Tổng hợp kiến thức Toán 942595

tổng hợp kiến thức toán Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A Các công thức biến đổi thức a A2  A b AB  A B c A  B d A2 B  A B e f A B ( A  0; B  0) A B  A2 B A B   A2 B ( A  0; B  0) ( B  0) AB ( AB  0; B  0) i A A B  B B k C C ( A  B)  A  B2 AB m C C( A  B )  A  B2 A B ( A  0; B  0) ( A  0; B  0) A  B B ( B  0) ( A  0; A  B ) ( A  0; B  0; A B ) Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét đường thẳng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a' (d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b' Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm: nghiệm phân biệt (d) tiếp xúc với (P) điểm: có nghiệm kép (d) (P) điểm chung: vô nghiệm Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän  = b - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' Nếu > : Phương trình có hai nghiệm phân - Nếu ' > : Phương trình cã hai nghiƯm biƯt: ph©n biƯt: b  b   b '  '  b '  ' x1  ; x2  x1  ; x2  2a 2a a a NÕu  = : Ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp : - NÕu ' = : Phương trình có nghiệm kép: b b' x1  x2  x1  x2  2a a NÕu < : Phương trình vô nghiệm - Nếu ' < : Phương trình vô nghiệm Hệ thøc Viet vµ øng dơng - HƯ thøc Viet: b   S  x1  x2  a NÕu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:   P  x x  c  a - Mét sè øng dơng: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P = (§iỊu kiƯn S2 - 4P  0) + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) ThuVienDeThi.com Le Nhat Truong_ toan NÕu a + b + c = th× phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a NÕu a - b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c a Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình ( k) Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với toán kết luận Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm ph©n biƯt a  a Điều kiện có hai nghiệm phân biệt  hc  '     Tìm điều kiện tham số m để phương tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = cã nghiÖm a  a  a Điều kiện có nghiệm:  hc  ' b    10 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = cã nghiÖm kÐp a  a   §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:  hc  '     11 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bËc hai ax2 + bx + c = v« nghiƯm a  a   §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:  hc  '   12 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm cïng dÊu '       §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu: hc   c c  P  a  P   a 13 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = cã nghiƯm d­¬ng     '    c c   Điều kiện có hai nghiệm dương: P  hc  P   a a   b b   S   a  S   a  14 T×m điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiÖm ©m     '    c c    §iỊu kiƯn cã hai nghiệm âm: P P   a a   b b   S   a  S   a 15 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm trái dấu Điều kiƯn cã hai nghiƯm tr¸i dÊu: P < 16 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bËc hai ax2 + bx + c = cã nghiệm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c =  m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2 ThuVienDeThi.com Le Nhat Truong_ toan P x1 17 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiÖm x1, x2 thoả mÃn điều kiện: 1 n a x1  x2   b x12  x22  k c d x12  x22  h e x13  x23  t x1 x2  §iỊu kiƯn chung:   hc '  (*) b   x1  x2  a  S (1) Theo định lí Viet ta có: x x  c  P (2)  a - Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 = a Tr­êng hỵp: x1   x2   b   x1  x2  x1, x2 Gi¶i hƯ  a x1  x2   Thay x1, x2 vào (2) m Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trường hợp: x12 x22 k  ( x1  x2 )  x1 x2  k b c Thay x1 + x2 = S = vµ x1.x2 = P = vµo ta cã: a a S2 - 2P = k  T×m giá trị m thoả mÃn (*) 1   n  x1  x2  nx1.x2  b nc c Trường hợp: x1 x2 Giải phương trình - b = nc tìm m thoả m·n (*) d Tr­êng hỵp: x12  x22  h  S  P  h  Giải bất phương trình S2 - 2P - h chọn m thoả mÃn (*) e Trường hợp: x13  x23  t  S  3PS  t Giải phương trình S 3PS t chọn m thoả mÃn (*) 18 Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t0) ta có phương trình at2 + bt + c = Giải phương trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tãm t¾t at2 + bt + c = ax4 + bx2 + c = v« nghiƯm v« nghiƯm nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm nghiệm dương nghiệm đối nghiệm nghiệm dương cặp nghiệm đối 19 Giải phương trình A( x Đặt x 1 )  B( x  )  C  x x = t  x2 - tx + = x ThuVienDeThi.com Le Nhat Truong_ toan Suy t2 = ( x  1 ) = x2    x2   t  x x x 20 Giải phương trình A( x 1 )  B( x  )  C  x x = t  x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x  )2 = x    x   t  x x x ax  by c 21 Giải hệ phương trình a ' x  b ' y  c ' Các phương pháp giải: Đặt x + Phương pháp cộng + Phương pháp + Phương pháp đặt ẩn phụ 22 Giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) (1) (2)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiƯm thÝch hỵp  nghiƯm cđa (1)  Ta cã 23 Giải phương trình dạng f ( x ) h( x )  g ( x )  f ( x)    §iỊu kiƯn cã nghÜa phương trình h( x) g ( x) Với điều kiện thoả mÃn ta bình phương hai vế để giải tìm x 24 Giải phương trình dạng f ( x ) g ( x ) Phương pháp 1: g ( x)  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)  Phương pháp 2: Xét f(x) f(x) = g(x) XÐt f(x) <  - f(x) = g(x) Phương pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x) 25 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n Z  y  M Do ®ã ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do ®ã ymin = m h(x) = Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức 26 Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) H·y khảo sát tương giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phương trình hoành độ điểm chung: ThuVienDeThi.com 2 Le Nhat Truong_ toan f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm (C) (L) ®iĨm chung - NÕu (*) cã nghiƯm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc - NÕu (*) cã nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung 27 Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k Phương trình tổng quát đường thẳng (D) lµ : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình (D) 28 Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) lµ : y = ax + b  y A ax A b (D) qua A B nªn ta cã:   y B  ax B b Giải hệ ta tìm a b suy phương trình (D) 29 Lập phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hoành độ ®iĨm chung cđa (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm b suy phương trình (D) 30 Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***) a b Phương trình đường thẳng (D) Phần II: hình học A Hệ thức lượng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' b ah = bc c h 1  2 2 h b c c' B C H a C sin2 + cos2 = b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC ThuVienDeThi.com c B Tỉ số lượng giác góc nhän < sin < < coss < sin  cos  tg  cot g  cos  sin  tg.cotg = 1  tg 2  cos  1  cot g 2  sin  HƯ thøc vỊ cạnh góc tam giác vuông b' b + c2 A = b2 a a2 Le Nhat Truong_ toan c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B Đường tròn - Quan hệ vuông góc đường kính dây + Đường kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Hai dây cách tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Cung lớn căng dây lớn + Hai dây căng hai cung + Dây lớn căng cung lớn Tiếp tuyến đường tròn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua tiếp ®iĨm - DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun: + §­êng thẳng đường tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính + Đường thẳng qua điểm đường tròn vuông góc với bán kính qua ®iĨm ®ã - TÝnh chÊt cđa tiÕp tun cắt A MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB + MO phân giác góc AMB O M + OM phân gi¸c cđa gãc AOB B  Chó ý: Trong mét đường tròn - Các góc nội tiếp chắn c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số ®o b»ng nưa sè ®o cđa gãc ë t©m cïng chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vuông ngược lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đường tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2R = d Rn - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l 180 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình trßn: S = R2  R n lR - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: S 360 Các loại đường tròn ThuVienDeThi.com Le Nhat Truong_ toan Đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác A A Tâm đường tròn giao ba đường trung trực tam giác O B Tâm đường tròn giao ba đường phân giác tam giác O C B C Các loại hình không gian a H×nh trơ c H×nh nãn cơt: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - DiƯn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r - ThĨ tÝch: V =  h(r12  r22  r1 r2 ) - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h b H×nh nãn: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl d Hình cầu - Diện tích toàn phần: Stp = 2rl + r2 - Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d - ThĨ tÝch h×nh trơ: V =  r h - ThĨ tÝch hình cầu: V = R 3 10 Tø gi¸c néi tiÕp:  DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tỉng hai gãc đối 1800 - Tứ giác có góc mét ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc 11 Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn (O;R)  C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT  MT T (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp 12 Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lượng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tÝch ThuVienDeThi.com ... tiÕp 12 C¸c toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lượng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính... tÝnh x2 = S - x1 x2 = a Trường hợp: x1 x2   b   x1  x2  x1, x2 Gi¶i hƯ  a x1  x2  Thay x1, x2 vào (2) m Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trường hợp: x12  x22  k  ( x1  x2 )... m thoả m·n (*) 1   n  x1  x2  nx1.x2   b  nc c Tr­êng hợp: x1 x2 Giải phương trình - b = nc tìm m thoả mÃn (*) d Trường hợp: x12  x22  h  S  P h Giải bất phương trình S2 - 2P -