Đề thi chon hoc sinh giỏi THCS năm hoc 2006 2007 môn Toán lớp 941336

PHNG GIẠO DỦC TP HÚ K THI CHN HC SINH GII THCS NÀM HC 2006 - 2007 MÄN TOẠN - LÅÏP Thåìi gian: 120 (khäng kãø thåìi gian giao âãư) Bi (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc A  y  10 x y  31xy  10 x x a) Phán tờch A thaỡnh nhỏn tổớ b) Tỗm cỷp sọỳ x, y tho mn âiãưu kiãûn y - x = âäưng thåìi A = Bi (2 âiãøm): Cho biãøu thæïc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 våïi x, y, z, t l cạc säú nguyón khọng ỏm Tỗm caùc giaù trở cuớa x, y, z, t âãø biãøu thỉïc M cọ giạ trë nh nháút tho mn âiãưu kiãûn: 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Baìi (2 âiãøm): x  2x  Cho haìm säú f(x) = x  2x  (x  R) a) Chỉïng minh ràịng våïi hai giạ trë x1 , x2 tu ca x cho x1< x2 thỗ f(x1) < f(x2) b) Vồùi giaù trở naỡo cuớa x thỗ f (x)  Bi (4 âiãøm): Cho tam giạc cán ABC (AB = AC), âỉåìng cao AH Trãn cảnh BC láúy âiãøm M vaì E cho ME = BC (BM < BE) Qua M k âỉåìng thàóng vng gọc våïi BC càõt AB tải D Qua E k âỉåìng thàóng vng gọc våïi DE càõt âỉåìng thàóng AH tải N a) Chỉïng minh: BM BH = MD HN b) Chỉïng t N l mäüt âiãøm cäú âënh c) Biãút AB = cm, BC = cm Tênh khong cạch giỉỵa tám âỉåìng trn näüi tiãúp v tám âỉåìng trn tiãúp ca tam giạc ABC HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HC SINH GII NÀM 2006-2007 Män: Toạn - Låïp Bi 1(2 âiãøm) a) (1 âiãøm) (0,5 â) A  3y  3x y  3x y  21xy  10 xy  10 x 3x    y  x y  x y  10 x  ThuVienDeThi.com   y    x  y  x  3y  x  (0,5 â)  y  x y  x y  x y  10 x 60 b) (1 âiãøm) A   y  3x hoàûc y x hoàûc y x * y  3x  yx * y x yx * y x 3 yx   x  3 yx x  3x    yx x x  0  yx x x  0  yx x hoàû c yx  3  x  0     yx 4 y     x   12  3  yx laì: 3 27 15 ; y  ) ; (x = ; y = ) vaì ( x  ; y  ) 12 Baìi (2 âiãøm) Tỉì 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2 3M = 198 + 7t2 M  66  t  66 Giạ trë nh nháút ca M l 66 t = Do âọ: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2) Tỉì (1)  (x + y)(x - y ) = 15 Vỗ x, y laỡ caïc säú nguyãn khäng ám, nãn x + y = 15 v x - y = (3) Hồûc: x + y = vaì x - y = (4) Tỉì (3)  x = 8, y = 7, cạc giạ trë ny khäng tha (2) Tỉì (4)  x = 4, y = Thay vaìo (2) ta coï: 16 + + 9z2 = 168 9z2 = 144 z2 = 16 ThuVienDeThi.com Hóỷ phổồng trỗnh vọ nghióỷm  16    0  x  12  yx 27 x hồû  15 c y Váûy cọ càûp säú tha mn âiãưu kiãûn A = v y  x  (x  x 12 y x z = (z = - loải) Váûûy giạ trë nh nháút ca M l 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = Baìi (2 âiãøm) a) âiãøm  x  1 f x   x  12  - Våïi x1 = 1, x2 >1 thỗ f(x1) = 0, f(x2) > nón f(x1) < f(x2) f x   1 x  12 - Nãúu x  1, ta coï Våïi < x1 < x2 thỗ < x1 - < x2 - nãn: Do âoï: 1 1 x  12 < 1 1 x  12 x  12 > x  12 hay f(x1) < f(x2) Váûy våïi x1 < x2 thỗ f(x1) < f(x2) b) âiãøm x  2x  1  2x  4x  x  2x   x  2x f(x) >  > > >0 x  2x  2  x (x - 2) >  x > hoàûc x < (1) x  2x  f(x) <  <  4x2 - 8x + < 3x2 - 6x + x  2x   x2 - 2x - <  (x - 1)2 - <  (x -1 + ) (x - - ) <  - < x < + (2) Tỉì (1) v (2) suy < f(x) <  - < x < hoàûc < x < + Baìi (4 âiãøm) A a) Xẹt  MDE v  HEN coï: ฀ ฀ = EHN = 900 DME ฀ ฀ MDE = HEN (gọc cọ cảnh tỉång ỉïng vng goïc) D MD ME nãn MDE ∾ HEN , suy ra:  HE HN Hay MD.HN = HE.ME Do BH = ME (  BC ) nãn BM = HE B M H E C Do âoï: MD.HN = BM.BH (1) N b) MD BH (2)  BM HN MD AH ABH coï MD//AH nãn (3)  BM BH BH AH BH Tỉì (2) v (3)   HN   HN BH AH Tỉì (1)  ThuVienDeThi.com N  AH cäú âënh vaì HN khäng thay âäøi nãn N laì âiãøm cäú âënh c) A P K I B H BC = 6cm  BH = 3cm ˆ  90 ) coï AH2 = AB2 - BH2 AHB ( H = 52 - 32 = 16 = 42  AH = 4cm Goüi K laì tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC, thỗ BK laỡ phỏn ฀ v K  AH giạc ca B KH BH Do âoï:   KA BA C KH KA KH  KA Suy ra:     0,5 8 KH = 1,5cm KA = 2,5cm Gi I l tám dỉåìng trn tiãúp ABC thỗ IP laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa caỷnh AB vaì I  AH nãn PA  AB   2,5(cm) 2 AH ฀ ฀ )  0,8 ˆ  90 ) coï cos ( BAH ABH ( H )   0,8  cos( PAI AB AP 2,5 ฀ )  AP  AI  API ( Pˆ  90 ) coï cos ( PAI   3,125 ฀ AI cos( PAI ) 0,8 Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Váûy khong cạch giỉỵa tám âỉåìng trn ngai tiãúp v tám âỉåìng trn näüi tiãúp ca tam giạc ABC l 0,625cm ThuVienDeThi.com ... tha (2) Tỉì (4)  x = 4, y = Thay vaìo (2) ta coï: 16 + + 9z2 = 168 9z2 = 144 z2 = 16 ThuVienDeThi.com Hóỷ phổồng trỗnh vọ nghióỷm  16    0  x  12  yx 27 x hồû  15 c y Váûy cọ càûp... AH ABH coï MD//AH nãn (3)  BM BH BH AH BH Tỉì (2) v (3)   HN   HN BH AH Tỉì (1)  ThuVienDeThi.com N  AH cäú âënh vaì HN khäng thay âäøi nãn N laì âiãøm cäú âënh c) A P K I B H BC = 6cm... giỉỵa tám âỉåìng trn ngai tiãúp v tám âỉåìng trn näüi tiãúp ca tam giạc ABC l 0,625cm ThuVienDeThi.com