Microsoft Word �À THI CHÌN HSG C¤P TR¯ÜNG L¦N 2 TOÁN 10(2020 2021) docx TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2 NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi TOÁN Lớp 10 THPT Thời gian 180 phút (k[.]
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC: 2020 - 2021 Số báo danh Mơn thi: TỐN - Lớp 10 THPT ……………………… Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu Câu Tìm tập xác địnhcủa hàm số y 10 x 5 x Câu Cho phương trình x ax 1 a x ax 1 1 với a tham số a Giải phương trình với a 2 b Khi phương trình 1 có nghiệm thực Chứng minh a Câu Cho hàm số y f x ax bx c có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị nguyên tham số y m để phương trình f x m f x m có nghiệm phân biệt Câu Giải phương trình O x 3x x x 10 3x x Câu Giải bất phương trình -1 x x x 2 5 x y xy y 2( x y ) Câu Giải hệ phương trình: 2 x y Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB AD , BC a Tính giá trị nhỏ độ dài vectơ u MA MB 3MC , M điểm thay đổi đường thẳng BC Câu Cho tam giác ABC vuông A , G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC a , góc hai véc tơ GB GC nhỏ Câu Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE CD Câu 10 Với x 0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức P x (1 x ) x 1 x -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 10 Có 06 trang Câu Nội dung 10 x 5 x Tìm tập xác địnhcủa hàm số y Hàm số xác định Điểm 2,0 10 x 0 5 x 0,5 10 x 0 Hoặc x x 20 x x 3(5 x ) x x 0 0 2(5 x) 2(5 x) x 0,5 5 x 0,5 Vậy tập xác định hàm số D ( 5;5] 0,5 Cho phương trình x ax 1 a x ax 1 1 với a tham số 2,0 a, Giải phương trình với a 2 b, Khi phương trình 1 có nghiệm thực Chứng minh a a, với a 2 phương trình 1 thành x x 1 x x 1 0,5 x 1 x 1 x 1 2 0,5 x x b, Xét phương trình x ax 1 a x ax 1 1 Đặt t x ax 1, x ax t t at 2 phương trình cho trở thành: 3 Phương trình 1 có nghiệm a t thỏa mãn: a a 4t a a 2 hay a 0,5 Nếu a 2 3 có nghiệm t 0, a 4t 0, suy có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết 1 có nghiệm Nếu a phương trình 3 có nghiệm t 1, điều kiện a 4t không 0,5 thỏa mãn Vậy a 2,0 Ta có: f x 1 f x m 2 f x m f x m Từ đồ thị hàm số y f x ta suy đồ thị hàm số y f 0,5 x sau: y 0,5 x O -1 + Phương trình f x 1 có hai nghiệm phân biệt Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình f 0,25 x m phải có 0,25 nghiệm phân biệt 1 m m 0,25 Kết hợp m số nguyên nên m 1; 2;3 0,25 Giải phương trình: 3x x x 10 3x x 2,0 ĐKXĐ: x Ta có: 3x x x 10 3x x 3 x x x x 2.2 x x 1 3x x 0,5 3x x 3x x x x 4 (VN ) 0,5 3x x x 1 3x x 1 0,5 x 1 x 1 3x x 1 x nên 1 x x (thỏa mãn) 3x Vì 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x Giải bất phương trình x x x 2,0 Điều kiện xác định: x Bất phương trình tương đương: 0,5 x x 1 x x 1 ( x 2)( x 1) x 1 x 0,5 x x x 18 x 0,5 x x x 18 x Vậy nghiệm bất phương trình x 0,5 x 2 5 x y xy y 2( x y ) Giải hệ phương trình: 2 x y 2,0 2 5 x y xy y ( x y )( x y ) Hệ cho 2 x y 0,25 4 x y xy y x (*) 2 x y Ta thấy x = không nghiệm hệ nên từ PT (*) đặt: t t 2t 5t 4t t y x x x 1 2 y y 1 x y Khi t = ta có: 0,25 y ta PT: x 0,25 0,5 2 2 x x 5 y y 5 y x Khi t ta có: 2 2 x y 0,5 2 2 ; ; ; 5 5 0,25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB AD , BC a Tính giá trị nhỏ độ dài vectơ u MA MB 3MC , M điểm thay đổi đường thẳng BC 2,0 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1;1 ; 1; 1 ; 0,5 AB AD BC 2a AC BD (trung điểm AC , BD ) u MA MB 3MC MA MC MB MC 2MD 2MB 2MC 6MP (với P trọng tâm OBC ) 0,5 u 0,5 6MPmin PM BC M Vì OBC cân O , nên P thuộc trung tuyến OH u PH OH 2Oh 2a (Khi M H ) Cho tam giác ABC vuông A , G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC a , góc hai véc tơ GB GC nhỏ 0,5 2,0 B α K G A D Gọi K , D trung điểm AB, AC Gọi góc hai véc tơ GB GC Ta có: cos cos GB, GC cos DB, KC C 0,5 BA BC CA CB DB KC BD.CK DB KC BD.CK BD.CK BA.CA BC CA BA BC BC ( Do BA CA ) BD.CK BD.CK 0,5 BD.CK BD2 CK BA BC CA CB 1 AB2 AC BC BA BC 2CA.CB 4 AB2 AC BC BA 2CA (Theo công thức hình chiếu véc tơ) 0,5 BC 4 Suy cos Dấu xảy BD CK AB AC a 0,5 Ta có góc nhỏ cos lớn Khi AB a Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE CD 2,0 A E D O C B CD CA CB OA OB 2OC 2 OE OA OD OC OA OA OB OC 3OA OB 2OC 3 Ta có: Do đó: CD.OE OA OB 2OC 3OA OB 2OC 12 12CD.OE 3OA2 OB 4OC 4OA.OB 4OA.OC 12CD.OE 4.OA OB OC 4.OA.CB 10 0,5 0,5 0,5 (Vì ABC cân A có O tâm đường trịn ngoại tiếp nên OA BC ) Do CD.OE CD OE (điều phải chứng minh) 0,5 Với x 0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức 2,0 P x (1 x ) x 1 x Đặt t x , t ta P Áp dụng BĐT Cơ si, ta có P 1 t t 5 5 1 t t 0;1 0,5 0,5 5 0,5 7 5 0,5 Dấu “=” xảy t Vậy MinP x 1 t t t 5 1 t t 1 t t -Hết ... THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 20 20 -20 21 MƠN TỐN 10 Có 06 trang Câu Nội dung 10 x 5 x Tìm tập xác địnhcủa hàm số y Hàm số xác định Điểm 2, 0 10 x 0 5 x 0,5 ? ?10. .. x 2 5 x y xy y 2( x y ) Giải hệ phương trình: 2 x y 2, 0 2 5 x y xy y ( x y )( x y ) Hệ cho 2 x y 0 ,25 4 x y xy y x (*) 2 x... phương trình f 0 ,25 x m phải có 0 ,25 nghiệm phân biệt 1 m m 0 ,25 Kết hợp m số nguyên nên m 1; 2; 3 0 ,25 Giải phương trình: 3x x x 10 3x x 2, 0 ĐKXĐ: x