Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2012 201315592

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học 2012 - 2013 Thời gian làm : 90 phút không kể giao đề Ngày thi : 04 – 04 - 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu ( 2,0 điểm ) Tìm số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đẳng thức : 2(y+z) = x(yz -1) Câu ( 2,5 điểm ) Giải phương trình sau : a) x  4x  x  5x  2 x 1 2x  b) x 2x   x  x  x  3x  Câu ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức :  x2 1   1 x4   x   2 1 x2  x  x  x  1  M =     a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ M Câu ( 2,5 điểm ) Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Kẻ MH vuông AC, gọi F trung điểm MH Chứng minh : AF  BH Câu ( 1,5 điểm ) Cho số a, b thoả mãn a + b = Chứng minh : a3 + b3 + ab  -Hết -Chữ ký giám thị : Chữ ký giám thị : Họ tên thí sinh : Số báo danh : ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI KHẢO SÁT HSG MƠN TỐN Năm học 2012 - 2013 Thang Câu Đáp án điểm Theo đề : 2(y+z) = x(yz-1) nên (y+z)  (yz -1) => yz -  2(y+z) y,z nguyên dương 0,25đ => 2(y+z) - yz +  Đặt M = 2(y+z) - yz +  Do y,z có vai trị nên khơng tính tổng qt ta giả sử y  z 0,25đ M = 2(y+z) - yz + = - ( y-2)(z-2)  0,25đ Rõ ràng với y  M < * Nếu y = - 2(z-2)  => z  => z = => x lẻ => loại 0,25đ * Nếu y = - z +  => z  Ta có bảng : 2,0đ z y x 3 lẻ lẻ lẻ lẻ 2z   1  N ; z   z  => x = 2z 1 2z 1  z   x  z2 * Nếu y = x   1  N ; z    z 1 z 1  z   x  * Nếu y = x  Vậy (x;y;z) = {(1;3;7) ; (1;7;3); (2;2;3) ; (2;3;2) ; (4;1;2); (4;2;1); ( 2;1;4) ; (2;4;1)} a) ĐKXĐ : x  1; x   PT   0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x  4x  x  5x  1 1  x 1 2x  x  3x  x  3x   0 x 1 2x  1    x  3x    0  x 1 2x 1  0,25đ  x  1x  3 x    0,25đ    x  x  3 x    2,5đ => x =1 ; x = ; x = 2 Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy PT cho có tập nghiệm S = 1;2;   b) 3 x 2x    (*) x  x  x  3x  ThuVienDeThi.com 0,25đ Đặt t = x2 + 0,5đ x 2x   t  x t  3x 2  5t  9tx  10tx  18 x   (t  x)(5t  x)  (*)   t = 2x => x2 + = 2x => PT vô nghiệm  5t + 9x = => 5x2 + 20 + 9x = => PT vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm a) M  1,5đ 0,5đ 0,5đ ( x  1)( x  1)  x  x  ( x   x2 ) 2 ( x  x  1)( x  1) 2 x2  M x 1 0,75đ b) Biến đổi : M = - 3 M nhỏ lớn  x2+1 x 1 x 1 nhỏ => x2 =  x = Vậy M nhỏ = -2 x = 0,75đ A 2,5đ 0,25đ H E F B M C Dễ có ΔAHM# ΔMHC ( g-g) AM HM AM 2MF AM MF = = = (1)   BC HC MC HC BC HC ฀ ฀ ฀ Lại có : AMF=BCH ( phụ MAC ) (2) Từ (1) (2) suy ΔAFM# ΔBHC ( c-g-c) ฀ ฀ => MAF=CBH ( góc tương ứng )  Gọi E giao điểm AM BH Do tam giác ABC cân A M trung điểm BC nên AM vng góc BC M ฀ ฀ ฀ ฀ Ta có : MAF+AEH=BEM+EBM=90 Vậy AF  BH 1,5đ 1 a3 + b3 + ab -  2 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -  Ta có : a3 + b3 + ab  ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ a2 + b2 -  Vì a + b = 0,25đ 2a2 + 2b2 -  2a2 + 2(1-a)2 -  ( b = a -1 ) 4a2 - 4a +  ( 2a - )2  Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab  Dấu '' = '' xảy a = b = Thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Hình vẽ sai khơng chấm hình Điểm tồn làm tròn đến 0,25 điểm ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI KHẢO SÁT HSG MƠN TỐN Năm học 2012 - 2013 Thang Câu Đáp án điểm Theo đề : 2(y+z) = x(yz-1) nên (y+z)  (yz -1) => yz -  2(y+z) y,z...  3x  ThuVienDeThi.com 0,25đ Đặt t = x2 + 0,5đ x 2x   t  x t  3x 2  5t  9tx  10tx  18 x   (t  x)(5t  x)  (*)   t = 2x => x2 + = 2x => PT vô nghiệm  5t + 9x = => 5x2 + 20 +... 4a2 - 4a +  ( 2a - )2  Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab  Dấu '' = '' xảy a = b = Thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Hình vẽ sai khơng chấm hình Điểm tồn làm tròn đến 0,25 điểm