Đề thi học sinh giỏi trường Trần Đại Nghĩa lớp 9 – lần 1 (t12015) môn Toán43614

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA LỚP – LẦN (T1/2015) Bài 1: (2 ñieåm) Cho x2  3x   x Tính giá trị biểu thức: A     x3  10x  x  2015 x  x   x  3x  Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: x4  x2  mx   m  1 x  m  x Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau:  có hai nghiệm phân biệt x1;x a) x  x4  x2   x  x3 4x  2xy  y  4y   b)    2x  y  4x        Bài 3: (4 điểm) a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:   1    a c  b c  a b  4abc   2  a b c b  c a c  a b c       b a  433 x  x2  143 x  x với  x  17 Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Giả sử bốn điểm B, C, I, O thuộc đường tròn Chứng minh rằng: IH  IO b) Tìm giá trị lớn của: A  Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác AD Ở miền BAD CAD vẽ hai tia AM, AN cho MAD  NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD) Gọi E, F hình chiếu M lên AB, AC; P, Q hình chiếu N lên AB, AC a) Chứng minh rằng: điểm E, F, P, Q thuộc đường tròn AB2 BM.BN  b) Chứng minh rằng: AC2 CM.CN   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA LỚP – LẦN (2014-2015) Bài 1: (2 ñieåm) Cho x2  3x   x Tính giá trị biểu thức: A     x3  10x  x  2015 x  x   x  3x  x  x 1 Ta coù: x2  3x    x2  3x  ; x3  x.x2  x  3x  1  3x2  x   3x  1  x  8x  x4  x.x3  x  8x  3  8x2  3x  3x  1  3x  21x  Vaäy A   21x   8x   30x  10  x  201521x   3x   1  21x   9x   21x   3x   2014  24x    30x  10 16112 3x  1  10 3x  1 16122  3x  1 8061     24x  8  3x  1  3x  1 Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: mx   m  1 x  m  x  có hai nghiệm phân biệt x1;x 2 Do pt cho có hai nghiệm phân bieät x1;x  mx2   m  1 x  m   coù hai nghiệm Điều kiện: x  phân biệt x1;x lớn hôn m  a  m  m     4m    '   m  1  m  m    4m  1   1  1       x1     x     x  x   x1  2  2      x x   x  x     1  2 x   x1   x    2  2   m  m    m   m     m  0, m   , m  2, m  12       m  12    m  1  m  1  0     m  0, m   , m  2, m  12(voâ ly)ù  m  m  m  2  m  1  m  12      m 0  m  m Vậy với m > 12 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 ,x Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x  x4  x2   x  x3 Điều kiện: x  1;0  x  Ta có: x  x4  x2   x  x3  x  x  x3  x4  x2   x2   x  x3  x  x     x  x  x  x  x  x3  x  x     x2     x  x  x   x  x  11  x   x  1  x     x  x  x   x 1  x 1  x   x   x  x   x   x  x  x   x 1  x 1  x    x  x   1  x    x  x 1  x    x  x   1  x    x  x 1  x    x  x   1  x         x  x 1  x    x  x 1  x   x  x  x  x  x    x  x  1  x  x  1   x  1   x  x3  x   x  x  x  2x   x    4 3  4  4 3 4 3 2   x2  x2  x    x  x    x  1  1  ;x  2   1  1    ; Vaäy S    2     4x  2xy  y  4y   b)    2x  y  4x             4x   2xy  y  2y  2y  4x   2xy  y  4y      y y y2 2x  2x  y   4x   4x    2y y 1  2x  y  2  2x  y   0 2x  y    2     1      4x 4x   y 2x  y   y 2x  y   4x    4x  y  2x   2x  y    2x  y      y  2x   y  2x   x  1            y 2 y 1 2x  x    2x   4x  x  2x  y     4x  4x      x  1;y  1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x;y    1;5  ; ;2    x  ;y  2   Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 4: (4 điểm) a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:   1   a c  b c  a b  4abc    2  a b c b  c a c  a b c       b a  Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta có:   1    a c  b c  a b 4abc   2  a b c b  c a c  a b a c       b   4ab  4bc  a  b  b  c 4ab   4bc   4ca a b  b c  c a  2                 c  a  b a   c b   a c   a  b   b  c   c  a  4ca  a  b  b  c  c  a  a  b   4bc   b  c 4ab       a b  4ab    b  c 4bc   a  b  b  c  c  a    6 2 ab 2 4ab 2  a  b 4ab ca 6   c  a   4ca      ca  4ca     4bc 4ab  a  b bc 2 2 4ca 2 4bc  b  c  b  c 4bc 2 4ca  c  a  c  a 4ca 3.4ab 3.4bc 3.4ca   6 4ab 4bc 4ca  2223336  Vậy BĐT chứng minh Dấu " " xảy a  b  c  b)Tìm GTLN cuûa: A  433 x  x2  143 x  x với  x  17 Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta coù : 433 433.12 143.12 289 x  x2  143 x  x  x 1  x   x 1  x  17 17 144 17 144  143.12  289  433.12    x 1 x    x 1 x  17  144 17  144   A 433.12 143.12.433 143.12 3456 433.12.143 x  x    17.2.144 17.2 17.2.144 17.2 17  x  1 x  144 x Dấu " " xảy 144 145  289 x   x  144 3456 144 x  Vậy GTLN A 145 17  Trang A 3456 17 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Giả sử bốn điểm B, C, I, O thuộc đường tròn Chứng minh rằng: IH  IO A D I E O H B C Ta có: I tâm đường tròn nội tiếp ABC (gt) nên BI, CI tia phân giác ABC;ACB Do đó: IBC  ICB  ABC  ACB 180  BAC  2    BIC  1800  IBC  ICB  180  Ta coù: BAC  1800  BAC BAC  90  2   BOC gnt góc tâm chắn BC (O)  BOC  2BAC BIC  BOC tứ giác BIOC nội tiếp   BAC BAC Ta coù : BIC  900   2BAC  900   BAC  600 cmt  2  BOC  2BAC cmt  Goïi D giao điểm BH AC E giao điểm CH AB BD  AC D Ta có : H trực tâm ABC   Neân ABD  900  BAC  900  600  300 BH  AB taïi E  BHC  BEH  ABD  120 Ta coù:   BOC  2BAC  120  BHC  BOC  Tứ giác BHOC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh với hai góc nhau) Vậy B, I, H, O, C thuộc đường tròn Mà OB = OC (=R)  OBC cân O    OBC  OCB  OBC  1800  BOC :2  300 Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Ta coù : ABI  CBI  ABD  IBH  OBC  IBO  IBH  IBO Xét  BIHOC , ta có: IBH  IBO  IH  IO  IH  IO Baøi 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác AD Ở miền BAD CAD vẽ hai tia AM, AN cho MAD  NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD) Gọi E, F hình chiếu M lên AB, AC; P, Q hình chiếu N lên AB, AC A F P Q E B D M N C a) Chứng minh rằng: điểm E, F, P, Q thuộc đường tròn  MAD  NAD  gt Ta có:  BAD  CAD AD tia phân giác BAC     BAM  MAD  CAN  NAD  BAM  CAN Xeùt AEM AQN , ta có:   AEM  AQN  90 AE AM   AEM QAN  g  g     tsñd   AQ AN  BAM  CAN  cmt MAF  BAM  NAP  CAN  BAC   MAF  NAP Ta coù:  BAM  CAN  cmt   1  Xét AFM APN , ta coù: MAF  NAP  cmt AF AM    AFM APN  g  g   2  AP AN AFM  APN  90   AE AF AP AF    Từ (1) (2) ta có: AQ AP AQ AE Xét APF AQE , ta có:  Trang  Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG PAF  goùc chung    APF  AP AF cmt      AQ AE 2014 -2015 AQE c  g  c  APF  AQE  Tứ giác PFQE nội tiếp Vậy bốn điểm E, F, P, Q thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng:  AM  AN   Ta có:   AM    AN AB2 BM.BN  AC2 CM.CN ME  AEM NQ MF  AFM NP AQN  APN   ME MF  AM      ME.NP  MF.NQ NQ NP  AN  1 AB.ME AB.NP BM.BN BM BN SMAB SNAB    Do đó: CM.CN CM CN SMAC SNAC AC.MF AC.NQ 2 AB2 BM.BN AB2 ME.NP AB2    Vì ME.NP = MF.NQ Vậy AC2  CM.CN AC2 MF.NQ AC2   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) ThuVienDeThi.com ... x ? ?1? ?? x  17  14 4 17  14 4   A 433 .12 14 3 .12 .433 14 3 .12 3456 433 .12 .14 3 x  x    17 .2 .14 4 17 .2 17 .2 .14 4 17 .2 17  x  1? ?? x  14 4 x Dấu " " xảy ? ?14 4 14 5  2 89 x   x  14 4 3456 14 4...  14 3 x  x với  x  17 Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta có : 433 433 .12 14 3 .12 2 89 x  x2  14 3 x  x  x ? ?1  x   x ? ?1  x  17 17 14 4 17 14 4  14 3 .12  2 89  433 .12    x ? ?1? ??... 30x  10  x  2 015 21x   3x   1? ??  21x   9x   21x   3x   2 014  24x    30x  10 16 112 3x  1? ??  10 3x  1? ?? 16 122  3x  1? ?? 80 61     24x  8  3x  1? ??  3x  1? ?? Baøi 2: (2