Microsoft Word Toan lan 1 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH MIỆN ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG 10 LẦN 1 NĂM HỌC 2017 2018 MÔN THI TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm) a)[.]
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH MIỆN ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG 10 LẦN NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) a) Cho parabol (P): y x x điểm I (1; 4) Tìm (P) hai điểm M, N đối xứng qua điểm I b) Tìm giá trị m để phương trình x m m có nghiệm phân biệt Câu (3 điểm) a) Giải bất phương trình: ( x 1) x ( x 6) x x x 12 (x 1)(y 6) y(x 1) b) Giải hệ phương trình: 2 (y 1)(x 6) x(y 1) c) Tìm m để phương trình x m x x có nghiệm Câu (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ thức: AD AB; AE AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng b) Gọi H trực tâm ABC, M trung điểm BC Chứng minh MH MA BC c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M (2;0) trung điểm cạnh AB, điểm H (1; 1) hình chiếu B AD điểm 7 G ;3 trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng HM cắt BC E, đường 3 thẳng HG cắt BC F Tìm tọa độ điểm E, F B Câu (1 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn ( x y )2 y xy Câu (1 điểm) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức A ( x 1) y ( x 1) y y giá trị nhỏ biểu thức S …………………Hết………………… SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH MIỆN Câu ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG 10 LẦN NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN THI: TỐN (Đáp án gồm 04 trang) Ý Nội dung Cho parabol (P): y x x điểm I (1; 4) Tìm (P) hai a điểm M, N đối xứng qua điểm I đường thẳng qua I có hsg k có phương trình y k ( x 1) Xét pt x x k ( x 1) x (k 4) x k (1) (k 4) 4(k 1) k 4k 20 0, k cắt (P) M N Gọi nghiệm (1) x1 , x2 M ( x1 ; k ( x1 1) 4), N ( x2 ; k ( x2 1) 4) Điểm 1,00 0,25 0,25 M, N đối xứng qua điểm I I trung điểm MN x1 x2 4k 1 k 2 k ( x1 1) k ( x2 1) Khi (1) x x x 1 x Vậy M (1;0), N (3;8) b Tìm m để phương trình x m m có nghiệm phân biệt Điều kiện cần m m m m 1 (1) x m m x m m x ( m m ) x (m m ) Điều kiện đủ (m4 m ) 1 m 2 Khi 4 2 0,25 0,25 1,00 0,25 2 Kết hợp với ĐK (1) ta m m 1 Cách khác Pt có nghiệm đường thẳng y m m cắt đths 0,25 0,25 0,25 y x điểm Từ đồ thị suy m m | m | 2 a Giải bất phương trình: ( x 1) x ( x 6) x x x 12 ĐK : x 2 BPT ( x 1) x ( x 6) x x x x2 x2 ( x 6) ( x 2)( x 4) x22 x7 3 x6 x 1 ( x 2) ( x 4) x7 3 x22 x 1 x6 Ta có ( x 4) x22 x7 3 x2 x2 x6 x6 2 x22 x7 3 x22 1,00 0,25 ( x 1) 0,25 0,25 ( x 2) x ( x 6)( x 1) 0, x 2 x22 x7 3 x22 BPT x x Vậy tập nghiệm BPT S 2; 2 (x 1)(y 6) y(x 1) Giải hệ phương trình: b 2 (y 1)(x 6) x(y 1) Trừ vế ta x y x y xy 0,25 1,00 0,25 TH x y Thế vào pt thứ ta x x2 5x x TH x y xy xy x y 0,25 Cộng hai pt theo vế ta x y x y 12 x y x y xy 12 x y 1 x y 6 x y x y x y xy (Loại) x 2, y x y xy x 3, y 0,25 0,25 Vậy hệ có nghiệm 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2 c Tìm m để phương trình x m x x có nghiệm ĐK: x Chia hai vế cho 1,00 x ta x 1 x 1 m 24 x 1 x 1 x 1 Đặt t ,0 t ta 3t m 2t 3t 2t m (2) x 1 Pt (1) có nghiệm x pt (2) có nghiệm t 0;1 Lập bảng biến thiên f t 3t 2t 0;1 Từ BBT suy pt (2) có nghiệm t 0;1 1 m 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định a hệ thức: AD AB; AE AC Chứng minh rằng: D, E, G 1,00 thẳng hàng Gọi M trung điểm BC ta có: AG AM AB AC 3 0,25 DE DA AE 2 AB AC 5 AB AC (1) 5 DG DA AG 2 AB AB AC AB AC 5 AB AC 3 3 0,25 Từ (1) (2) suy DE DG D, E, G thẳng hàng 0,25 1,00 0,25 0,25 Gọi H trực tâm ABC, M trung điểm BC Chứng minh b MH MA BC A Ta có MH MA BA CA MH H BA.MH CA.MH BA MC CH CA MB BH C B 2 A' M BA.MC BA.CH CA.MB CA.BH Vì BA CH BA.CH 0; CA BH CA.BH MH MA BA.MC CA.MB 2 Mặt khác ta có BA.MC BA '.MC ; CA.MB CA '.MB MB MC Nên MH MA BA '.MC CA '.MC MC BA ' CA ' 2 1 1 MC.BC BC.BC BC (đpcm) 2 c Tìm tọa độ điểm E, F B ( 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Chứng minh HM ME từ suy E (5;1) Chứng minh HG 2GF từ suy F (3;5) Giả sử B( x; y) Từ giả thiết suy B, E, F thẳng hàng BE BH Tìm tọa độ B(1;3) Tìm max biểu thức S ( x y)2 y xy 0,25 0,25 0,25 1,00 Thế x y vào S ta S x xy y xy x y TH y x S 0,25 0,25 x x y 2 y 2 x t 2t Đặt t S TH2 y S y t2 t 1 x x 1 y y S (t t 1) t 2t ( S 1)t ( S 2)t S Với S , tồn t ( S 2) 4( S 1)( S 2) Biến đổi ta ( S 2)(3S 6) 2 S Do S 1 2; 2 nên max S 2, S 2 Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức A ( x 1) y ( x 1) y y A (1 x) y ( x 1) y y (1 x x 1) ( y y ) y 0,25 0,25 1,00 0,25 Vậy A y y TH y A y 0,25 TH y A y y 3 12 y y 3.1 y y Ta có A A x 0, y 0,25 0,25 ... ( x1 ; k ( x1 1) 4), N ( x2 ; k ( x2 1) 4) Điểm 1, 00 0,25 0,25 M, N đối xứng qua điểm I I trung điểm MN x1 x2 4k ? ?1? ?? k 2 k ( x1 1) k ( x2 1) Khi (1) ... x Chia hai vế cho 1, 00 x ta x ? ?1 x ? ?1 m 24 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 Đặt t ,0 t ta 3t m 2t 3t 2t m (2) x ? ?1 Pt (1) có nghiệm x pt (2) có nghiệm t 0 ;1? ?? Lập bảng biến thiên... TRƯỜNG THPT THANH MIỆN Câu ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG 10 LẦN NĂM HỌC 2 017 – 2 018 MƠN THI: TỐN (Đáp án gồm 04 trang) Ý Nội dung Cho parabol (P): y x x điểm I (1; 4)