Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn: Toán 742571

PHÒNG GD&ĐT HIỆP HÒA TRƯỜNG THCS DANH THẮNG ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: Toán Thời gian : 150 phút Câu ( điểm ) 1) Cho A = CMR 1 + + …+ 1.2 3.4 37.38 B= 1 + +… + 20.38 21.37 38.20 A lµ mét sè nguyªn B 2) Tìm x , y thỏa mãn x   x   y   x   Câu ( điểm ) 1) CMR: 99     1 2! 3! 4! 100! 2) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a  b  c  b  c  a  c  a  b Hãy tính giá c a b b a c trị biểu thức B  1  1  1    a  c  b 3) Tìm nghiệm đa thức P(x) = x3 +ax2 + bx + c Biết đa thức có nghiệm a+2b+4c= ‒ Câu ( điểm ) 1) Cho 20 số nguyên khác : a1, a2, a3, … , a20 có tính chất sau: * a1 số dương * Tổng ba số viết liền số dương * Tổng 20 số số âm Chứng minh : a1.a14 + a14a12 < a1.a12 2) Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a + 37 = b  45 + b - 45 Câu ( điểm )Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CD Chứng minh A trung điểm MN c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK  BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn Câu ( điểm ) Cho số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? ……… Hết ……… ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN Câu 1) A = 1 1 1 1    =       1.2 3.4 37.38 37 38 =(1+ 1 +   ) – 37 1 1  1  1      38  2 1  =              38   38  1 = 1    20 21 38 B= 1    => 58B= 20.38 21.37 38.20 1 1 1 1               20 38 21 37 38 20 38   20 21  2A B= A 58 A    29  Z 58 B 2) Đặt A  x   x   y   x  Ta có x   x   nên A   x   y    x  2; y  Vậy x  2; y  kết cần tìm Câu 1) 99 1 1 100          2! 3! 4! 100! 2! 3! 100!   1 100! 2) +Nếu a+b+c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b = a bc bc a c  a b =   abc c a b mà abc bca c  a b 1  1  1 c a b => a  b b  c c  a =2   c a b =2 b a c ba ca bc Vậy B = 1   1   1    ( )( )( ) =8  a  c  b a c b +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: ThuVienDeThi.com (0,5®) a  b  c b  c  a c  a  b = a bc bc a c  a b =   abc c a b mà abc bca c  a b 1  1  1 c a b => a  b b  c c  a =1   c a b =1 b a c ba ca bc Vậy B = 1   1   1    ( )( )( ) =1 a c b a c b     3) Do đa thức có nghiệm nên gọi d nghiệm đa thức cho Ta có P(x) = (x-d)(x2 + mx+n) =x3 +mx2 +nx – dx2 – dmx – dn = x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn Cân hệ số ta có: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c Thay a,b,c vào điều kiện đề cho a+2b+4c= ‒ ta có: 1 => � ‒ � + 2� ‒ 2�� ‒ 4�� =‒ � ‒ � + 2(� ‒ ��) ‒ 4�� =‒ 2 => �( ‒ 4� ‒ 2� ‒ 1) + � + 2� =‒ => �( ‒ 4� ‒ 2� ‒ 1) + 2� + 4� =‒ => �( ‒ 4� ‒ 2� ‒ 1) = ( ‒ ‒ 4� ‒ 2�) => � = A Câu 1) Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < ; a1 > ; a2 + a3 + a4 > ; … ; a11 + a12 + a13 > ; a15 + a16 + a17 > ; a18 + a19 + a20 > => a14 < B Cũng : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < => a13 + a14 < Mặt khác, a12 + a13 + a14 > => a12 > Từ điều kiện a1 > ; a12 > ; a14 < => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm) 2) Nhận xét: Với x ≥ x + x = 2x Với x < x + x = Do x + x số chẵn với  xZ Áp dụng nhận xét b  45 + b – 45 số chẵn với b  Z Suy 2a + 37 số chẵn  2a lẻ  a = Khi b  45 + b – 45 = 38 + Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38  = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19  b = 64 (TM) (a; b) = (0; 64) ThuVienDeThi.com C D M Câu D E M N A k K I B C H x c/m  ABE =  ADC (c.g.c) 0,5 a  BE = DC ( cạnh tương ứng) c/m  ABM =  ADN (c.g.c)  AM = AN MAB  NAD b c d 0,5 0,5 Mà BAN  NAD  1800  BAN  BAM  1800 0,5 Vậy M,A,N thẳng hàng 0,5 Gọi I giao điểm BC Ax, ta có BH  BI ; CK  CI 0,5  BH + CK  BI + CI = BC 0,5 Theo câu c) BH + CK  BC nên giá trị lớn BH+ CK BC BH = BI CK = CI 0,5  H  I; K  I 0,5 Do Ax  BC 0,5 Câu Giả sử a  b  c  d S  a b  a c  a d  bc  bd  c d  (a  b)  (a  c)  (a  d )  (b  c)  (b  d )  (c  d )  (3a  b)  (c  3d ) Do c  3d   S  3a  b; S  3a  b c = d = 0, lúc a + b = Do a  ta có S = 2a + (a + b) = 2a +  2.1 + hay S  Kết luận ThuVienDeThi.com ... x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn Cân hệ số ta có: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c Thay a,b,c vào điều kiện đề cho a+2b+4c= ‒ ta có: 1 => � ‒ � + 2� ‒ 2�� ‒ 4�� =‒ � ‒ � + 2(� ‒ ��) ‒ 4�� =‒ 2 => �( ‒ 4�