Bài tập phương trình chứa căn bậc hai (có lời gải chi tiết)

Với phƣơng trình này chúng ta cũng hoàn toàn có thể phân tích vế trái thành nhân tử để đƣa về phƣơng trình tích.[r]

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ

PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI I/ DẠNG 1: f (x)e với e ≥ số

1/ Trƣờng hợp: f(x) = ax + b f(x) = ax b cx d



 thì:

Bƣớc 1: Giải điều kiện f(x) ≥ để tìm điều kiện x Bƣớc 2: Bình phƣơng vế phƣơng trình (để làm căn) Bƣớc 3: Giải phƣơng trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau:

a) 2x 3  b) x 2x

 

 c)

2x x

 

 d)

2x x

 



2/ Trƣờng hợp: f(x) = ax2

+ bx + c kiểm tra biểu thức f(x)

* Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức có dạng đẳng thức thì: KHAI CĂN

Phƣơng trình  Ax B e Ax B e

Ax B e

  

   

  

 => Tìm x

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau: x2 4x 4 Hƣớng dẫn Vì x2 – 4x + = (x – 2)2, ta có

PT  x22 3  x x x

x x

  

 

     

    

 

* Nếu f(x) = ax2 + bx + c khơng có dạng đẳng thức thì: BÌNH PHƢƠNG VẾ

Bƣớc 1: Viết điều kiện f(x) ≥

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Bƣớc 3: Giải phƣơng trình bậc hai có đƣợc cách: Phân tích thành nhân tử, đƣa phƣơng trình tích

Ví dụ 3: Giải phƣơng trình sau: x2 4x 6 15 Hƣớng dẫn

Nhận xét: x2 – 4x – khơng có dạng (Ax ± B)2 nên ta khơng đƣa đƣợc phƣơng trình trị tuyệt đối nhƣ Ví dụ

Điều kiện: x2

– 4x – ≥

Bình phƣơng hai vế phƣơng trình ta đƣợc:

x2 – 4x – = 15  x2 – 4x – 21 =  (x – 7) (x + 3) =  x = x = -

Thay x tìm đƣợc vào điều kiện ta thấy x = x = - thỏa mãn Vậy phƣơng trình có nghiệm x = ; x = -

Ví dụ 4: Giải phƣơng trình sau: (x2)(x3) 5 Hƣớng dẫn

Nhận xét: Nhìn Ví dụ khác với dạng Ví dụ nhƣng thực dạng

Vì f(x) = (x – 2)(x + 3) = x2 + x -

Do cách giải tƣơng tự Ví dụ 3:

Điều kiện: (x – 2)(x + 3) ≥

x x

x x x

x

x x

x x

 

 



 

 



  

 

 

 

  

    

  

 

  

   

Bình phƣơng hai vế phƣơng trình ta đƣợc:

(x – 2)(x + 3) = 25  x2 + x - = 25  x2 + x – 31 =

 (x2

+ x + 4) -

1

4 – 31 = 

2

1 x

2

  

 

  ) -

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!



2

1 15 x

x (t / m)

1 125 2 2

x

1 15 x (t / m)

2

x

2

  

  

     



    

      



Vậy phƣơng trình có nghiệm x = ; x = -

II/ DẠNG 2: f (x) g(x) 1/ Phƣơng pháp

Bƣớc 1: Viết điều kiện phƣơng trình: f (x) g(x)

 

 



Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)2 cần điều kiện g(x)0

Bƣớc 2: Nhận dạng loại dạng tƣơng ứng với phƣơng pháp giải sau:

* LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 KHAI CĂN đƣa phƣơng trình trị tuyệt đối để giải

* LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B g(x) = Ex ± D dùng phƣơng pháp BÌNH PHƢƠNG HAI VẾ

* LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C (khơng có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 ) g(x) = Ex ± D dùng phƣơng pháp BÌNH PHƢƠNG HAI VẾ

* LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C g(x) = Ex2 + Dx + F thử phân tích f(x) g(x) thành nhân tử, chúng có nhân tử chung đặt nhân tử chung đƣa phƣơng trình tích Bƣớc 3: Kiểm tra nghiệm tìm đƣợc xem có thỏa mãn điều kiện khơng, rối kết luận nghiệm 2/ Các ví dụ

Ví dụ 5: Giải phƣơng trình: 2x32  x

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

PT 

x

2x x

2x x 2

2x (x 5) x

3

 

  

 

    



    

 

Kết hợp điều kiện => Phƣơng trình vơ nghiệm

Ví dụ 6: Giải phƣơng trình: x2 6x  9 x Hƣớng dẫn

Nhận xét: x2 – 6x + = (x – 3)2 dạng bình phƣơng hiệu

Điều kiện: x 0    x

PT  x x x x x

x (x 5) x

   

 

     

     

 

Kết hợp điều kiện => Phƣơng trình có nghiệm x = -

Ví dụ 7: Giải phƣơng trình: 2x 3  x

Hƣớng dẫn Điều kiện:

3

2x x

x

x

x



  

   

   

  

Bình phƣơng hai vế ta có:

 2

2

2x 3 x 2x 1 x 4x  4 x2   0 x Theo điều kiện => Phƣơng trình có nghiệm x =

Ví dụ 8: Giải phƣơng trình: x2 5x  6 x Hƣớng dẫn

Nhận xét: f(x) = x2 - 5x – khơng có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 nên để phá ta dùng phƣơng pháp BÌNH PHƢƠNG HAI VẾ

Điều kiện:

2

x 5x

x

   



5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

PT  x2 5x 6 x2 4x   4 x 10

Thay x = - 10 vào điều kiện thấy không thỏa mãn

Vậy phƣơng trình vơ nghiệm

3/ Bài tập vận dụng: Giải phƣơng trình sau: a) x2 8x 16  4 x

b) x2 2x  2 x c) 2x27 6 x

III/ DẠNG 3: f (x)2  h(x)2 g(x)

Bƣớc 1: Nếu thân f(x) g(x) có chứa bậc hai có điều kiện Bƣớc 2: Đƣa phƣơng trình dạng phƣơng trình trị tuyệt đối

f (x)  h(x) g(x) Bƣớc 3: Xét dấu trị tuyệt đối giải phƣơng trình Ví dụ 9: Giải phƣơng trình x 4 x  x 9 x 1

Hƣớng dẫn Điều kiện: x ≥

Với phƣơng trình ta dễ dàng nhận thấy:

 2

x 4 x  x 2 x 9 x  x 32 PT  x  2 x  3

TH1: Nếu x x x x

  

    



 

 ta có

6 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

TH2: Nếu x x x x

    

 

  

  

 ta có

 x   2 3 x 1 x   6 x (Loại) TH3: Nếu x x x

x x

    

   

  

  



TH4: Nếu x x x x

  

    



 

 ta có

2 x  3 x 1 x 2=> Pt có vơ nghiệm Kết luận: Vậy phƣơng trình có vơ số nghiệm x ≥

Ví dụ 10: (HS tự giải) Giải phƣơng trình: x 3 x 1  x 8 x 1 4

IV/ PHƢƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Trong mục THẦY lấy ví dụ cụ thể để em làm quen, từ vận dụng cho việc giải phƣơng trình tƣơng tự

1/ PHƢƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc hai phƣơng trình đơn giản hơn

Ví dụ 11: Giải phƣơng trình x - 5 x + =

Hƣớng dẫn Điều kiện: x ≥

Đặt x = t ≥ => x = t2, ta có phƣơng trình: t2

– 5t + = (Cách giải phƣơng trình bậc đƣợc học chƣơng sau)

7 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Ví dụ 12: Giải phƣơng trình: x 1  x 6 Hƣớng dẫn Điều kiện: x x

x

  

     



Đặt x t 0   => x + = t2, ta có phƣơng trình

2

t t   5 t   5 t (*)

Phƣơng trình (*) thuộc phƣơng trình LOẠI – DẠNG 2:

Điều kiện (*) là: – t ≥  t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG VẾ (*) ta có t2 + = 25 – 10t + t2  t = (thỏa mãn điều kiện ≤ t ≤ 5)

 x 1      2 x x Vậy phƣơng trình có nghiệm x =

Ví dụ 13: Giải phƣơng trình x2 2x3 x22x 3 Hƣớng dẫn

Điều kiện: x2

– 2x – ≥

PT  x2 2x 3 x2 2x 3 100

Đặt 2

t x 2x   3 t x 2x3 ta có:

t2 + 3t – 10 =  (t – 2)(t + 5) = t

t

     



Với t = - (loại)

Với t = => x2 2x 3 4  x2 – 2x – =  (x2 – 2x + 1) – =  (x - 1)2

= x 2 x 2 x 2 x 2

     



 

    

 

  (thỏa mãn điều kiện)

8 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

2/ PHƢƠNG PHÁP đánh giá biểu thức dƣới dấu lớn nhỏ số

Áp dụng với phƣơng trình: f (x)2  c h(x)2   d g(x)2 e với

c

d

c d e

    

   

Thƣờng chƣa nhìn thấy dạng phƣơng trình này, mà đơi tách hệ số có [f(x)]2 ; [h(x)]2 [g(x)]2

Ví dụ 15: Giải phƣơng trình 3x2 6x 12  5x4 10x2 30 8 Hƣớng dẫn

Nhận xét:

3x2 + 6x + 12 = 3(x2 + 2x + 1) + = 3(x + 1)2 + ≥ =>

3x 6x 12 ≥ 5x4 - 10x2 + 30 = 5(x2 - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)2 + 25 ≥ 25 =>

5x 10x 30 ≥

Do đó:

3x 6x 12  5x 10x 30 8 Phƣơng trình thỏa mãn 

 

 

2

2

2

4

3 x =9 x 0 3x 6x 12

x

x -1 x -1 25= 25

5x 10x 30



        

     

  



 

  

 

 

Vậy phƣơng trình có nghiệm x = -

Ví dụ 16: Giải phƣơng trình: 3x26x 7 5x2 10x 14  4 2xx2 Hƣớng dẫn

Nhận xét:

3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) + = 3(x + 1)2 + ≥ =>

3x 6x7 ≥ 5x2 + 10x + 14 = 5(x2 - 2x + 1) + = 5(x + 1)2 + ≥ =>

9 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Khi đó:

2

2

3x 6x 5x 10x 14 2x x

      

 

  



Phƣơng trình thỏa mãn 

2

2

3x 6x

5x 10x 14 x x 2x x

   

         



    