Đang tải... (xem toàn văn)
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham 1 hai bằng của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất.. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nữa Bài 2.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Phương trình bậc ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình bậc ẩn là phương trình có dạng ax + b = , đó a , b là số, a ≠ Ví dụ: x − = ; −3x + = ; − x = là phương trình bậc ẩn 1.2 Giải và biện luận phương trình ax + b = ax + b = (1) • • b a ≠ : (1) có nghiệm x = − a a=0: b ≠ : (1) vô nghiệm b = : (1) thỏa mãn với x ∈ℝ (có vô số nghiệm) Ví dụ: Giải các phương trình sau b) − 3x = a) x − = Giải: a) 2x − = ⇔ 2x = ⇔x=4 Vậy nghiệm phương trình là x = b) − 3x = ⇔ −3 x = −5 ⇔ x= 5 Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m − 1) x + − m = (*) Vậy nghiệm phương trình là x = Giải: • m − ≠ ⇔ m ≠ Phương trình (*) có nghiệm (*) ⇔ (m − 1) x = m − ⇔ x =1 • m − = ⇔ m = Phương trình (*) trở thành: 0x = Phương trình nghiệm đúng với x ∈ ℝ (phương trình có vô số nghiệm) Vậy: • m ≠ , (*) có nghiệm x = • m = , (*) có vô số nghiệm 1.3 Phương trình quy phương trình bậc mộ t ẩn mx + n 1.3.1 Phương trình = e v ới p ≠ px + q Điều kiện phương trình xác định px + q ≠ hay x ≠ − Phương trình đã cho tương đương với q p (2) mx + n = e( px + q ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2x + =5 −4 x + b) −x +1 =2 x −1 Giải: 2x + =5 −4 x + Điều kiện: a) Phương trình đã cho tương đương với: x + = 5(−4 x + 3) −4 x + ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x + = −20 x + 15 ⇔ 22 x = 12 ⇔x= (nhận) 11 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 11 −x +1 =2 x −1 Điều kiện: x −1 ≠ ⇔ x ≠ Phương trình đã cho tương đương với: − x + = 2( x − 1) b) ⇔ − x + = 2x − ⇔ 3x = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1.3.2 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ Điều kiện phương trình xác định là cx + d ≥ Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔ ax + b = −(cx + d ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc ta có thể viết gọn là: cx + d ≥ ax + b = cx + d ⇔ ax + b = cx + d ax + b = −(cx + d ) Giải tìm nghiệm và đối chiếu với đ iều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Để dễ nhớ ta viết (3) B ≥ A = B ⇔ A = B A = −B Ví dụ: Giải phương trình x − = x − Giải: 2x − = x −1 Điều kiện: x −1 ≥ ⇔ x ≥ Phương trình đã cho tương đương với: 2 x − = x − x − = −( x − 1) x = ⇔ 3x = x = (loại) ⇔ x = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Hoặc ta có thể giải sau: 2x − = x −1 x −1 ≥ ⇔ x − = x − x − = −( x − 1) x ≥ ⇔ x = 3 x = x ≥ x = (loại) ⇔ x = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔ ax + b = − (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: A = B A = B ⇔ A = −B Ví dụ: Giải phương trình 3x − = − x Giải: 3x − = − x (4) 3 x − = − x ⇔ 3 x − = −(5 − x) 5x = 10 ⇔ 3 x − = x − x = ⇔ x = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = và x = (Hoặc: Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là S = {0;2} ) Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx − = x + m (*) Giải: Ta có: mx − = x + m ( a) mx − = x + m ⇔ mx − = −( x + m) (b) (a ) ⇔ (m − 1) x = m + • • m+2 m −1 m − = ⇔ m = , (a) trở thành x = , phương trình này vô nghiệm m − ≠ ⇔ m ≠ , (a) có nghiệm x = (b) ⇔ (m + 1) x = −m + • • −m + m +1 m + = ⇔ m = −1 , (b) trở thành x = , phương trình này vô nghiệm m + ≠ ⇔ m ≠ −1 , (b ) có nghiệm x = Ta có b ảng sau: Nghiệm (a) Nghiệm (b ) Nghiệm (*) m =1 Vô nghiệm −m + = m +1 2 m = −1 m+2 =− m −1 Vô nghiệm m ≠ ±1 m+2 m −1 −m + m +1 − m + −m + ; m −1 m +1 Vậy: • m = , (*) có nghiệm x = m = −1 , (*) có nghiệm x = − m+2 −m + , x= • m ≠ ±1 , (*) có hai nghiệm x = m −1 m +1 Phương trình bậc hai ẩn 2.1 Định nghĩa • Phương trình bậc hai ẩn là phương trình có dạng ax + bx + c = , đó a , b , c là số, a ≠ (5) Ví dụ: x − x + = ; − x2 + x − = ; 2 x − x + = là phương trình bậc hai ẩn 2.2 Giả i và biện luận phương trình ax + bx + c = ax + bx + c = (2) • • a ≠ Ta tính ∆ = b2 − 4ac (tương ứng ∆ ' = b ' − ac b = 2b ' ) ∆ < (tương ứng ∆ ' < ): (2) vô nghiệm b b' (tương ứng x = − ) ∆ = (tương ứng ∆ ' = ): (2) có nghiệm kép x = − 2a a ∆ > (tương ứng ∆ ' > ): (2) có hai nghiệm phân biệt −b + ∆ −b − ∆ −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' x1 = ; x2 = (tương ứng x1 = ; x2 = ) 2a 2a a a a = : (2) trở thành bx + c = Đây là phương trình phương trình (1) nêu phần trên Cách giải và biện luận giống phần 1.2 Ví dụ : Giải các phương trình sau a) x2 − x + = b) x2 − x + = c) x2 + x + = Giải: a) x2 − x + = Ta có: a = , b = −5 , c = Khi đó: ∆ = b2 − 4ac = (−5) − 4.1.6 = 25 − 24 = Vì ∆ = > nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = −b − ∆ − = =2 2a x2 = −b + ∆ + = =3 2a Vậy tập nghiệm phương trình là S = {2;3} b) x2 − x + = Ta có: a = , b = −4 , c = , b ' = −2 Khi đó: ∆ ' = b ' − ac = (−2) − 1.4 =4−4=0 Vì ∆ ' = nên phương trình đã cho có nghiệm kép x=− b' = =2 a Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = {2} c) x2 + x + = Ta có: a = , b = , c = , b ' = Khi đó: ∆ ' = b ' − ac = 12 − 1.3 = − = −2 (6) Vì ∆ ' = −2 < nên phương trình đã cho vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình là S = ∅ Ví dụ : Giải và biện luận phương trình (m − 1) x2 − (2m + 1) x + m − = (*) Giải: • m − = ⇔ m = , (*) trở thành: m − ≠ ⇔ m ≠ , (*) là phương trình bậc hai với: −3 x − = ⇔ x = − • ∆ = (2m − 1)2 − 4(m − 1)(m − 3) = 4m2 − 4m + − 4(m2 − 4m + 3) = 12m − 11 11 , (*) vô nghiệm 12 11 2m − ∆ = ⇔ 12m − 11 = ⇔ m = , (*) có nghiệm kép x = = −5 2(m − 1) 12 ∆ < ⇔ 12m − 11 < ⇔ m < ∆ > ⇔ 12m − 11 > ⇔ m > x2 = 11 , 12 (*) có hai nghiệm phân x1 = biệt 2m − − 12m − 11 ; 2(m − 1) 2m − + 12m − 11 2(m − 1) Vậy: • • • m = , (*) có nghiệm x = − 11 m < , (*) vô nghiệm 12 11 m = , (*) có nghiệm kép x = −5 12 m> 2m − − 12m − 11 2m − + 12m − 11 11 và m ≠ , (*) có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 12 2(m − 1) 2(m − 1) 2.3 Định lý Viet 2.3.1 Định lý Viet thuận Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đ ó là: S = x1 + x2 = − b ; a P = x1 x2 = c a Ghi chú: - Nếu a + b + c = thì phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 = , x2 = c a c - Nếu a − b + c = thì phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 = −1 , x2 = − a 2.3.2 Định lý Viet đảo Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm phương trình: x − Sx + P = 2.4 Phương trình quy phương trình bậc hai ẩn (7) 2.4.1 Phương trình ax + b = mx + n với mc ≠ cx + d Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≠ ⇔ x ≠ − d c Phương trình đã cho tương đương với: ax + b = (cx + d )( mx + n ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Ví dụ : Giải phương trình x −1 = 3x − x +1 Giải: Điều kiện để phương trình xác định là: x + ≠ ⇔ x ≠ −1 Phương trình đã cho tương đương với: x − = (3 x − 1)( x + 1) ⇔ x − = 3x2 + x − ⇔ 3x + x = x = (nhaän) ⇔ x = − (nhaän) Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = − ;0 2.4.2 Phương trình ax + b mx + n với pc ≠ = cx + d px + q d x ≠ − c cx + d ≠ Điều kiện phương trình xác định: ⇔ px + q ≠ x ≠ − q p Phương trình đã cho tương đương với: (ax + b)( px + q) = (cx + d )(mx + n) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm x − −3 x + Ví dụ : Giải phương trình = 2−x 2x + Giải: Điều kiện để phương trình đã cho xác định là: x ≠ 2 − x ≠ ⇔ 2 x + ≠ x ≠ − Phương trình đã cho tương đương với: (2 x − 1)(2 x + 1) = (−3 x + 1)(2 − x) ⇔ x − = 3x − x + ⇔ x2 + x − = (8) −7 − 61 (nhaän) x = ⇔ −7 + 61 (nhaän) x = −7 − 61 −7 + 61 Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = ; 2 2.4.3 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ (ax + b)2 = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc có thể viết sau: cx + d ≥ ax + b = cx + d ⇔ 2 (ax + b) = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ A =B⇔ 2 A = B Ví dụ : Giải phương trình x − = x − Giải: Điều kiện để phương trình đã cho xác định là: x −1 ≥ ⇔ x ≥ Phương trình đã cho tương đương với: (2 x − 1)2 = ( x − 1)2 ⇔ 4x2 − 4x + = x2 − 2x + ⇔ 3x − x = x = (loại) ⇔ x = (loại) Vậy tập nghiệm phương trình là S = ∅ Hoặc là có thể giải sau: 2x − = x −1 x −1 ≥ ⇔ 2 (2 x − 1) = ( x − 1) x ≥ ⇔ 2 4 x − x + = x − x + x ≥ ⇔ 3 x − x = (9) x ≥ x = (loại) ⇔ x = (loại) Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = ∅ b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ ax + b = cx + d ⇔ (ax + b)2 = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: A = B ⇔ A2 = B Ví dụ : Giải phương trình 3x − = − x Giải: 3x − = − x ⇔ (3 x − 5)2 = (5 − x)2 ⇔ x − 30 x + 25 = 25 − 20 x + x ⇔ x − 10 x = x = ⇔ x = Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = {0;2} 2.4.4 Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ ax + b = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc ta có thể viết sau: cx + d ≥ ax + b = cx + d ⇔ ax + b = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ A=B⇔ A = B Ví dụ : Giải phương trình − 4x − x2 = x + Giải: Điều kiện để phương trình đã cho xác định là: x + ≥ ⇔ x ≥ −4 Phương trình đã cho tương đương với: − x − x = ( x + 4)2 ⇔ − x − x = x + x + 16 ⇔ x + 12 x + 10 = x = −1 (nhaän) ⇔ x = −5 (loại) (10) Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = {−1} Hoặc ta có thể giải sau: − 4x − x2 = x + x + ≥ ⇔ 2 6 − x − x = ( x + 4) x ≥ −4 ⇔ 2 6 − x − x = x + x + 16 x ≥ −4 ⇔ 2 x + 12 x + 10 = x ≥ −4 ⇔ x = −1 (nhaän) x = −5 (loại) Vậy tập nghiệm phương trình đ ã cho là S = {−1} Bài tập: Bài Giải và biện luận các phương trình sau theo tham hai bình phương số còn lại rổ thứ số m Hỏi số quýt rổ lúc ban đầu là bao nhiêu? a) (m + 2) x − 2m = x − Bài Tìm ba cạnh tam giác vuông, biết cạnh dài b) m( x − m) = x + m − cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai cạnh c) m( x − m + 3) = m( x − 2) + ngắn là 23m d) m2 ( x − 1) + m = x(3m − 2) Bài Tìm tuổi học sinh, biết sau năm Bài Giải và biện luận các phương trình sau theo tham tuổi em bình phương số tuổi em cách đây số m năm a) m( x − 2) = x + Bài Tìm chiều dài ba cạnh tam giác vuông biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp b) m x + = x + 3m Bài Một san hình chữ nhật có chiều dài chiều roogj c) (2m + 1) x − 2m = 3x − là 1m Nếu chiều dài tăng 8m và chiều rộng tăng 5m thì Bài Giải và biện luận các phương trình sau theo tham diện tích tăng gấp đôi Tính chiều dài và chiều rộng số m Bài 10 Giải các phương trình sau: a) 2(m + 1) x − m( x − 1) = 2m + a) 3x − = x + b) m ( x − 1) + 3mx = (m + 3) x − b) x − = −5 x − c) 3(m + 1) x + = x + 5(m + 1) x − −3 x + d) m2 x + = x + 3m c) = 2x − x +1 Bài Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m d) x + = x + x + c) (m + 1) x + m − =m x+3 mx − m − =1 x +1 x+m = x−m+2 d) x − m = x +1 a) b) Bài Có hai rổ quýt chứa số quýt Nếu lấy 30 rổ thứ đưa sang rổ thứ hai thì số rổ thứ e) f) g) 2x + 24 − = +2 x −3 x +3 x −9 x + 3x + 2 x − = 2x + 3x − = h) 2x + = i) − 4x = x − j) 2x + = x (11)