Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Các phương pháp tính tích phân43198

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG PP LƯỢNG GIÁC HÓA dx = a cos tdt x = a sin t  → a − x  2 2  a − x = a − a sin t = a cos t adt  dx = 2   a +x cos t  x = a tan t  → Nếu f(x) có chứa  2  a + x = a + a tan t = a  a + x  cos t −a cos dt  dx = a  x= sin t  sin t Nếu f(x) có chứa x − a  → a2  x2 − a2 = − a = a cot t  sin t Chú ý: Sau đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt Nếu f(x) có chứa Ví dụ 1: Tính tích phân sau a) I1 = ∫ − x dx b) I = ∫ dx + x2 d) I = ∫ e) I = ∫ + 3x dx x2 c) I = 2 ∫ x2 − x2 dx x2 − dx x3 Hướng dẫn giải: dx = cos tdt a) Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  → cos t = cos t Đổi cận :  π   x = ⇒ t = π ⇒ I1 = ∫ − x dx = ∫ 0 π π π 1 π 1 6 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = + 2 12  0 0 2  3dt  dx =  cos t b) Đặt x = tan t ⇒   + x = + tan t =  cos t π   x = ⇒ t =  → cos t = cos t Đổi cận :  x = ⇒ t = π  Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng π ∫ I2 = π 4 + 3x + tan t 3 dx dt = = ∫π 3tan t cos2 t ∫π x2 π cos tdt dt 3 = = = 2 2 ∫ ∫ sin t π cos t sin t π cos t sin t cos t.cos t 6 cos t π π dt π π   1  1 d (sin t )  = 3∫ = + = + + (sin ) d t   d (sin t ) =  2 2  ∫ ∫ sin t  2(1 + sin t ) sin t  π  2(1 − sin t ) π (1 − sin t ).sin t π  − sin t 6 π π π π π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) + sin t = ∫ + ∫ + 3∫ = ln 2 π − sin t π + sin t − sin t π sin t 6 π − sin t π  3 2+ =  ln − ln  + − 2 2− 2  dx = cos tdt c) Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  → cos t = cos t Đổi cận :  π  ⇒t = x =  π π π π π π sin t cos t 1 4 π I3 = ∫ dt = ∫ dt = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − =∫ 2 cos t 20 2 0 1− x − sin t 0 3dt   dx = cos t = (1 + tan t ) dt d) Đặt x = 3tan t ⇒  9 + x = (1 + tan t )  x dx sin t cos t π x = ⇒ t = (1 + tan t )dt π dx  Đổi cận :  → I4 = ∫ = 3∫ = t = π  + x2 + tan t 12 0  x = ⇒ t = 2cos tdt  dx = −  sin t  e) Đặt x = ⇒ sin t  x − = cos t = cot t  sin t π π   x = ⇒ t =  → cot t = cot t Đổi cận :  x = ⇒ t = π 3  I5 = π π π π x −4 2cos t.2cos t 1 1 2 π − dx = − ∫ dt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = π x 2π 4π 4 24 16  π sin t sin t 3 sin t ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân sau : 2 a) ∫ 1− x dx b) ∫ 0 x 2 1− x dx c) ∫ dx − x2 Ví dụ 3: Tính tích phân sau : 2 a) ∫x − x dx b) ∫ dx (1 − x )3 c) ∫ 2 1− x dx x2 Ví dụ 4: Tính tích phân sau : Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) dx ∫ ∫ b) − x2 x 2 − x2 dx x2 ∫ c) − x2 dx Ví dụ 5: Tính tích phân sau : a) 2 ∫ x 1− x dx b) ∫ x x − x dx c) 0 2 ∫ 2− x dx x+2 Ví dụ 6: Tính tích phân sau : a) x dx ∫ 4− x b) ∫ + 2x − x Đ/.s: a) I = π 18 b) I = x dx c) ∫ − x − x dx π 3 + −4 2 Ví dụ 7: Tính tích phân sau: dx a) ∫ + x2 b) ∫ dx (1 + x ) c) ∫x xdx + x2 + Ví dụ 8: Tính tích phân sau: a) dx ∫0 x + x + b) dx ∫0 (1 + x )2 c) ∫ −1 dx x + 2x + 2 Ví dụ 9: Tính tích phân sau: x2 − dx x a) ∫ x2 − dx x b) ∫ c) ∫ (1 + x ) dx Ví dụ 10: Tính tích phân sau 3 a) ∫ x x −9 1+ 2 dx b) ∫ x2 − x − dx x −1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn c) ∫ x x +4 dx www.moon.vn ... Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) dx ∫ ∫ b) − x2 x 2 − x2 dx x2 ∫ c) − x2 dx Ví dụ 5: Tính. . .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng π ∫ I2 = π 4 + 3x + tan t 3 dx dt = = ∫π 3tan t... sin t ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân sau : 2 a) ∫ 1− x dx b) ∫ 0 x 2 1− x dx c) ∫ dx − x2 Ví dụ 3: Tính tích phân sau : 2 a) ∫x − x dx b) ∫ dx (1 − x )3 c) ∫ 2 1− x dx x2 Ví dụ 4: Tính tích phân sau