đề thi học sinh giỏi năm học 2006 2007 Môn : toán Lớp Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu ( ®iĨm ) : Chøng minh r»ng : 1- 1 1 1 1 2n 2n n n 2n Câu ( điểm ) : Chứng minh r»ng nÕu a + b + c = ab + bc + ca a=b=c Câu ( điểm ) : phân tích thành nhân tö A = a + b + c 3abc Câu ( điểm ) : Hai xe máy khởi hành lúc tư hai địa điểm A B Xe thứ từ A đến B quay lại A ngay, xe thø hai ®i tõ B ®Õn A råi cđng quay lại B Hai xe gặp lần thứ hai điểm C cách A 10km Tính quảng đường AB biÕt r»ng vËn tèc cđa xe thø nhÊt vµ xe thø hai tØ lƯ víi C©u ( điểm ) : Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O song song với hai đáy, cắt AD E cắt BC F Chứng minh OE = OF ThuVienDeThi.com Đáp án biểu điểm Môn : toán Câu : điểm XÐt vÕ ph¶i, ta thÊy cã tỉng cđa n sè nghịch đảo từ 1 đến , n 2n hiệu tổng 2n số nghịch đảo tổng n số nghịch đảo Nếu đặt : S n S n 2n (0,5 điểm) vế phải S n - S n Còn vế trái : 1 n ( 0,5 ®iĨm) 1 1 1 1 S n 2( ) (0,5 ®iĨm) 2n 2n 2n 1 = S n - ( ) n = S 2n - S n ( 0,5 ®iĨm) VËy đẳng thức chứng minh Câu : điểm Theo gi¶ thiÕt, ta cã : a2+b2+c2 – ab – bc ca = (0,25 điểm) Nhân vế với nhóm số hạng lại ta : (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c a)2 = ( điểm) Vế trái tổng số bình phương hạng tử tức a = b = c (đpcm) (0,75 điểm) Câu : điểm Dùng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b), ta cã: a + b + c – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab bc ca) Câu : điểm A 10km C B Gọi quảng đường AB x (km) Đk: x>10 Đặt thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc xe gặp lần thø lµ t(giê) VËn tèc xe thø nhÊt lµ v , xe thø lµ v Khi xe gặp lần thứ hai : + Xe thứ quảng đường x + x – 10 = 2x – 10 (km) + Xe thứ hai quảng đường x + 10 (km) ThuVienDeThi.com Ta cã : v = v2 = x 10 (km / h) t x 10 (km / h) t Theo bµi ta cã : x 10 x 10 t hay x 10 x 10 t hay 4x = 110 => x = 27,5 Câu : điểm D C E F O A B Xét AOB đ/t CD//AB , ta cã : OD OC OB OA ¸p dơng t/c đẳng thức tỉ lệ : OD OC OD OC OB OD OA OC DB CA (1) áp dụng hệ định lý Talét vào ADC ACB ta có OE OD (2) AB DB OF OC Trong ACB th× OF//AB => (3) AB CA OE OF Tõ (1), (2), (3) => OE OF AB AB Trong ADC th× OE//AB => ThuVienDeThi.com ... điểm Theo giả thi? ??t, ta có : a2+b2+c2 – ab – bc – ca = (0,25 điểm) Nhân vế với nhóm số hạng lại ta : (a2 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = ( điểm)... : điểm Dùng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b), ta cã: a + b + c – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) C©u : điểm A 10km C B Gọi quảng đường... thø v Khi xe gặp lần thứ hai : + Xe thứ quảng ®êng lµ x + x – 10 = 2x – 10 (km) + Xe thứ hai quảng đường lµ x + 10 (km) ThuVienDeThi.com Ta cã : v = v2 = x 10 (km / h) t x 10 (km / h) t