Đề thi học sinh giỏi trường THPT BC Nguyễn Đình Liễn

SỞ GDĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT BC NGUYỄN ĐÌNH LIỄN TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN THỜI GIAN 180 PHÚT Câu 1(2đ): Giải phương trình 2 3 2 5 1 7 1x x x + − = − Câu 2(2đ): Giải hệ phương trình { 2 ( 2)(2 ) 9 4 6 x x x y x x y + + = + + = Câu 3(2đ): Tình gới hạn sau 3 2 0 2 1 1 lim sin x x x x → + − + Câu 4(3đ): Nhận dạng tam giác ABC biết: 2 2 2 1 1 1 4 sin sin sinA B C + + = Câu 5(1đ): Cho 2 số thực dương x; y thỏa mãn: 2 2 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + xy ……………………………………………………………………………… . Họ và tên:…………………………………. SBD:………… Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN Câu 1(2đ): Giải PT 2 3 2 5 1 7 1x x x + − = − (1) ĐK: 1x ≥ 2 2 (1) 2( 1) 3( 1) 7 ( 1)( 1)x x x x x x ⇔ + + + − = − + + Đặt: 2 1 ( 0); 1 ( 0)x a a x x b b − = ≥ + + = f . Khi đó pt trở thành 2 2 2 3 7 (2 )( 3 ) 0b a ab b a b a + = ⇔ − − = 2 2 2 1 2 1 3 1 3 1 a b x x x b a x x x = − = + + = + + = −   ⇔ ⇔    4 6x ⇔ = ± Câu 2(2đ): Giải hệ PT { 2 ( 2)(2 ) 9 4 6 x x x y x x y + + = + + = { { 2 2 2 ( 2 )(2 ) 9 2 3 2 3 ( 2 ) (2 ) 6 x x x y x x x y x x x y + + = + = + = + + + = ⇔ ⇔ { 1 1 x y = = ⇔ hoặc { 3 9/2 x y =− = Câu 3(2đ): A = 3 2 0 2 1 1 lim sin x x x x → + − + 3 2 0 0 ( 2 1 1) ( 1 1) lim lim sin x x x x x x x → → + − − + − = 3 2 0 0 2 1 1 1 1 lim lim x x x x x x → → + − + − = − = 2 2 3 2 0 0 3 2 lim lim 2 1 1 ( 1) 1 1 x x x x x x → → − + + + + + + = 1 Câu 4(3đ): P = 2 2 2 1 1 1 sin sin sinA B C + + 3 2 2 2 3 sin .sin .sinA B C ≥ Mà : sinA.sinB.sinC 3 3 8 ≤ ⇒ 2 2 2 27 sin .sin .sin 64 A B C ≤ nên 3.4 4 3 P ≥ = . Dấu “=” xảy ra khi A = B = C Mà theo gt ta có: P = 4 suy ra ABC∆ đều Câu 5(1đ): P = x + x.y với 2 2 1x y+ = . Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 3 2( ) 2 3 4 x x + ≥ (1) 2 2 3 2 3 .x y x y + ≥ (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: 2 2 3 3( ) 2 3( . ) 2 x y x x y + + ≥ + 9 3 3 2 3( . ) . 2 4 x x y x x y ⇔ ≥ + ⇔ + ≤ Vậy Pmax = 3 3 3 1 à y = 4 2 2 x v ⇔ = . SỞ GDĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT BC NGUYỄN ĐÌNH LIỄN TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN THỜI GIAN 180 PHÚT Câu 1(2đ):. 4 3 P ≥ = . Dấu “=” xảy ra khi A = B = C Mà theo gt ta có: P = 4 suy ra ABC∆ đều Câu 5(1đ): P = x + x.y với 2 2 1x y+ = . Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 3 2(