Bài tập phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

*** BÀI LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC... GVGD: Tên thầy..[r]

Bài: GVGD: Tên thầy BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐÁP BÀI TỰ LUYỆN: a sin12x  cos8x= 3(sin 8x  cos12x)  5  cosx     2  4     c sin  x   sin  x   cos     15     9 b sin  d Chọn các nghiệm phương trình: cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 thuộc 0;14  3   x   2cosx.sin(+x)   x x b sin4  cos4  8 c 2sin2x.sin4x=cos2x+sin3x d sin2 x+sin4 x=1 a cos  Giải các phương trình: a cosx+2sin2x-cos3x   sin x  cos2x b sin x   cosx sinx Tìm các nghiệm phương trình cos    3x  9x  16x  80  Giải: a sin12x  cos8x= 3(sin 8x  cos12x)  sin12x  3cos12x= sin 8x  cos8x 3 sin12x  cos12x= cos8x+ cos8x 2 2      sin12x.cos  sin cos12x=sin8x.cos  sin cos8x 3 6      sin  12x-   sin  8x+  3 6        12x   8x   k2  x   k2   (k  Z)    12x   x   8x  k2  k2   12  5  b sin  cosx      www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy  5  cosx    5 cosx     k2  5  k2 6k  cosx  10   cosx   6k  (1) (k  Z) (2) (1): Để có nghiệm phải chọn K thuộc Z cho: 1  6k 11   1 k 10 12 :k  Với K=0 cosx= 10 1  k2  x  arccos  2k(k  z) 10 10 6k 5  1   k   k  1, k  (2) Xét 1   12 Với k= -1: cosx=    10      x  arccos  -   k2  x   arccos  -   2k   10   10   Với k=0; cos x   x   k2  x    2k(k  z) 3 2  4     c sin  x   sin  x   cos     15     9 2 4  2 4     x  15  x    x  15  x    cos    cos     sin  9 2   7      sin  x  cos  cos  15    x  arccos 7    7   sin  x   sin    15    18  7 7 7    x  15  18  k2  x   90  k2   (k  Z)  x  7  11  k2  x  13  k2   15 18 90 d cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (*) co3x=cos(2x+2)=cos2x.cosx-sin2x.sinx =(2cos2x-1)cosx-2sin2x.cosx =2cos3x-cosx-2(1-cox2x).cosx =4cos3x-3cosx  cos x  cos x  4(2 cos2 x  1)  cos x   (*)  cos3 x  cos2 x   cos2 x(cosx-2)=0   cosx=0  x=  k (K  Z) www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy   k  14 1    k  14  2 1 14  k   Yêu cầu bài toán:  => k=0,1,2,3 từ đây tính các nghiệm theo yêu cầu bài toán  3  a cos   x   2cosx.sin(+x)   3  cos(  x)  2cosx.sin(+x)   cos(  x)  2cosx.(-sinx)   -cos(  x)   2cosx.sinx  sinx+ 2cosx.sinx=0  sinx(1+ 2cosx)=0 sinx=0  x  k   (k  Z) cosx=-  x   3  k2   x x b sin4  cos4  8 x x x x    sin2  cos2   sin2 cos2  8 8  x   cos   x 5   sin2      2    x x 2    cos   cos    cos 2 x 2    k2 4 x  k4 (k  Z) c 2sin2x.sin4x=cos2x+sin3x  cos2x-cos6x=cos2x+sin3x   cos(-6x)=cos(  3x) R     6x     3x   k2 2  www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy  k2  x    (k  Z)  x    k2  d sin x+sin x=1  2sin2 x+2sin4 x=2  1-cos2x+1-cos4x=2  cos4x+cos2x=0  cos4x=-cos2x=cos(-2x)     x=  k  4x=  (-2x)+k2   (k  Z)  x=-   k   2 cosx+2sin2x-cos3x   2sin x  cos2x (*) Biến đổi: cosx+2sin2x-cos3x=+2sin2x.sinx+2sin2x =2sin2x sinx+1  sin 2x  cos2x=1+2sinx-1+2sin2 x=2sinx sinx+1 (*)  2sin2x(sinx+1)  2sin x(sinx+1) sinx(sinx+1)     sin2x(sinx+1)=sinx(sinx+1)  sin2x(sinx+1)=-sinx(sinx+1)  sinx(sinx+1)     (sin2x-six)(sinx+1)=0  (sin2x+six)(sinx+1)=0  sinx    sinx+1=0    sin2x=sinx   sin2x=-sinx    x  k   x    k2 (k  Z)   2 x   k2   cosx sinx  (k  Z) Điều kiện: x  k b sin x  Biến đối phương trình: www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy sin 2x.cosx= sinx+cosx  4(1-cos2x)cosx= sinx+cosx  4cosx-4cos2xcos= sinx+cosx  3cosx-2(cos3x+cosx)= sinx  -2cos3x= sinx-cosx  cos3x= cosxsinx 2      cos3x=cos cosx-sin sinx=cos   x  3 3    x   k     3x     x   k2   Thỏa điều kiện 3  x     k   12  cos 3x  9x  16x  80  Điều kiện: 9x  16x  80    cos 3x  9x  16x  80   3x  9x  16x  80  k2 4        3x  9x  16x  80  8k  3x  8k  9x  16x  80 8k  (1) x   9x  48kx  64k  9x  16x  80  8k  x     x  4k  3k   4k  4 49 Xét x   k  3k  9(3k  1) 49  9x  12k   (3k  1) => vế trái nguyên và 3k-1 là các ước 49 www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy Loai 3k   1  k   x  5 không thoa (1) 3k    k  Loai 16  8( 2) 3k   7  k  2  x   3  Thoa(1) 7 50 3k   49  k  Loai 4( 16)  8( 16) 3k   49  k  16  x   21  Thoa(1) 3( 16)  3k    k  => Các nghiệm phương trình : x=-3, x=-21 *** BÀI LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  asin2x+Bsinx+c=0 đặt sinx=t, nhận nghiệm có t 1  acos2x+Bcosx+c=0 đặt cosx=t, nhận nghiệm có t 1   k   acot2x+Bcotx+c=0 đặt cotx=t, nhận nghiệm thỏa x   k  atan2x+Btanx+c=0 đặt tanx=t, nhận nghiệm thỏa x  Giải phương trình: a cos 2x   1)cosx+  b cos2 x  sin x    c sin 2x  3cos2x      cos   2x  6  3x  sin2 3x  2 17 cos2 2x e sin8 x  cos8 x=   f sin4 x  cos4  x+    4 d sin2 g tan x  cot x  2(sinx+cosx) Giải: a cos 2x   1)cosx+  Đặt sinx=t, ( t  1), phương trình 4t2  2(  1).cosx+  t , t 2 www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy    cosx=  x    k2   (K  Z)    x    k2 cosx=  b cos x  sin x    6(1  sin2 x)  sin x    sin2 x  sin x    x  arcsin  k2    sinx=    x    arcsin  k2 (K  Z)  sinx=    x  5  k2    c sin 2x  3cos2x   cos   2x  6    1      sin 2x  cos2x    cos   2x  6  2         cos2xcos  sin 2x sin    cos   2x  6  6         cos(  2x)   cos   2x      6     cos   2x   1       cos   2x   (loai) 6      cos   2x   1   2x    k2 6  5   k (k  Z) 12 3x  sin2 3x  d sin2 2 3x 3x 3x  sin2  sin2 cos2  2 2 3x 3x  3x   sin2  sin2  sin2   2   3x 3x  sin2  sin2  0 2 3x  t (0  t  1) phương trình: Đặt sin2 www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy 3 0t , t 2 3x 3x  sin2   sin2    cos3x=1 2     cos3x=0  3x=  k  x   k 3x 3x 3x sin2   sin2    cos3x= 2 2 2 2  cos3x=-  cos x k 17 cos2 2x e sin8 x  cos8 x= 4t2  5t  4 17   cos2x    cos2x     cos2 2x   2     4  (1  cos2x) +(1  cos2x)  17 cos2 2x   cos 2x  cos2 2x  cos3 2x  cos4 2x+1+4cos2x+6cos2 2x+4cos3 2x+cos4 2x=17 co  cos4 2x  cos2 2x    cos2 2x     cos 2x  (loai)  cos2 2x    cos4x=1     cos4x=0  4x=  k  x=  k (K  Z)   f sin4 x  cos4  x+    4    sin4 x  4cos4  x+    4 cos2 2x     (1  cos2x) +  1+cos(2x+   2   (1  cos2x)2 +(1  sin 2x)2    cos 2x  cos2 2x+1-2sin2x+sin2 2x=1 1 sin 2x  cos2x  2      cos2x.cos  sin 2x.sin   cos(2x- )  cos 4 4  sin 2x  cos    x   k    2x-    k2   (k  Z)  4  x  k g tan x  cot x  2(sinx+cosx) (1) www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy  sinx cosx (1)    2(sinx+cosx) cosx sinx   2(sinx+cosx) (*) sinx.cosx   2(sinx+cosx) sin2x   2(1+sin2x) sin2 2x  2=sin3 2x+sin2 2x Điều kiện: x  k  sin3 2x+sin2 2x-2=0  (sin3 2x-1)(sin3 2x-1)=0  (sin2x-1)(sin2 2x+sinx+1+1)=0  (sin2x-1)(sin2 2x+sinx+2)=0    sin2x=1  2x=  k2  x   k  Thỏa điều kiện, x   k2 thỏa (*) Giải các phương trình: 2     cos   x     6  x  5  b cos 2x  cos2  10 cos   x    cosx   2 c cos x-cos2x+2sin x=0 d tan2 x  cot x  2(t anx+cotx)=6   a cos  2x+ Giải: 2      cos   x      6  2      cos  2x+   sin  x     3         sin2  x+   sin  x    3  3       sin2  x+   sin  x     3  3    Đặt sin  x    t ( t  1) phương trình: 3  a cos  2x+ www.thaytro.vn Trang Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy  t  2t2  4t     2 t        x    k2 x    k2     6  sin  x       (k  Z) 3   x    5  k2  x    k2   x  5  b cos 2x  cos2  10 cos   x    cosx   2 x cos 2x  2cos2  20 sinx   cosx 2  4(1-2sin x)+1+cosx-20sinx+7=cosx  -8sin2 x-20sinx+12=0  2sin2 x+5sinx-3=0  x   x   c cos4 x-cos2x+2sin6 x=0 sinx=-3 (loai)   sinx=    k2 5  k2   cos2x    cos2x    cos2x+2    0 2      1  cos2x   cos 2x  1  cos2x   Đặt cos2x=t 1  t   t  1 phương trình:  4t  (1  t)3    2t  t  4t  (1  t)3   (1  t)2  (1  t)3   (1  t)2 (1   t)   t  (loai)  (1  t)2 (2  t)    t  cos 2x   2x  k2  x  k (k  z) d tan2 x  cot x  2(t anx+cotx)=6 Điều kiện: x  k   tan x  cot x    2(tan x  cot x)    Đặt tanx+cotx=U thì U  , Được phương trình: U  U  4 U2+2U-8=0   ** tanx+cotx=2  t anx+ 20 tanx www.thaytro.vn Trang 10 Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy  tan2 x  tan x    t anx=1   x=  k 40 ** tanx+cotx=-4  t anx+ tanx  tan2 x  tan x    t anx=-2-  x  arctan(-2- )  K   (k  Z)  t anx=-2+  x  arctan(-2+ )  K Giải các phương trình: x x  x   2 4 2 sin4 x  cos4 x  (t anx+cotx) b sin2x 2 c cos 2x  cos2x=4sin2 2x.cos2 x d sin4 x  sin2 x cos x  cos2 x  a sin sinx-cos sin2 x   sin2  Giải:  x   4 2 x x x   x  sinx  sin -2cos2 sin    sin2     2 2  4 2 x x a sin sinx-cos sin2 x   sin2  x x x     sinx  sin -2cos2 sin   cos   x   2 2  2  x x x    sinx  sin -2cos2 sin  1  2     x  x  sinx   2cos2  1 sin  1     x x    sinx  2sin3  sin  1  2   x  x x    sinx  sin  1  sin2  sin  1   2   sinx=0   x  k (k  Z) sin x   sin x  cos4 x  (t anx+cotx) b sin2x  Điều kiện: x  k Biến đổi:  sin  x  cos2 x sin 2x   sin2 x  cos2 x     sinx.cosx  www.thaytro.vn Trang 11 Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy sin 2x 1     sin2 2x  sin 2x sin 2x  sin 2x  1 Không thỏa điều kiện => phương trình vô nghiệm c cos2 2x  cos2x=4sin2 2x.cos2 x   cos4x+cos2x=(1-cos4x)(1+cos2x)   cos4x+cos2x=1-cos4x+cos2x-cos4xcos2x  2cos4x+cos4x.cos2x=0  cos4x(2+cos2x)=0     cos4x=0  4x=  k  x   k (k  Z) 4 2 d sin x  sin x cos x  cos x  Đặt sin2 x  t   t  1 phương trình 2t  cos.t  cos2 x  Phương trình bậc hai cũa t này có   49 cos2 x  48 cos2 x  cos2 x  cos x  cosx  cosx t  =>   t  cos x  cosx  2cosx  3  * sin2 x  cosx  1-cos2 x= cosx 2 cosx=-2  loai   2cos2x+3cos-2=0   cosx=   cosx=  x    k2 * Sin2x=2cosx  1-cos2x=2cosx cosx=-1-  loai   cos2 x+2cosx-1=0   cosx=-1+   cosx=-1+  x  arccos -1+  k2  cot x+a  tanx+cotx    cos x a Giải phương trình a  Cho phương trình b Định a để phương trình có nghiệm Giải  cot x+a  tanx+cotx    cos x   tan2 x  cot x+a  tanx+cotx    www.thaytro.vn Trang 12 Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy  k  Z  2 Đặt tan x  cot x  U thì U  , tan2 x + cot x + =  tanx + cotx  Điều kiện: x  k Được phương trình U2  aU   5 a Khi a  : U2  U    2U2  5U   2 U  2  U    loai   Với U=-2    tan2 x  tan x   t anx    t anx+1   t anx=-1  x=-  k  k  Z  b Cần tìm a để phương trình U  aU   có nghiêm U  tan x  cot x  2  t ãn+ phương trình có   a2  Nếu    a  2 , phương trình có nghiệm U  1 loai  Nếu    a2    a  , phương trình có nghiệm U1  a  a2 -4 a  a2 -4 ,U2  2 Để phương trình có nghiệm thì: a  a2  a  a2   hoac 2 2 2a2   2a a2 -4 2a2   2a a2 -4   hoac 4 4  a2   a a2 -4  hoac a a2 -4  10  a2 1 hoac a2  10  a a2 -4 Giải (1): a  10 (1) đúng  a2   a a2 -4   2   a  10 thì 1  a2 a2   100  20a2  a  16a2  100  a2  5/2 25  a  10 5/2 www.thaytro.vn Trang 13 Lop12.net Bài: GVGD: Tên thầy a  10 vế dương (2)  a  20a2  100  a  4a2  16a2  100  a  => a  Giải (2): Vô nghiệm sin 6x  cos6x m Cho phương trình     tan  x+  tan  x-   4  4 a Giải phương trình m   Theo yêu cầu bài tập: a  b Định m để phương trình có nghiệm Giải:          tan  x     tan  x    cos    x   cos  x   4 4 4   2            tan  x   tan  x     tan  x   cot  x    1 4 4 4 4         Điều kiện: x   k    k 4  .sin6 x  cos6 x= sin2 x    cos x    sin x  cos x  sin x  cos x-sin x.cos x    sin x  cos x   sin x.cos x  3 2 2 4 2 2 3   cos4x  sin2 2x     4   cos 4x   1  cos 4x 1 Khi m   :     cos 4x  1  cos4x=-1  4x=+k2  x=   k  cos 4x  m  cos 4x   8m -8m-5  cos4x= -8m-5 1  1 Để phương trình có nghiệm thì:  1  m   4 Định a để phương trình 2a sin x  (1  a).cos2x+a+3=0 có nghiệm: Từ: Giải: www.thaytro.vn Trang 14 Lop12.net Bài:  GVGD: Tên thầy Nếu a = 0, có phương trình –cos2x+3=0 phương trình vô nghiệm 2a sin4 x  (1  a).cos2x+a+3=0  Nếu a khác  1-cos2x  a  2(1  a)cos2x+2a+6=0  acos2 2x-2(1+a).cos2x+3a+6=0 Đặt cos2x=X thì X  phương trình aX2-2(1+2a)X+3a+6=0 phương trình này có  '   4a  4a2  a(3a  6)  a2  2a   (a  1)2  2a  a   a    X1  a a   X2   2a  a   (loai)  a Để phương trình có nghiệm thì: 2a 1 a 2  a  a    2  a 1  a   2a  a   2   a a  1 hay a   a  1   a  1 Bài Tự Luyện Tập: Giải các phương trình: a 2cos2x+4cosx=3sin2x b 4sin4x+12cos2x=7 c sin2x(1+tanx) + m(tanx + cotx)-1=0 x x    cos4 x= sin2 2x 2 8  tan2 x  m(t anx+cotx)-1=0 Định m để phương trình sau: sin x d sin4 x+sin4 x  Có nghiệm Cho phương trình  sin x  1 cos 2x  sin x  m    cos2 x a Giải phương trình m=1 b Định m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc 0; www.thaytro.vn Trang 15 Lop12.net