Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng 1 môn: Toán42199

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VỊNG NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Chøng minh r»ng hµm sè y = x4- 6x2 + 4x + lu«n có cực trị đồng thời gốc toạ độ O trọng tâm tam giác tạo đỉnh điểm cực trị đồ thị hàm số Cõu 2: (3 im) Giải phương trình: cos2 x  sin x cos x   3(sin x  cos x) (1) Câu 3: (4 điểm) 1  cos x.cos 2x x   Cho hàm số f (x)   x 0 x  Tính đạo hàm hàm số x  Giải phương trình:  x  1 x   3 x   x    Câu 4: (2 điểm) Cho số thực x , y , z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: F  3x  y  y  z  z  3x Câu 5: (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Gọi A giao điểm d1 d Viết phương trình đường trịn có tâm nằm d1 , qua điểm M tiếp xúc với d Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M cắt d1 , d B C cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC  3AB Câu 6: (3 im) Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M N Gọi V1, V thứ tự thĨ tÝch cđa khèi chãp SAMKN vµ khèi chãp SABCD Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cña tû sè V1 V Câu 7: (2 điểm) Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = x5 x  3x  HẾT-Họ tên thí sinh: Số báo danh: DeThiMau.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG NĂM HỌC 2012-2013 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đáp án gồm 06 trang) NỘI DUNG TËp xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + y’ = 4x - 12x + y’ = g(x) = x3 - 3x + = Ta cã g(x), liªn tơc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = CÂU Câu ĐIỂM (1)  g(- 2).g(- 1)    g(-1).g( 1)   g( 1).g( 2)   3.0 g(x) liªn tục nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt tháa m·n : - < x1 < -1 < x2 < < x3 < * Ta cã y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1) Gọi điểm cực trị A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) G (x0,y0) trọng tâm tam giác ABC Theo §L Viet cã x1 + x2 + x3 = (2) x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3) Tõ (2) suy x0 = x1  x2  x3 =0 Tõ (1) (2) (3) suy ra: y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( x12  x22  x32 )-(x1+x2+x3) - 6 = -3 (x1 + x2 + x3)2 - (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - (-3) - 6) = VËy G (0;0)  0(0;0) (§PCM) Câu Bài 1.1 Giải phương trình: cos2 x sin x cos x   3(sin x  cos x) (1) (1)   cos 2x  sin 2x  3(sin x  cos x)    cos 2x  sin 2x    sin x  cos x       2    2             cos  2x    cos  x   3 6         cos  2x    3cos  x    cos2  x    3cos  x   6           cos  x    v cos  x    (loaïi) 6  x      k  x   2  k , k Z Vậy phương trình c họ nghiƯm lµ: x  2  k , k  Z DeThiMau.vn  3.0 CÂU Câu NỘI DUNG 1  cos x.cos x x   Cho hàm số f ( x)   x 0 x  Tính đạo hàm hàm số x  Giải phương trình :  x  1 x   3 x   x   ĐIỂM 4.0   cos x cos x f ( x) f (0)  lim x 0 x 0 x0 x2 1   cos3 x  cos x   cos3 x  cos x  lim  lim  lim 2 x 0 x 0 x 0 x 2x 2x2 2 3x  x   sin sin    lim  2 5  lim     x 0  x  x 0  x      Vậy f '(0)  ĐK: x   x = khơng nghiệm phương trình Xét giới hạn lim Ý (2 đ)  x  PT  x   3 x   Ta xét hàm số sau 1;  x6 (*) x 1 1 3  0, x  x 1 x6 1) f ( x)  x   x  có f '( x)  2) g ( x)  0.5 0.75 0.25 0.5 0.5 Ý (2 đ) 0.5 7 x6 có g '( x)   0, x  x 1  x  1 0.25 0.25 Do miền x > 1: VT(*) hàm số đồng biến, VP(*) hàm số nghịch biến nên nghiệm x  nghiệm (*) Tóm lại: PT có nghiệm x  Cho số thực x , y , z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: 0.25 0.25 F  3x  y  y  z  z  3x 2.0 Câu Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có: F  6 x  12  y  z    18  x  2  y  z    18  x  2   x       Xét hàm số: 0.75 f ( x)  x  2   x  miền xác định   x  f '( x)  x  4x 3  x   x  f '( x)  (- 3; 3)    x  1 DeThiMau.vn  ( x   3; ) 0.25 0.25 CÂU  NỘI DUNG  f  0  f   3, ĐIỂM f  1  0.25  max f ( x)    3;    Suy F  18.5  F  10 Với x  y  z  thỏa mãn x  y  z  F  10 Vậy max F  10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Gọi A giao điểm d1 d 1.Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d1 , qua điểm M Câu tiếp xúc với đường thẳng d 2.Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d1 , d B C cho ba điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC  3AB Gọi đường trịn cần tìm (T) có tâm I, bán kính R Vì I  d1  I  a; a  1 (T) qua M tiếp xúc d2 nên ta có: IM  d ( I ; d )   a  1  a2  2a   a  1     0.25 0.25  0.25  a  13  10  I 13  10 2; 14  10 ; R       y  14  10   9   (1) a  13  10  I  13  10 2; 14  10  ; R     Phương trình (T) :  x  13  10    y  14  10      trình (T) : x  13  10 3.0  a  26a  31   a  13  10 Ý  (1.5 đ) 0.5 2 Phương 2 Vậy có hai đường trịn thỏa mãn u cầu đề với phương trình (1) (2) x  y   x  Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ    A(2;1) 2x  y   y  0.25 0.25 (2) 0.25 0.25 Lấy điểm E  3;2   d1  E  A  Ta tìm d2 điểm F ( F  A ) cho EF = 3AE Do F  d  F  x;5  x  Khi Ý (1.5 đ) EF = 3AE   x  3    x   18 2  F  0;5  x     x  18 x      18 11  18 x  F ;    5  5 (Cả hai điểm F thỏa mãn F  A )  BC  AB EF AE Vì     BC // EF   // EF BC AB  EF  AE   F  0;5   EF  3;3   : x  y   18 11    21   F  ;    EF  ;     : x  y   5 5 5  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề 0.25 DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 NỘI DUNG  : x  y   : x  y   CÂU ĐIỂM 0.25 ฀ ฀ ฀ Cho tứ diện ABCD có AB  a , AC  b , AD  c BAC  CAD  DAB  600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Câu Cho a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  2010 Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác BCD Bài 5: (3 điểm): Vì ABCD hình bình hành 3.0 S 1 => VSABC = VSADC = VSABCD = V 2 SN SM Đặt y x, SD SB x.V VSAMK SM SK   VSAMK  Ý th× V SB SC SABC (1.5 đ) V => V1 = VSAMK + VSANK = (x + y) (1) Mặt khác V1 = VSAMN + VSMNK = K M 0,5® P B C N A D V V = x.y + x.y xy.V => V1 = (2) 0,5® x (3) 3x  1 Do x > vµ y > nªn tõ (3) => x > 1 SN x Vµ y = 1   2x -  (v× 3x-1> 0) => x  ®ã x1 2 SD 3x  V 3 x 3x Tõ (1) =>  (x + y) = xy = x  x  4(3 x  1) V Tõ (1) (2) => x + y = 3xy => y = 3x 3x(3x  2) víi  x  Ta cã f’(x) = 4(3x  1) 4(3 x  1) f’(x) = x = không thuộc đoạn [ ;1 ] 2 x= => Bảng biến thiên XÐt hµm sè f(x) = x f’(x) f(x) - 3/8 + 3/8 DeThiMau.vn 0,5 0,5 NỘI DUNG CÂU 1 V  f(x)  víi x  [ ;1 ] hay   V V 2 VËy Min ( ) = x = hay SM = SB 3 V x M trung điểm cđa SB V1  Vµ Max ( ) = 2  V M  B  x  Suy ĐIỂM 0,5 0,5 1) (2 ®iĨm) Câu 3x3  x x5 v× x4 + 3x2 + = (x2 + ) (x2 + 1)   x 4 x  3x  x  3x 3x  x Ax b Cx D Đặt Víi x   2 x  3x  x  x 1 Ta cã:  3x3 + 2x = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 2) Víi x Hay 3x3 + 2x = (A+C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + B + 2D Víi x => A + C = B=D=0 B+D=0 => A + 2C = B + 2D = C = -1 tøc lµ 3x3  x 4x x   x  3x  x  x  A=4 4x x  x  x 1 xdx x2 xdx x2 d ( x  2) d ( x  1) => f(x)dx =       2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 => f(x) = x - VËy  f(x)dx = x2  ln( x  2)  ln( x  1)  k víi k lµ h»ng sè 2 HƯỚNG DẪN CHUNG + Trên bước giải khung điểm bắt buộc cho bước , u cầu thí sinh phải trình bầy biến đổi hợp lý công nhận cho điểm + Mọi cách giải khác cho tối đa theo biểu điểm + Chấm phần Điểm tồn khơng làm trịn DeThiMau.vn 2.0 ... d )   a  1? ??  a2  2a   a  1? ??     0.25 0.25  0.25  a  ? ?13  10  I ? ?13  10 2; ? ?14  10 ; R       y  14  10   9   (1) a  ? ?13  10  I  ? ?13  10 2; ? ?14  10  ; R ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG NĂM HỌC 2 012 - 2 013 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 18 0 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đáp án gồm 06 trang) NỘI...  x  13  10    y  14  10      trình (T) : x  13  10 3.0  a  26a  31   a  ? ?13  10 Ý  (1. 5 đ) 0.5 2 Phương 2 Vậy có hai đường trịn thỏa mãn u cầu đề với phương trình (1) (2)