UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc KỲ THI HỌC SINH GIỎI VỊNG THÀNH PHỐ Mơn: Tốn - Lớp THCS Năm học: 2011 – 2012 Đề thi thức Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 19/01/2012 Chú ý: - Đề thi gồm 01 trang - Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi làm - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Câu (4 điểm) 2 3 6 84 a) Tính giá trị biểu thức: A b) Rút gọn biểu thức: B 2 3 x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x Câu (4 điểm) a) So sánh hai số C D biết: C = 2011 2010 ; D = 2012 2011 b) Cho xy 1.Chứng minh rằng: 1 2 1 x 1 y xy Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 2 x xy y (1) b) Giải hệ phương trình sau (2) xy x Câu (4 điểm) Cho ABC trung tuyến AM (M BC) Kẻ đường thẳng d cắt AB E, cắt AC F cắt trung tuyến AM N AB AC AM a) Chứng minh: AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d//BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB P, đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ//BC Câu (4 điểm): Cho hình vng ABCD Gọi P trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm Q cho AQ = 3.QC Chứng minh PQ QD - Hết - Họ tên thí sinh: …………………………… Chữ ký giám thị 1: SBD: … …… Phòng thi số: …… Chữ ký giám thị 2: -1ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN TỐN Kỳ thi học sinh giỏi lớp cấp thành phố Năm học: 2011 2012 (Đề thi thức) Chú ý: Thí sinh có cách giải khác đảm bảo kết hưởng điểm tối đa Bài Lời giải 2.3 2.4 a) A 1 (4đ) 2 3 2 3 x 2x x(x 2) x b) B có nghĩa x 2 x x 2x x x 2x B x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x 1,0 1 a) Ta có: C ;D (4đ) 2011 2010 2012 2011 Vì 2011 2010 2012 2011 Nên C > D 0,5 0,5 y x 2 xy 1 BĐT cuối xy > 1 x y .1 xy Vậy 1 2 1 x 1 y xy a) Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt (4đ) 1,0 0,5 1 1 0 2 2 1 x 1 y xy xy y xy 1 x xy x xy y x( y x) y( x y) 0 0 2 x 1 xy y 1 xy x 1 xy y 1 xy 1,5 0,5 x 2x x 2x x 2x x 2x x 2x x 2x x 2x 2x b) Ta có: Điểm 0,5 1,0 1,0 x a ; x b 0,5 a b 2 a b a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab) (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a – b = (do ab + ≠ 0) Bình phương: a2 + b2 – 2ab = 2ab = ab = x = Tìm x = b) Từ phương trình (1) y hay y Ta có : ab = x , a2 + b2 = Phương trình là: Từ phương trình (2) x2 x y 2 x -2ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 0,5 0,5 x 2 x 22 ( x 2) x x 1,0 Nếu x = y = 2 Nếu x = - y = -2 x Vậy hệ phương trình có nghiệm là: y a) (4đ) x 2 y 2 0,5 A F E N I M B C S Kẻ BI CS song song với EF ( I , S AM ) , Ta có: AB AC AI AS AI AS AB AI AC AS () ; Suy ra: AE AF AN AN AN AE AN AF AN BIM CSM (g.c.g) IM MS Ta có: Vậy: AI AS AI AI IM MS AM AB AC AM Thay vào (*) ta được: AE AF AN b) A 1,0 0,5 0,5 K L E N F Q P B M C Khi d // BC EF // BC N trung điểm EF + Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L Ta có: EP LF KF (1) NEP NFL( g c.g ) EP LF Do : PB PB KB + Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta có: BMH CMQ ( g.c.g ) BH QC -3ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 FQ FQ KF (2) QC BH KB EP FQ PQ // BC Từ (1) (2) suy ra: PB QC Do đó: (4đ) A P M 0,5 0,5 B Q N C D Kẻ QM AB QN AD Tứ giác AMQN có Aˆ Mˆ Nˆ 90 nên hình chữ nhật ˆ B nên AQ phân giác NAˆ M AC phân giác DA Vậy tứ giác AMQN hình vng Suy ra: AM = AN, kết hợp với AB = AD nên MB = ND MB AQ AM hay AB = 4.MB Do : QM // BC suy AB QC MB Ta lại có: AB = 2.PB nên PB = 2.MB Vậy MB = MP nên MP = DN Từ ΔQND = ΔQMP Suy ra: NQˆ D PQˆ M MQˆ P PQˆ N 90 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 nên PQˆ N NQˆ D 90 Vậy: PQ QD - Hết - -4ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN TỐN Kỳ thi học sinh giỏi lớp cấp thành phố Năm học: 2011 2012 (Đề thi thức) Chú ý: Thí sinh có cách giải khác đảm bảo kết hưởng điểm tối đa Bài... ab2 = (2 - b + a - ab) (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a – b = (do ab + ≠ 0) Bình phương: a2 + b2 – 2ab = 2ab = ab = x = Tìm... x 2x x x 2x x x 2x 1,0 1 a) Ta có: C ;D (4đ) 2011 2010 2012 2011 Vì 2011 2010 2012 2011 Nên C > D 0,5 0,5 y x 2 xy 1 BĐT cuối xy