phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán Năm học: 2008-2009 Thời gian: 150 Bµi 1: Chøng minh m thay đổi, đường thẳng có phương trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Bài 2: 1/ Cho S 1.2008 So s¸nh S víi 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1 2008 2009 2/ Cho a; b; c số thực thoả mÃn điều kiện: abc = 2008 Chøng minh r»ng: 2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c Bµi 3: Cho x = TÝnh gi¸ trÞ cđa P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 Bài 4: Giải phương trình: x 2009 x 2009 x x = 2009 Bµi 5: Cho 00 < < 900 Chøng minh r»ng: sin 2008 cos2009 Bµi 6: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b ab bc ca Bài 7: Tìm tất đa thức P(x) thoả mÃn: P(x + 1) = P(x) + 2x + víi x R Bài 8: Cho ABC có ba cạnh a, b, c, cã chu vi lµ 2p vµ diƯn tÝch S; r bán kính đường tròn nội tiếp; bán kinh đường tròn bàng tiếp góc A cđa tam gi¸c Chøng minh: p(p – a) tg A = S Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB M chuyển động nửa đường tròn Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn Bài 10: Cho dÃy số a n xác định theo công thøc: a1 Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên tố p dÃy a n 3a n 1 2n 9n 9n 3; n = 2,3, tỉng t¬ng øng a1 + a2 + ap – ®Ịu chia hÕt cho p - HÕt - ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + = m(2x + y) + – x = 1® 2x y x Víi mäi m th× 3 x y Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh: ab áp dụng BĐT được: S 1® ab 0,5® 2 2008 2009 2009 2009 2009 1® 2/ Tõ abc = 2008 suy a; b; c khác Thay abc = 2008 ta có: 0,5đ 2008 b bc bc b 2008 1 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 1đ Bài 3: (2 đ) Từ x = x – x = x x3 – 3x2 + 9x – = 1® P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 – 3x2 + 9x – 9) + 2009 = 2009 1® Bài 4: (2 đ) ĐK: x Ta có 2009 2009 0,5® 2009 x x 2009 2009 x x (1) 0,5® 2009 x x 2009 2009 x x (2) 0,5® 2 Céng (1) vµ (2) suy ra: x = x hay x = x = 0,5đ Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh sin; cos < với < 900 1đ Nên sin2008 < sin2 cos2009 < cos2 nªn sin 2008 cos2009 1đ Bài 6: (2 đ) 2a b 2a c T¬ng tù bc bc ≥ (Cauchy) 2ac bc 2ab bc ab bc ca 2 ca ; ab 2b c 2b a ab bc ca 2c b 2c a ab bc ca 2 Tõ ®ã suy BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c 1đ 0,5đ 0,5đ Bài 7: (2 ®) Ta cã P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + P(x + 1) – (x + 1)2 = P(x) – x2 0,5đ Đặt Q(x) = P(x) x2, Q(x) = Q(x + 1) 0,5® Cho x = 0; 1; 2; nhận Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ ThuVienDeThi.com Suy phương trình Q(x) Q(0) = có vô số nghiệm Do ®ã Q(x) – Q(0) P(x) – x2 = Q(0) = P(0) VËy P(x) = x2 + a với a số tuỳ ý Thử lại ta thấy thoả mÃn toán 0,5đ Bài 8: (2 đ) Chứng minh S = (p a)ra = p tg S = p(p – a) tg A 1,5 đ A 0,5đ Bài 9: (2 đ) Chứng minh AMB = 900 Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2 ¸p dơng BĐT: ax by Dấu = xảy a b2 x y ta cã MA + MB ≤ 4R = 600 MA = MB hay M ë vÞ trÝ cho A 0,5đ 1đ 0,5đ 3 Bài 10: (1 đ) Theo giả thiết a n n a n 1 n 1 32 a n 2 n = 3n 1 a1 1 = 3n VËy nªn an = 3n – n3 víi mäi n N* 0,5® Víi p = th× a1 = Víi p > th× a1 + a2 + ap – = 32 3p 1 13 23 p 1 Do k p k p vµ 32 3p 1 p p nªn a1 + a2 + ap – p ThuVienDeThi.com 0,5® ... 0,5® 2 2008 2009 2009 2009 2009 1® 2/ Tõ abc = 2008 suy a; b; c kh¸c Thay abc = 2008 ta cã: 0,5® 2008 b bc bc b 2008 1 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008. .. x = vµ x = 0,5đ Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh sin; cos < với < 900 1đ Nên sin2008 < sin2 cos2009 < cos2 nên sin 2008 cos2009 1đ Bài 6: (2 đ) 2a b 2a c T¬ng tù bc bc ≥ (Cauchy) 2ac... Q(n) = 0,5đ ThuVienDeThi.com Suy phương trình Q(x) Q(0) = có vô số nghiệm Do Q(x) – Q(0) P(x) – x2 = Q(0) = P(0) VËy P(x) = x2 + a víi a số tuỳ ý Thử lại ta thấy thoả mÃn toán 0,5đ Bài 8: (2