PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 4đ ) Cho biểu thức P= x 1 : x x x x x x Q = x x 15 ( với x > 0, x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị x Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 2: ( 4đ ) Cho ba số dương a , b , c Chứng minh 1 1 1 ) ≥ 3( a b c a 2b b 2c c 2a Bài 3: ( 4đ ) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy x 10 y Bài 4: ( 6đ) Trên đường trịn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A B tùy ý Giả sử C điểm nằm phía AB ( C ≠ A, C ≠ B ) Kẻ đường kính AD đường trịn tâm (o) Cát tuyến qua C vng góc với đường kính AD H cắt đường trịn tâm (o) M N Đường thẳng qua M D cắt AB E Kẻ EG vng góc với AD G a) Chứng minh rằng: BDHC AMEG thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: AM = AC AB c) Chứng minh rằng: AE AB + DE DM = 4R Bài ( 2đ) Các góc nhọn tam giác ABC thỏa mãn điều kiện CosA + CosB + CosC = CosA.CosB CosB.CosC CosC.CosA Chứng minh tam giác ABC Hết ThuVienDeThi.com PHÒNG GD & ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Câu 1/a 1/b Đáp án P x 1 x ( x x 1) x ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x 1) x 1 Q – 4P = x x 15 x = ( x x 16) ( x x 4) = ( x 4) ( x 2) ≥ -1 Với x Dấu đẳng thức xảy { x x20 x2 Vậy Min Q - 4P = -1 x 2 Điểm 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Với x, y, z > ta có 1 1 ≥ 3 x y z xyz 1 ( x y z )( ) ≥ x y z 1 ≥ * x y z x yz x yz ≥ xyz , 0,5 0,5 0,5 Áp dụng * ta có: 1 1 1 ≥ , ≥ , ≥ a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Cộng vế ta được: 1 1 1 ) a b c a 2b b 2c c 2a 1 1 1 ≥ 3( ) a b c a 2b b 2c c 2a 3( ) ≥ 9( 4/a Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c Biến đổi phương trình [ x x( y 1) ( y 1) ] – ( y y 4) ( x y 1) (2 y 2) (3 y x 1)( y x 3) Do đó: y x y x ước Vậy : ( x, y ) ( 7; -3 ), ( 1; -3 ) , ( 3; ) , ( -3 ; ) Vẽ hình Tứ giác BDHC tứ giác AMEG tứ giác nội tiếp Vì có tổng hai góc đối 180 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 4/b ∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g g ) 0,5 AH AC => AB AD 0,5 0,5 Nên AH AD = AB AC Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vngMAD Ta có: MA = AH AD AM = AB AC 4/c ∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g g ) AE AB = AG AD ∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g g ) DE DM = DG DA Vậy AE AB + DE DM = AD(AG + GD) = AD = 4R 0,5 0,5 N D G H • O A E C 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B M Đặt CosA = x , CosB = y, Cos C = z ( ta có x ; y ; z > ) x + y + z = xy yz zx ( x y )2 ( y z )2 ( z x ) ( x y )2 = ( y z )2 = ( z x )2 = => x y z Hay CosA = CosB = Cosc A=B=C Vậy ∆ABC Ban giám hiệu PHT Vũ Thị Hồng Thắm Người duyệt đề Người đề / đáp án Trịnh Văn Đông Đàm Trọng Tuấn ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 ...PHÒNG GD & ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Câu 1/a 1/b Đáp án P x 1 x ( x x... Cosc A=B=C Vậy ∆ABC Ban giám hiệu PHT Vũ Thị Hồng Thắm Người duyệt đề Người đề / đáp án Trịnh Văn Đông Đàm Trọng Tuấn ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 ... ( -3 ; ) Vẽ hình Tứ giác BDHC tứ giác AMEG tứ giác nội tiếp Vì có tổng hai góc đối 180 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 4/b ∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g g ) 0,5 AH AC => AB AD 0,5 0,5 Nên AH