Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC.. Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy hình chĩp bẳng α.. Tìm α để thể tích của khối chĩpS ABCD.. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ.. Chữ kí gi
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MƠN : TỐN- THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC Th i gian: 180 phút ờ (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi : 18 /02 /2011
Câu 1: ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y x= 3- 3x2+mx (1) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) cĩ cực đại,
cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) :d x+2y− =9 0
Câu 2: ( 3,0 điểm )
Tính tích phân
2
2
( cos ) 4cos 3sin
x x dx I
π
π
+
=
+
∫
Câu 3: ( 2,0 điểm )
( ) 1 4 3
P x = + x+ x Xác định hệ số x trong khai triển ( )3 P x theo lũy thừa của x
Câu 4:( 3,0 điểm )
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ tâm đường trịn ngoại tiếp là điểm (4;0)
I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác là ( ) :d1 x y+ − =2 0 và ( ) :d2 x+2y− =3 0 Viết phương trình
các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC
2 Cho I là tâm của đường trịn nội tiếp tam giác ABC cĩ AB c BC a CA b= , = , = Chứng minh rằng:
1
IA IB IC
bc + ca + ab =
Câu 5: ( 3,0 điểm )
1. Giải phương trình: 2sin 2x cos x+ 2 + =2 2 sin 2 cos( x x+sinx+2 cosx)
2 Cho , ,x y z Ỵ [0;1] Chứng minh rằng:
(2 2 2 2)( 2 2 ) 81
8
x+ +y z -x+ -y+ -z £
Câu 6: ( 3,0 điểm )
Cho hình chĩp tứ giác đều S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC bằng b ) Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy hình chĩp bẳng α Tìm α để thể tích của khối chĩpS ABCD
nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ
Câu 7: ( 3,0 điểm )
Giải hệ :
− = −
-Hết -Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………… Chữ kí giám thị 1:……… Chữ kí giám thị 2:………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Trang 2LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011
MƠN : TỐN- THPT
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MƠN: TỐN
Ngày thi : 18 /02 /2011
(Đáp án cĩ 04 trang)
Lưu ý: Đây chỉ là một trong những cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng.
Câu 1
( 3đ )
+ Ta cĩ y' 3= x2−6x m+
+ Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu ⇔ y' 0= cĩ hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = −' 9 3m> ⇔ <0 m 3
+ Ta cĩ ( ) '( ) 1 1 2 2 1
y x =y x x− + m− x+ m
+ Gọi M x y và 1( ; )1 1 M x y là hai điểm cực trị, suy ra 2( ; )2 2 x x là hai nghiệm của1, 2
phương trình ' 0y = , nên
1 2
2
3
x x m
x x
+ =
+ Đường thẳng qua 2 điểm cực trị M1, M2 là 1
d y= m− x+ m
+ I là trung điểm M M , suy ra 1 2 I(1;m−2)
+ Do M M đối xứng qua ( )1, 2 d nên 1
6
1 2( 2) 9 0
m
d d
m
I d
m
− − = −
⊥
0,25 0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu 2
( 3đ )
Tính
2
2
( cos ) 4cos 3sin
x x dx I
π
π
+
=
+
∫
+
+
+ Tính
0
0
I
Trong
0
2 2
4 in
xdx
s x
∫ , Đặt x= −t, đổi cận, CM
0
2 2
4 in
xdx
s x
π
=
−
2
xdx
s x
π
−
∫
Suy ra I1=0
+ Tính
2
2
cos
4 in
xdx I
s x
π
π
=
−
0,5
0,25
1,0
0,25
Trang 1/4
Trang 3Đặt t=sinx, đổi cận ta có
1
1
1
I
−
∫
+ 1ln 3
2
I =
0,75
0,25
Câu 3
( 2đ )
P x = + x+ x = +x + x
P x =C +C x + x +C x + x + +C x + x
+ Hệ số của x chỉ xuất hiện trong 3 2 2( )2 3 3( )3
C x + x +C x + x
+ Hệ số x trong khai triển: 3 24C102 +C103.64=8760
0,5 0,5
0,5 0,5
Câu 4
( 3đ )
+ Tìm được (1;1)A
+ Gọi ∆ là đường thẳng qua I và song song với d Tìm được :1 ∆ + − =x y 4 0
+ Gọi M = ∆ ∩ ⇒d2 M(5; 1)− , M là trung điểm BC⇒đường thẳng BCđi qua
M và vuông góc với d 1
Tìm được (BC x y) : − − =6 0
+ Nhận xét ,B C là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn tâm I , bán kính
10
R IA= = có phương trình (x−4)2+y2 =10
+ Giải hệ tìm được tọa độ (3; 3), (7;1)B − C
+ Phương trình (AB) : 2x y+ − =3 0
Phương trình (AC y) : − =1 0
2 ( 1 điểm)
+ Ta có 2 sin sin sin 4 sin sin sin
ABC
∆
+
2
4 sin sin tan tan
sin 2
+ Tương tự : 2 tan tan
ab =
0,25 0,25
0,5
0,25 0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Trang 2/4
1 ( 2 điểm)
Trang 4+ 2 2 2 tan tan tan tan tan tan 1
Câu 5
( 3đ )
1 (1,5 điểm)
( )
2
os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2
2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1
2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2
1 osx = 1
2
2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2
c
c
⇔
−
4
x π k π
⇔ = ± +
x π kπ x π k π
2 (1,5 điểm)
+ Đặt a=2 ,x b=2 ,y c=2z, BĐT cần CM (a b c) 1 1 1 818
a b c
, , [1; 2]
a b c∈
+ Xét tam thức bậc hai f x( )=x2− +3x 2 có hai nghiệm x = 1, x = 2
( ) 0, [1, 2]
f x x
+ Mà
2 2 2
2 3
( ) 0
2
3
a a
a a
f a
b
c c
+ ≤
− + ≤
≤
+ Từ đó : (a b c) 2 2 2 9
a b c
+ + + + + ÷≤
+ Áp dụng Côsi 9 (a b c) 2 2 2 2 (a b c) 2 2 2
0,75
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 6
( 3đ )
+ Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của BC AD , ta có SIJ, ∠ =α 0,25
Trang 3/4
Trang 5+ Ta có AD BC/ / ⇒AD/ / (SBC)⇒d A SBC( ,( ))=d J SBC( ,( )).
+ Trong tam giác SIJ vẽ đường cao JH Chứng minh được JH ⊥(SBC)
Suy ra ( ,(d J SBC))=JH b=
+ Trong tam giác vuông IHJ , ta có
2
2
+ Gọi O là tâm của đáy, thì tan tan
+
3
1
S ABCD ABCD
b
+ . min 2 1 min (sin2 cos ) max
sin cos
S ABCD
2
(cos (1 sinα α)) max
+ Xét hàm f x( )=x.(1−x2),(x=cosα∈(0;1))
+ Lập bảng biến thiên, tìm được
(0;1)
2 3
ax ( )
9
x
M f x
3
x=
+ Kết luận ( . ) 3 3 cos 3
S ABCD
b Min V = ⇔ α = ; 00 < <α 900
0,25
0,5
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 7
( 3đ )
Giải hệ
− = −
+ Xét phương trình (1) ⇔2x+ =x 2y+y
Ta có ( ) 2f t = + ⇒t t f t'( ) 2 ln 2 1 0,= t + > ∀ ∈t R
Vậy ( )f t là hàm đơn điệu tăng trên R , mà ( ) f x = f y( ) nên x= y.
+ Thay y x= vào bất phương trình (2), ta có
2
2
1 2
2 1
2 2
x x
x x
− ≥
= ∨ = −
⇔ < − ∨ >
≤ ∨ ≥
2
⇔ ≤ − ∨ = ∨ ≥
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
-
HẾT -Trang 4/4
Trang 4/4