đề thi học sinh giỏi Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng Trường thpt trần nguyên hn Môn toán lớp 11- năm học 2008-2009 Thời gian làm : 150 Bài 1( 4,0 điểm ) 1, Giải phương trình : 2x 2 x 6x x2 2, Giải phương trình sau : 2005 x) tan y cos x tan y cos( (x, y ẩn ) Bài (4,0 điểm ) Cho hàm số f ( x) x ax3 bx cx d , (a, b, c, d R) BiÕt f (1) 10 , f (2) 20 , f (3) 30 H·y tÝnh f (12) f (8) 25 10 Bài (4,0 điểm ) Cho dÃy số (un ) xác định sau u1 (n = 1,2,3,4,…) un 1 un 2009 un 1, Chøng minh lim un n 2, T×m lim( n u u1 u2 u3 n ) u2 u3 u4 un Bài (4,0 điểm ) Cho ba số dương x,y,z thoả mÃn Tìm giá trị lín nhÊt cđa P 1 x y z xyz x y z 1 1 x 1 y z 1 Bài (4,0 điểm ) Cho tam giác ABC , 1, M điểm nằm tam giác cho MA2 MB MC HÃy tính góc BMC 2, Một điểm S nằm (ABC ) cho tø diƯn SABC ®Ịu , gäi I, K trung điểm cạnh AC SB , Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài 1 DeThiMau.vn đáp án đề thi học sinh giỏi Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng Trường thpt trần nguyên hn Bài Bài (4đ) Môn toán lớp 11- nh:2008-2009 Nội dung 1, Giải phương trình 2x 2 x §iỊu kiƯn 2 x Khi ®ã : 6x x2 ®iĨm 2.0 ® (1) 6x 6x 2x 2 x x2 x x 2 x x 0,5® (1) 0,5® (2) x 2(2 x)(2 x) (2 x)( x 4) x x (4 2(2 x) ( x 4) x ) 0,5® 0,5® x x 2009 x) tan y cos x tan y 2,0 đ cos( 2, Giải phương trình Ta có (2) x k §k ( k, m Z ) y m 2009 x) cos(1004 x) sin x cos( 2 tan y Vµ sin y tan y VËy (2) sin x sin y cos x sin y cos x sin x (3) 0,5® 0,5® * NÕu sin y ( sin y ) 22 nên phương trình vô nghiệm * Nếu sin y y n , n Z DeThiMau.vn th× ta cã pt (3) cos( x ) x 2n ' , n ' Z 6 * NÕu sin y 1 y n , n Z th× ta cã pt (3) cos( x ) Phương trình có nghiƯm lµ x 2n ' hc y n Bài (4đ) x 2n ' , n ' Z 5 x 2n ' y n Cho hµm sè f ( x) x ax3 bx cx d , (a, b, c, d R) BiÕt f (1) 10 , f (2) 20 , f (3) 30 H·y tÝnh 4đ f (12) f (8) 25 10 Đặt g ( x) f ( x) 10 x Ta cã g (1) g (2) g (3) Nªn g ( x) ( x 1)( x 2)( x 2)( x x0 ) VËy f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x x0 ) 10 x f (12) f (8) 25 2009 10 Bài (4đ) 0,5® 0,5® Cho d·y sè (un ) xác định sau 1đ 1đ 1đ 1® 2® u1 (n = 1,2,3,4,…) u u u n n n 2009 1, Chøng minh lim un n DeThiMau.vn Ta cã u1 u2 u3 un vËy (un) dÃy tăng , giả sử bị chặn ta có lim un a 0,5đ 0,5® un2 a2 Suy lim un 1 lim( un ) a a a (không đúng) n n 2009 2009 VËy lim un 0,5® 0,5® n n Cho dÃy số (un ) xác định sau u1 (n = 1,2,3,4,…) un 1 un 2009 un u u u u 2, T×m lim( n ) n u u3 u4 un 1 Ta cã un 1 un un2 u 1 n 2009( ) 2009 un 1 un un 1 0,5® VËy ta cã u u1 u2 u3 1 ) n 2009( u2 u3 u4 un 1 u1 un 1 2009(1 un 1 0,5® 0,5® ) lim( n u u1 u2 u3 ) 2009 n ) lim 2009(1 n u2 u3 u4 un 1 un 1 Bµi 1 (4,0đ) Cho ba số dương x,y,z thoả mÃn x y z Tìm giá trị lớn P xyz (1) 0,5® 4,0 ® x y z 1 1 x 1 y z 1 Ta cã A, B, C (0; ), A B C th× A B B C C A tan tan tan tan tan tan 2 2 2 Theo gi¶ thiÕt (1) x y y z z x A B C ta đặt x tan , y tan , z tan víi 2 A, B, C (0; ), A B C Ta cã P sin A sin B cos C C A B C cos cos cos 2 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® DeThiMau.vn C A B A B cos ) cos 2 2 2 2 C VËy Ma x P = Khi A B 2 x y tan 12 z Bài Cho tam giác ABC , (4,0đ) 1, M điểm nằm tam giác cho MA2 MB MC H·y tÝnh gãc BMC 2(cos 0,5® 0,5® 2,0 ® A M’ M B C Dïng phÐp quay t©m C gãc quay C C BA M M' th× ta cã 0,5® 'A VËy CMB CM ' A CMB CM ' A CMB CM Ta cã MB = M’A, MC = M’C = MM’, VËy MB2 + MC2 = MA2 ' M 600 Suy M’A2 + MM’2 = MA2 AM ' M 900 , CM BMC 1500 0,5® 2, Một điểm S nằm (ABC ) cho tứ diện SABC , gọi I, K trung điểm cạnh AC SB , Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài 2,0 đ 0,5đ 0,5đ DeThiMau.vn S P E A Q I K C B F Ta cã PQ lµ giao tun cđa hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK song song 0,5đ với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA P 0,5đ Qua A kỴ A F // BI (F thc BC) , CK cắt S F Q Vậy PQ // BI SP Ta cã I, E trung điểm AC SI 0,5® SA PQ SP 1 Mµ PQ AF AF SA 3 Ta cã AF BI 0,5® VËy PQ Chó ý : -Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần - Có sơ xuất mong thầy cô sửa dùm Xin cảm ơn - Người đề : Mai Thị Thìn DeThiMau.vn ...®¸p ¸n ®Ị thi häc sinh giái Së gi¸o dơc - đào tạo hảI phòng Trường thpt trần nguyên hn Bài Bài (4đ) Môn toán lớp 11- nh:2008-2009 Nội dung 1, Giải phương trình... BI 0,5® VËy PQ Chó ý : -Häc sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần - Có sơ xuất mong thầy cô sửa dùm Xin cảm ơn - Người đề : Mai Thị Thìn DeThiMau.vn ... 1đ 1đ 1đ 2đ u1 (n = 1,2,3,4,…) u u u n n n 2009 1, Chøng minh lim un n DeThiMau.vn Ta cã u1 u2 u3 un vËy (un) lµ d·y tăng , giả sử bị chặn ta có lim un a