a) 2x2 + 2012x – 2014 = có a + b + c = + 2012 +(-2014) = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = , b 17x2 + 221x + 204 = d.x2 –(3 - )x - = c 2014   1007 a Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) b) 17x2 + 221x + 204 = có a – b + c = 17 – 221 + 204 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = - c 204 = - 12  a 17 c) x2 + (  )x - 15 = có: ac = - 15 < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -(  ) = - + x1x2 = - 15 = (- 3) Vậy phương trình có nghiệm x1 = - , x2= d ) x2 –(3 - )x - = có : ac = - < (hoặc x1 = , x2 = - 3) Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có x  x  -  x x  -  3(-2 ) Vậy phương trình có nghiệm x1 = , x2 = - Bài : Giải phương trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b.(m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Hướng dẫn : a,x2 + (3m – 5)x – 3m + = có a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = Hoặc x2 = m 1 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- =  m = (*) trở thành – 4x – =  x = -  x1  1 * m –   m  (*)    x  2m  m3  Bài 4: Gọi x1 , x2 nghịêm phương trình : x2 – 3x – = a) Tính: A = x12 + x22 , B = x1  x , blập phương trình bậc có nghiệm C= 1  x1  x  , D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 x1  x2  Giải ;Phương trình bâc hai x2 – 3x – = có tích ac = - < , suy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = p = x1x2 = -7 a)Ta có + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => +C= B = x1  x = S  p  37 ( x1  x )  1 S 2  =   x1  x  ( x1  1)( x  1) p  S  + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 1 1 p=    (theo câu a)   x1  x  ( x1  1)( x  1) p  S  1 1 Vậy nghiệm hương trình : X2 – SX + p =  X2 + X =  9X2 + X - = x1  x2  9 b)Ta có :S = Bài 5: Giải biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Giải.Ta có / = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + Nếu / >  m2 – >  m < - m > Phương trình cho có nghiệm phân biệt: m  x2 = m + + + Nếu / =  m =  x1 = m + - m2  Với m =3 phương trình có nghiệm x1.2 = Với m = -3 phương trình có nghiệm x1.2 = -2 / + Nếu  <  -3 < m < phương trình vơ nghiệm Kết kuận: - Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn   Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Với m = phương trình có nghiệm x = Với m = - phương trình có nghiệm x = -2 m2   Với m < - m > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = m +  Với -3< m < phương trình vơ nghiệm Bài 6: Giải biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Hướng dẫnNếu m – =  m = phương trình cho có dạng - 6x – =  x=- x2 = m + + m2  * Nếu m –   m  Phương trình cho phương trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 b/ - Nếu  =  9m – 18 =  m = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =  =-2 a 23 m3 m2 - Nếu / >  m >2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = m3 / - Nếu  <  m < Phương trình vô nghiệm / Kết luận: Với m = phương trình có nghiệm x = - Với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2 Với m > m  phương trình có nghiệm x1,2 = m3 m2 m3 Với m < phương trình vơ nghiệm Bài : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k tham số) Chứng minh phương trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Giải.1 Phương trình (1) phương trình bậc hai có:  = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k+ 5 36 36 k+ + ) = 5(k - ) + > với giá trị k Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 25 25 5 1 2.Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  p <  - k2 + k – <  - ( k2 – k + + )  (k – 1)[(2k - )2 + ] >  k – > ( (2k - )2 + > với k) 16 16 k>1 Vậy k > giá trị cần tìm x13 + x23 = (k – 1)[(2k - Bài 8: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Tìm m để x1  x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phương trình (1) nói phần 2.) Giải Với m = - phương trình (1) trở thành x2 + 8x – = có nghiệm x1 = , x2 = - Có / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + / = m2 + 2.m 1 19 19 + + = (m + )2 + > với m.Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 4 Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Vì phương trình có nghiệm với m ,theo hệ thức Viét ta có:x1 + x2 = 2( m + 1) x1x2 = m – Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + 19 ) + ] 19 19 1 2 = 19 m + =0 m=4 2 Vậy x1  x đạt giá trị nhỏ 19 m = => x1  x = (m  )  Bài : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m tham số) 1.Giải phương trình m = - 2.Chứng minh phương trình cho có nghiệm với m 3.Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Giải: 1) Thay m = - vào phương trình cho thu gọn ta 5x2 - 20 x + 15 = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - phương trình cho trở thành; 5x – =  x = + Nếu : m +  => m  - Khi phương trình cho phương trình bậc hai có biệt số :  = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m   2m  = 1 2(m  2) 2m  x2 = 2m   2(m  3) m    2(m  2) 2(m  2) m  Tóm lại phương trình cho ln có nghiệm với m 3)Theo câu ta có m  - phương trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta xét trường hợp m3 giải ta m = (đã giải câu 1) m2 m3 11 Trường hợp 2: x1 = 3x2  1=  m + = 3m –  m = (thoả mãn điều kiện m  - 2) m2 11 Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình cho ta phương trình : 15x2 – 20x + = phương trình có hai nghiệm x = , x2 = = (thoả mãn đầu bài) 15 Trường hợp : 3x1 = x2  = Bài 10: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) với m tham số 1.Biện luận theo m có nghiệm phương trình (1) 2.Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu 3.Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải 1.+ Nếu m = thay vào (1) ta có : 4x – =  x = + Nếu m  Lập biệt số / = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m = - m + / <  - m + <  m > : (1) vô nghiệm b/ m      a m 2 m2 m4 / >  - m + >  m < 4: (1) có nghiệm phân biệtx1 = ; m / =  - m + =  m = : (1) có nghiệm képx1 = x2 = - m2 m4 m Vậy : m > : phương trình (1) vơ nghiệm; m = : phương trình (1) Có nghiệm kép x = m2 m4 m2 m4  m < : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = m m m = : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn x2 = Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) (1) có nghiệm trái dấu   m    m    m    m  c m3 ) Vậy có giá trị k1 = k1 = x12 + x22 = 10   33   33 ; k2 = 2   33   33 k2 = phương trình (1) Có nghiệm kép 2 2.Có cách giải Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: /   k2 + 5k –  (*) Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 b  - 2k x1x2 = – 5k a Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – = (Có a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = Theo ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay k1 , k2 vào / = k2 + 5k – + k1 = => / = + – = > ; thoả mãn 49 35 49  70  29 => / = không thoả mãn Vậy k = giá trị cần tìm  2  4 Cách : Không cần lập điều kiện /  Cách giải là:Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm k1 = ; k2 = (cách tìm trên) + k2 = - Thay k1 , k2 vào phương trình (1) + Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = có x1 = , x2 = 39 (1) => x2- 7x + = (có  = 49 -78 = - 29 < ) Phương trình vơ nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm 2 Bài 12: Cho phương trình x  2mx  m   (x ẩn số) + Với k2 = - a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức M = 24 đạt giá trị nhỏ x  x22  x1 x2 HD a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > với m nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m b c  2m ; P =  m  a a 24 6 24 6 M= =  Khi m = ta có (m  1)  nhỏ  2 ( x1  x2 )  x1 x2 4m  8m  16 m  2m  (m  1)  6 lớn m =  M  nhỏ m = 1, Vậy M đạt GTNN - m =  M  (m  1)  (m  1)  b/ Do đó, theo Viet, với m, ta có: S =  -II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x  x  15  Khơng giải phương trình, tính x12  x22 1  x1 x2 x1 x2  x2 x1  x1  x2  b) Cho phương trình : x  72 x  64  Không giải phương trình, tính: c) Cho phương trình : x  14 x  29  Không giải phương trình, tính: 1  x1 x2 , 1  x1 x2 x12  x22 x12  x22 d) Cho phương trình : x  x   Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2  x1  x2  x1 x2 x12  x22 e) Cho phương trình x  x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q  x1 x  x2  x1  x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấud)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 3: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm cịn lại Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Bài tập 4Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22 Bài tập 5: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 6: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài tập 7: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22 Bài tập 8: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2 Bài tập 9: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài tập 10: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 11:a) Với giá trị m hai phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = 0(1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) ngược lại Bài tập 12:Gọi x1; x2 nghiệm phương trình:x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm GTLN biểu thức:A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bài tập 13: Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a = Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Gọi x1,x2là hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức: N= x12  ( x1  2)( x2  2)  x22 có GTNN Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thứcA = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 15: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn 10x1x2 + x1  x 22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI ( MỨC ĐỘ -YÊU CẦU- ĐÁP ÁN) Bài (4,0 điểm) Cho phương trình x2 – 3x + m – = (m tham số) (1) a.Giải phương trính (1) m = b.Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép c.Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) x  x  Giải a Khi m = 1, pt(1) trở thành: x2 – 3x =  x(x – 3) =   Vậy m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0; x2 = b.Phương trình (1) có nghiệm kép có  =  (-3)2 – 1.(m – 1) = 13 – 4m =  m = Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn 13 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Vậy m = 13 phương trình (1) có nghiệm kép c ĐK để pt(1) có hai nghiệm x1, x2    13 – 4m   m  13 c =m–1 a  Theo đề bài, ta có: x1x2 =  m – =  m = 3( thỏa ĐK)  Khi pt(1) có: x1x2 = Vậy m = phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) (với ẩn x ) Bài (2,0 điểm).Cho phương trình: x  2( m  1) x  2m  (1) 1) Giải phương trình (1) m =1.2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác  vuông có cạnh huyền 12 Giải Khi m = ta có phương trình x2 – 4x + = Giải phương trình x1   ; x   Tính  '  m  2m   m0 2m  Khẳng định phương trình ln có hai nghiệm phân biệtBiện luận để phương trình có hai nghiệm dương  Theo giả thiết có x12 + x22 = 12  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12  4(m  1)  4m  12  m2 + m – = Giải phương trình m = ( thoả mãn), m = -2 (loại) Bài (2,0 điểm):1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = (1), m tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt: b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x12 + x 22  20 Giai a)  '  (1)   (m  4)   m  Vì m  0, m   '  0, m Vậy pt (1) ln có nghiệm phân biệt với m  x1  x  b) Áp dụng định lý Vi –ét   x1 x  (m  4) x12  x22  20   x1  x2   x1 x2  20  22  2m   20  2m   m  2 m=  Thì phương trình có nghiệm thỏa mãn x12 + x 22  20 Bài4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số 1) Giải phương trình m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện x1 x2   x2 x1 HD:1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – =  x = -1 hay x = (có dạng a–b + c = 0) 2)Với x1, x2  0, ta có : x1 x2    3( x12  x22 )  x1 x2  3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2 x2 x1 Ta có : a.c = -3m2  nên   0, m Khi   ta có : x1 + x2 =  b c  x1.x2 =  3m  a a Điều kiện để phương trình có nghiệm  mà m    > x1.x2 <  x1 < x2 Với a =  x1 = b '  ' x2 = b '  '  x1 – x2 =  '   3m Do đó, ycbt  3(2)(2  3m )  8(3m ) m    3m  2m (hiển nhiên m = không nghiệm)  4m4 – 3m2 – =  m2 = hay m2 = -1/4 (loại)  m = 1 Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Bài (1,5 đ)Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 2) Tìm giá trị m để biểu thức A = x12  x 22 đạt giá trị nhỏ HD (1,5 đ)Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Ta có    (m  2)  m  4m   > với m Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 2) phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x  2(m  2)  x1 x  m  4m  A = x12  x 22 = (x1 + x2)2 – x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10 A = 2(m2 + 4m) + 10 = 2(m + 2)2 + (≥ )với m Suy minA =  m + =  m = - Vậy với m = - A đạt = Bài Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12  x 22  Giải+ Phương trình cho có  = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m  x1  x2  m   x1 x2  3m  m + Theo ĐL Vi –ét, ta có:  Khi đó: x12  x22   ( x1  x2 )2  x1 x2   (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) =  10m2 – 4m – =  5m2 – 2m – = Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = m = 3 Trả lời: Vậy Bài 7(2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = Giải phơng trình m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải Khi m = 4, ta có phương trình: x2 + 8x + 12 = có ’ = 16 – 12 = > Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = - Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: x2 + 2mx + m2 – 2m + = Có / = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – Để phương trình có hai nghiệm phân biệt / > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 Bài 8: (1,5 điểm)Cho phương trình (ẩn số x): x  x  m   * Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2  5 x1 Giải: (1,5 điểm) Cho phương trình (ẩn số x): x  x  m    *   16  4m  12  4m    0; m 2 Vậy (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2  5 x1 Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + ;x1+ x2 = 4; mà x2  5 x1 => x1 = - ; x2 = Thay x1 = - ; x2 = vào x1.x2 = - m2 + => m =  2 Bài 9: điểm:Cho phương trình: x2 2(m-1)x + m2 =0 ( m tham số) a) GiảI phương trình m = b.Tìm m để phương trình cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n x12  x22  16 Giải: (2,0 điểm) a, Thay x = vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = giải phương trình: x2 - 4x + = nhiều cách tìm nghiệm x1 = 1, x2 = Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn 10 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình  x1  x2  2(m  1) x2 - 2(m - 1)x + m2 - = , ta có:   x1.x2  m  x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 16 Thay vào giải tìm m = 0, m = -4 Bài 10 (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = a) Giải phương trình m = b.Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Giải Đáp án a) x1 =   ; x2 =   b) Thấy hệ số pt : a = ; c = A –  pt ln có nghiệmTheo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1 Mà A=x1 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 +   GTNN A =  m = Bài 11: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x  x1x  6 Giải: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = có a – b + c = + – = suy x1= -1 x2= 3 Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x13 x  x1x 32  6 Để phương trình có hai nghiệm x1; x2  ’  Theo viet: x1+ x2 =2 (1) x1 x2 = m – (2)Theo đầu bài: 01–m+3  0m  x13 x  x1x 32  6  x1x  x1  x   2x1x = Thế (1) (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)2 – 2(m-3)=6  2m =12  m = Không thỏa mãn điều kiện m trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x  x1x  6  (3) khơng có giá Bài 12 (1,5 điểm)Cho phương trình x  2(m  1)x  m   , với x ẩn số, m  R a Giải phương trình cho m  – b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x Tìm hệ thức liên hệ x1 x mà không phụ thuộc vào m Giải Cho pt x  2(m  1)x  m   , với x ẩn số, m  R a Giải phương trình cho m  – Ta có phương trình x  2x   x  2x    x  2x     x  1    5 x 1    x  1   x 1    Vậy phương trinh có hai nghiệm x  1  x  1    x    x  1  b  x1  x   x1x     x1  x  2m  (1)  x  x  2m    (2) m  x1x   x1 x  m   m  x1 x  Suy x1  x   x1x     x1  x  2x1x   Theo Vi-et, ta có  Bài 13: (2,0 điểm) Cho phương trình x2   m  1 x  m   (với m tham số ) a) Giải phương trình cho m  5 b) Chứng tỏ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m c) Tìm m để phương trình cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức : x12  x22  3x1x2  Giải : a) * Khi m =  5, phương trình cho trở thành: x  8x   (với a = ; b =  ; c =  9) (*) * Ta thấy phương trình (*) coù a  b + c = ; nên nghiệm phương trình (*) là: x1  1 x  * Vậy m =  5, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1  1 vaø x  c 9 a b) Phương trình cho (bậc hai ẩn x) có hệ số: a = ; b/ = m + vaø c = m  ; nên: Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn 11 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)  19 19     m  1   m    m  m    m     0 2 4    /  ; phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị tham số m / c) Theo câu b, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m Theo hệ thức Viet, ta có: x1  x2  2  m  1 I   x1  x2  m  Căn (I), ta có:   * Vậy m  0 ; x12  x22  3x1x2    x1  x2   m0  x1.x2   4m  9m     m  9  9  2  phương trình cho có nghiệm x1 , x2 thõa hệ thức x1  x2  3x1x2  4 Bài 14: Cho phương trình: 2x2 – 3mx – = 1.CMR với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt 2.Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ đó.Tính  theo m x13 x23 Giải a)  = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > với mĐiều chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt 3m   x1  x2  3m b) Theo hệ thức Viet, ta có:  Khi S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1 x2= ( ) +  2  x1.x2  1 3m = m = Vậy = m = Dấu “=” xảy ( S ) c) Ta có: x3  x23 ( x1  x2 )3  x1 x2 ( x1  x2 ) 1 9m(3m  4)  3    3 ( x1.x2 ) x1 x2 ( x1.x2 ) Bài 15: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – = a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Chứng minh biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Giải a) Giải ta x1 =  35 ; x2 =  35 b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = .= m2 + m + = (m  )  19  với m Điều chứng tỏ PT có hai nghiệm với m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < m – < m <  x1  x2  2(m  1)  x1.x2  m  d) Theo hệ thức Viet, ta có:  Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)= x1 + x2 - x1.x2 = 2m + – 2m + = 10 Điều chứng tỏ biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khoâng phụ thuộc vào m - Toán 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 DeThiMau.vn 12 ...  4) x 12  x 22  20   x1  x2   x1 x2  20  22  2m   20  2m   m  ? ?2 m=  Thì phương trình có nghiệm thỏa mãn x 12 + x 22  20 Bài4 : (2, 0 điểm) Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0,... ĐKXĐ), x  2. (4) 2. (4) Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a.2x2 + 20 12x – 20 14 = c.x2 + (  )x - 15 = Giải a) 2x2 + 20 12x – 20 14 = có a + b + c = + 20 12 +( -20 14) = Vậy phương trình có... phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức: N= x 12  ( x1  2) ( x2  2)  x 22 có GTNN Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2) 2 = 0Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thứcA = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập