Bài giảng môn toán lớp 12 Chuyên đề 9 phương pháp tọa độ trong không gian40923

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các toán tọa độ không gian thường có yêu cầu xác định tọa độ điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc vectơ, vấn đề mặt phẳng đường thẳng không gian (phương trình, vị trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ) Tùy theo trường hợp ta cần lưu ý vận dụng kiến thức sau : I Toạ độ điểm Toạ độ vectơ Trong không gian tọa độ vuông góc Oxyz có vectơ đơn vị ba trục Ox, Oy, Oz e1 , e2 , e3 * Cho M(x, y, z) OM = x e1 + y e2 + z e3 * Cho a = (a1, a2, a3) a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 II Các phép toán tọa độ điểm, vectơ Các phép toán tọa độ điểm Cho hai điểm A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) Ta có nhóm công thức tính tọa độ vectơ AB , khoảng cách hai điểm A, B tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ * AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) * AB = * ( x= ( x2 − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2 x1 − kx y − ky z − kz2 ,y= ,z= 1− k 1− k 1− k ) Caùc phép toán tọa độ vectơ Cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) Với α β số thực ta có công thức tính công thức quan hệ sau : a) Công thức tính toán α a + β b = ( α a1 + β b1, α a2 + β b2, α a + β b ) a b = a1.b1 + a2.b2 + a b ( )= cos a, b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 2 + a 32 b12 + b2 + b32 b) Công thức quan hệ DeThiMau.vn ⎧a1 = b1 ⎪ a = b ⇔ ⎨a = b ⎪a = b ⎩ a phương b ⇔ ( a a1 a = = b3 b1 b2 ) (b1, b2, b ≠ 0) a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a b = Chú ý : Góc hai đường thẳng chéo không gian góc nhọn tạo hai vectơ phương đường thẳng MẶT PHẲNG I Phương trình mặt phẳng 1.* Phương trình tham số mặt phẳng α qua M(x0, y0, z0) có cặp vectơ phương a = (a1, a2, a ), b = (b1, b2, b ) viết : ⎧ x = x0 + t1a1 + t b1 ⎪ ⎨ y = y + t1a + t b2 ⎪z = z + t a + t b 3 ⎩ t1, t2 ∈ R 2.* Phương trình tổng quát mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0với A2 + B2 + C2 > Mặt phẳng α có : pháp vectơ : n = (A, B, C) 3.* Phương trình mặt phẳng qua M(x0, y0, z0) vuông góc với vectơ n = (A, B, C) viết : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 4.* Phương trình mặt phẳng qua M(x0, y0, z0) nhận vectơ phương a = (a1, a2, a ), b = (b1, b2, b ) viết a2 a3 b2 b3 ( x − x0 ) + a3 a1 b3 b1 ( y − y0 ) + a1 a2 b1 b2 ( z − z0 ) = 5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c ≠ viết laø : x y z + + =1 a b c II Toán mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ M(x0, y0, z0) đến DeThiMau.vn α : Ax + By + Cz + D = laø : MH = Ax + By + Cz0 + D A + B2 + C2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng α , β có pháp vectơ n = (A, B, C), n1 = (A1, B1, C1) Vị trí hai mặt phẳng α , β vị trí pháp vectơ n , n1 : α // β ⇔ n // n1 α ⊥β ⇔ n ⊥ n1 α cắt β ⇔ n khác phương n1 ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng 1.* Phương trình tham số đường thẳng Δ qua M(x0, y0, z0) có vectơ phương a = (a1, a2, a ) viết ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ ⎨ y = y0 + ta2 ,t ∈ R (Heä I) ⎪ z = z + ta ⎩ Neáu a1.a2.a3 ≠ ta có phương trình tắc là: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 2.* Phương trình tổng quát đường thẳng Δ xác định giao tuyến mặt phẳng α β viết : ⎧ Ax + By + Cz + D = ⎨ ⎩ A1x + B1y + C1z + D1 = (α) (β) (II) Ghi chú: Cho phương trình đường thẳng Δ xác định hệ (II) Để viết thành phương trình tham số đường thẳng ta đặt z = t tính x, y theo t từ hệ (II) nhờ hệ (I) ta có vectơ phương điểm Δ (hoặc x = t, y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến lại theo t đơn giản) 3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) : ⎧ A1x + B1y + C1z + D1 = ⎨ ⎩ A x + B2 y + C z + D2 = DeThiMau.vn Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = (*) với m, n không đồng thời Phương trình (*) gọi phương trình chùm mặt phẳng xác định đường thẳng (d) Chú ý :Nếu m= n khác 0, chia hai vế (*) cho n ta có (*) thành A2x + B2y + C2z + D2 = Nếu m khác chia hai vế (*) cho m ta coù: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = với h = n m Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = hay A2x + B2y + C2z + D2 = Vấn đề TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương pháp : Thông thường ta có cách sau : - Cách : Tìm điểm cặp vectơ phương mặt phẳng - Cách : Tìm điểm pháp vectơ mặt phẳng - Cách : Dùng phương trình chùm mặt phẳng Vấn đề : TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp : Thông thường ta có cách sau : - Cách : Tìm điểm vectơ phương đường thẳng - Cách : Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng cần tìm - Ghi : Trong cách, thực chất việc tìm phương trình đường thẳng tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng Cái khó phải xác định mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng cần tìm Thông thường ta hay gặp giả thuyết sau : + Đường thẳng (Δ) qua điểm A cắt đường thẳng d : Khi đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng qua A chứa d + Đường thẳng (Δ) qua điểm A vuông góc với đường thẳng d : Khi đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng qua A vuông góc với d + Đường thẳng (Δ) song song với d1 cắt d2 : Khi đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng chứa d2 song song với d1 Chẳng hạn : Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a cắt đường thẳng Cách giải : - (Δ) qua A vuông góc với d nên (Δ) nằm mặt phẳng α qua A vuông góc với d - (Δ) qua A cắt d nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A chứa d Khi (Δ) giao tuyến α β Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 d2 Cách giải : - (Δ) qua A cắt d1 nên (Δ) nằm mặt phẳng α qua A chứa d1 DeThiMau.vn - (Δ) qua A cắt d2 nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A chứa d2 Khi (Δ) giao tuyến α β Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng α, vuông góc với d nằm α Cách giải : - Từ giả thuyết ta có (Δ) ⊂ α - (Δ) qua A vuông góc với d nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A vuông góc với d Khi (Δ) giao tuyến α β Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) cắt đường thẳng d1 d2 Cách giải : - (Δ) song song với (D) cắt d1 nên (Δ) nằm mặt phẳng α chứa d1 song song với (D) - (Δ) song song với (D) cắt d2 nên (Δ) nằm mặt phẳng β chứa d2 song song với (D) Khi (Δ) giao tuyến α β Vấn đề HÌNH CHIẾU Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A đường thẳng (d) Phương pháp : A (d) H - Cách : (d) cho phương trình tham số : + H ∈ (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t → → + Tìm tham số t nhờ điều kiện AH ⊥ a d - Cách : (d) cho phương trình tắc, gọi H(x, y, z) → → + AH ⊥ a d (*) + H ∈ (d) : Bieán đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z - Cách : (d) cho phương trình tổng quát : + Tìm phương trình mặt phẳng α qua A vuông góc với đường thẳng (d) + Giao điểm (d) (α) hình chiếu H A (d) Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A mặt phẳng (α) - Cách : Gọi H(x, y, z) + H ∈ α (*) → → + AH phương với n α : Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z - Cách : + Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng (α) + Giao điểm (d) (α) hình chiếu H A mặt phẳng (α) DeThiMau.vn Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α - Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α - Hình chiếu (Δ) d xuống mặt phẳng α giao tuyến α β Bài toán : Tìm hình chiếu H A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α) Phương pháp : - Tìm phương trình đường thẳng (Δ) qua A song song với (d) - Hình chiếu H giao điểm (Δ) (α) Bài toán : Tìm hình chiếu (Δ) đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phẳng (α) (Δ) (d) Phương pháp : A (D) d H (Δ) - Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) song song với (D) - Hình chiếu (Δ) giao tuyến (α) (β) Vấn đề4 ĐỐI XỨNG Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d Phương pháp : - Tìm hình chiếu H A d - H trung điểm AA’ Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α Phương pháp : - Tìm hình chiếu H A α - H trung điểm AA’ Bài toán : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ) Phương pháp : (D) - Trường hợp : (Δ) (D) cắt : A M (Δ) A’ d + Tìm giao điểm M (D) (Δ) + Tìm điểm A (D) khác với điểm M + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d đường thẳng qua điểm A’ M DeThiMau.vn - Trường hợp : (Δ) (D) song song : + Tìm điểm A (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d đường thẳng qua A’ song song với (Δ) - Trường hợp : (Δ) (D) chéo : + Tìm điểm phân biệt A, B (D) + Tìm điểm A’, B’ điểm đối xứng A, B qua (Δ) + d đường thẳng qua điểm A’, B’ Bài toán : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α Phương pháp : - Trường hợp : (D) cắt α + Tìm giao điểm M (D) (α) + Tìm điểm A (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α + d đường thẳng qua hai điểm A’ M - Trường hợp : (D) song song với α (D) d A A’ - Tìm điểm A (D) - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α - d đường thẳng qua A’ song song với (D) Vấn đề KHOẢNG CÁCH Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = Phương pháp : d(M, α ) = Ax + By + Cz + D A + B2 + C Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) Phương pháp : - Tìm hình chiếu H M (Δ) - Khoảng cách từ M đến (Δ) độ dài đoạn MH Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng song song d1 d2 Phương pháp : DeThiMau.vn - Tìm điểm A d1 - Khoảng cách d1 d2 khoảng cách từ điểm A đến d2 Bài toán : Tính khoảng cách mặt phẳng song song α : Ax + By + Cz + D1 = Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = Phương pháp : Khoảng cách α β cho công thức : d(α, β) = D1 − D2 A + B2 + C Baøi toán : Tính khoảng cách đường thẳng chéo d1 d2 Phương pháp : - Cách : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 song song với d2 + Tìm điểm A d2 + Khi d(d1, d2) = d(A, α) - Cách : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 song song với d2 + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 song song với d1 + Khi d(d1, d2) = d(α, β) Ghi : Mặt phẳng α β mặt phẳng song song với chứa d1 d2 - Cách : + Viết dạng phương trình tham số theo t + Viết d2 dạng phương trình tham số theo t2 + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1 + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2 + Tìm vectơ phương → → a1, a2 d1 d2 ⎧ → → ⎪ AB ⊥ a + AB đoạn vuông góc chung d1, d2 ⇔ ⎨ → →1 tìm t1 t2 ⎪ AB ⊥ a ⎩ + Khi d(d1, d2) = AB Vấn đề GÓC Cho đường thẳng d d’ có phương trình : d: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c d’ : x − x0 y − y0 z − z0 = = a' b' c' Cho mặt phẳng α β có phương trình : α : Ax + By + Cz + D = β : A’x + B’y + C’z + D’ = Góc hai đường thẳng d d’ : cos ϕ = aa'+ bb'+ cc' a + b + c a' + b ' + c ' 2 Góc hai mặt phẳng α β : DeThiMau.vn cos ϕ = AA'+ BB'+ CC' A + B2 + C A' + B' + C' Góc đường thẳng d mặt phẳng α : sin ϕ = Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c Chú ý : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = -α⊥β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = - d song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = Vaán đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng α β có phương trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = β : A2x + B2y + C2z + D2 = → → Goïi n1 = (A1, B1, C1 ), n = (A , B2 , C ) pháp vectơ mặt phẳng M điểm mặt phẳng α → → - α cắt β ⇔ n1 n không phương - α song song β ⎧ ⇔ ⎪⎨ n1 n phương - α truøng β ⇔ → → ⎪⎩ M ∉β → ⎧⎪ → n n phương ⎨ ⎩⎪ M ∈β Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ ta có cách khác : - α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - α song song β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C D2 - α truøng β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C D2 Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2 + Hệ có nghiệm : d1 cắt d2 + Hệ có vô số nghiệm : d1 d2 trùng + Hệ vô nghiệm : → → → → a d1 vaø a d a d1 a d phương : d1 // d2 không phương : d1 d2 chéo - Cách : → → + Tìm vectơ phương a d1 , a d2 d1 d2 + Tìm điểm A ∈ d1 B ∈ d2 → → a) a d1 a d phương A ∈ d : d1 ≡ d A ∉ d : d1 / / d DeThiMau.vn → → b) a d1 vaø a d không phương ta có: ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ AB = d1,d2 cắt ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ AB ≠ d1,d2 chéo i) ii) Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng α + Hệ vô nghiệm : d // α + Hệ có nghiệm : d cắt α + Hệ vô số nghiệm : d⊂α - Cách : → → Tìm vectơ phương a d, pháp vectơ n α tìm điểm A ∈ d → → → → → → → + a n ≠ ( a không vuông góc n ) : d cắt α → + a n = ( a ⊥ n ) A ∉ α: d / / α A ∈ α: d ⊂ α Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D) ⎧ x − 2z = ⎨ ⎩3x − 2y + z − = vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + = Giải Phương trình tham số (D) viết ⎧ x = 2t ⎪ ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ ⎪⎩z = t Mặt phẳng (Q) chứa (D) vuông góc (P) qua điểm M ( 0, − , ) ∈ (D) vaø có cặp vectơ phương a = n = (1, –2, 1) (pháp vectơ (P)) ( 2, ⎛ −2 1 −2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ Do đó, pháp véctơ ( Q) n1 = ; ; ⎟= ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎠ ⎝ = (– 11, 2, 15) 10 DeThiMau.vn ,1 ) (vectơ phương (D) Vậy phương trình (Q) viết –11x + ( y + ) + 15z = ⇔ 11x – 2y - 15 z – = Cách khác: Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) vuông góc (P) có dạng: x-2z = (loại) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= Vậy pt (Q) có dạng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – = (Q) vuông góc với (P) nên ta có: m + + + 1- m= ⇒ m = Vậy pt mp (Q) là: 11x – 2y - 15 z – = Ví dụ 2: Xác định tham số m n để mặt phaúng 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình : α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = Giải Chùm mặt phẳng có phương trình α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = chứa đường thẳng (D) có phương trình : ⎧3x − y + z − = ⎨ ⎩ x − y − 2z + = Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng (P) chứa (D) nghóa ⎛ 18 ⎞ ⎛ 31 ⎞ chứa điểm A ⎜ , 0, ⎟ , B ⎜ , , ⎟ ∈ (D) Điều kiện để (P) chứa A, B m, n thỏa hệ phương ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪⎪ + + m = ⎨ ⎪5 31 + n + m = ⎪⎩ 10 10 ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5 Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: ⎧x − y + z − = Δ1 : ⎨ vaø Δ2 : ⎩x + y − z + = ⎧x = + t ⎪ ⎨y = + t ⎪z = + t ⎩ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 song song với đường thẳng Δ2 11 DeThiMau.vn b) Cho điểm M (2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ BÀI GIẢI: a) (P) chứa Δ1 // Δ2 a Δ1 = (2, 3, 4); a Δ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0) [ ] Mặt phẳng (P) có pvt aΔ1 , aΔ =(2, 0, −1) (P) : 2x – z = b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Gọi (Q) mặt phẳng qua M vuông góc với Δ2 Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2 Do MH a Δ = ⇒ t = Vậy điểm H (2, 3, 3) Ví dụ 4: ( ĐH KHỐI B-2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M,N,P trung điểm cạnh BB1, CD,A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N BÀI GIẢI: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho ta có : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) Suy M (a, 0, a ); N ( a , a, 0); P (0, a , a) a) A B = (a, 0, −a) B1 D = (−a, a, −a) Goïi (P) laø mp qua B1D vaø (P) // A1B ⇒ (P) có pháp vectơ n = (1, 2, 1) ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = a a a (− a b) MP = (−a, , ) C1 N = , 0, −a) Ta coù : MP C1 N = ⇒ MP ⊥ C1N Vậy góc MP C1N 900 Ví dụ5 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + = đường thẳng dm : ⎧(2 m + 1)x + (1 − m )y + m − = ⎨ ⎩mx + (2 m + 1)z + m + = (m tham số) Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) BÀI GIẢI: vectơ phương (dm) laø : 2 a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m)) pvt (P) n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a n = ⇔ −4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) = ⇔ 6m + = ⇔ m = − 12 DeThiMau.vn Ví dụ ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0) Goïi M trung điểm CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b a để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b Xác định tỷ số b BÀI GIẢI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0) A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a, b ) b a) BD = (−a,a,0) ; BA ' = (−a,0, b) ; BM = (0,a, ) ⇒ ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a2 ) 2 3a b a b 1 ab ⇒ V= ⎡⎣BD,BA'⎤⎦ BM = (a2 b + ) = = (đvtt) 6 12 b) (A’BD) có vectơ pháp tuyến ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a2 ) hay n = (b, b,a) (MBD) có vectơ pháp tuyến ⎡ BD,BM ⎤ = ( ab , ab , −a2 ) hay m = (b, b, −2a) ⎣ ⎦ 2 Ta coù : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ m n = ⇔ b2 + b2 – 2a2 = ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔ a =1 b Ví dụ ( ĐH KHỐI B-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) điểm C cho AC = (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA BÀI GIẢI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8) ⎧x C = ⎪ AC = (0; 6; 0) ⇔ ⎨y C = ⇔ C (2; 6; 0) I trung điểm BC ⇒ I (1; 3; 4) ⎪z = ⎩ C ⎧x = t ⎪ Pt tham soá OA : ⎨y = ⎪z = ⎩ (α) qua I ⊥ OA = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = ⇔ x – = Tọa độ {H} = OA ∩ (α) thoûa : ⎧x = ⎧ x = t,y = 0,z = ⎪ ⇔ ⎨y = Vaäy H (1; 0; 0) ⎨ x − = ⎩ ⎪z = ⎩ d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧ x + 3ky − z + = thaúng d k : ⎨ ⎩kx − y + z + = Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phaúng (P): x – y – 2z + =0 BÀI GIẢI: n1 = (1, 3k, −1); n = (k, −1, 1) 13 DeThiMau.vn ad = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) nP = (1, −1, −2) dk ⊥ (P) ⇔ ad phương nP ⎧k = 3k − − k − −1 − 3k ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ = = ⇔k=1 −1 −2 ⎪⎩ k = ∨ k = − Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN BÀI GIẢI: Cách 1: S M C N H D a) O B A GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = Ta có OM // SA ⇒ Góc (SA, MB) OMB OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM ⇒ tgOMB = ΔOBM coù tg OMB = OB OM ⇒ OMB =300 Veõ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB) ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = b) (ABM) ∩ SD = N ⇒ N laø trung điểm SD VSBMN SM SN 1 = ⇒ VSMNB = VSBCD = VSABCD = VSBCD SC SD Tương tự: VSABN = VSABCD Vaäy: VSABMN = VSMNB + VSABN = VSABCD 1 = AC.BD.SO = 4.2.2 = (ñvtt) 16 Ta có: Cách 2: a) O trung điểm BD ⇒ D (0; −1; 0) O trung điểm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M trung điểm SC ⇒ M (−1;0; 2) 14 DeThiMau.vn SA =(2; 0;- 2 ); BM = (−1; −1; 2) Gọi ϕ góc nhọn tạo SA BM cosϕ = −2 + − 4 + 1+1+ = ⇒ ϕ = 300 Gọi (α) mp chứa SA vaø // BM ⇒ PT (α) : 2x + z − 2 = 2x + 2y + 3z − 2 = Ta coù d(SA, BM) = d(B, α) = b) Pt mp(ABM): ⎧x = ⎪ Pt tham soá SD: ⎨y = −1 + t (t ∈ R) ⎪ ⎩z = 2t N giao điểm SD vaø mp (ABM) ⇒ N (0; − ; 2) BS = (0; −1;2 2) ; BA = (2; −1;0) BN = (0; − ; 2) ; BM = (−1; −1; 2) ⎡ BS,BN ⎤ = (2 2;0;0) ; ⎡ BS,BN ⎤ BA = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ BS.BN ⎤ BM = −2 ⎣ ⎦ 1 VSABMN= VSABN + VSBNM = + 2 = (đvtt) 6 Ví dụ 10 ( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 Bieát A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) a > 0, b > a) Tính khoảng cách đường thẳng B1C AC1 theo a, b b) Cho a, b thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách đường thẳng B1C AC1 lớn BÀI GIẢI: a) C1 (0; 1; b) Gọi (α) mặt phẳng chứa B1C song song với AC1 B1C = (a;1; − b) ; C1A = (a; −1; − b) Suy ra: ⎡⎣ B1C,C1A ⎤⎦ = (−2b;0; −2a) Suy ptrình (α): b(x − 0) + 0(y − 1) + a(z − 0) = ⇔ bx + az = Ta coù: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)= ab a +b ab = a + b2 b) Cách 1: Ta có: d= ab a +b ≤ ab 2ab = ab ≤ a+b 2 = 2 = ⎧a = b ⎪ Max d ⇔ d = ⇔ ⎨a + b = ⇔ a = b = ⎪a > 0, b > ⎩ 15 DeThiMau.vn Caùch 2: d = ab 16 − 2ab ⎛a+b⎞ , đặt x = ab, đk < x ≤ x = ab ≤ ⎜ ⎟ =4 ⎝ ⎠ Xeùt f(x) = x 16 − 2x f’(x) = 16 − x (16 − 2x)3 > ∀x ∈ (0; 4] ⇒ d đạt max x = ab = ⇒ a = b = (vì a + b = 4) Ví dụ 11 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ⎧ x = −3 + 2t ⎪ A (-4; -2; 4) đường thẳng d : ⎨ y = − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ Vieát phương trình đường thẳng Δ qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d BÀI GIẢI: Cách 1: A (−4; −2; 4) ⎧ x = −3 + 2t ⎪ (d) : ⎨y = − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ Laáy M (−3+2t; – t; −1 + 4t) ∈ (d) ⇒ AM = (1 + 2t; – t; −5 + 4t) Ta có: AM ⊥ (d) ⇔ AM ad = (với ad =(2; −1; 4)) ⇔ + 4t – + t – 20 + 16t = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = Vậy đường thẳng cần tìm đt AM qua A có VTCP AM =(3;2;−1) ⇒ phương trình (Δ) : x+4 y + z − = = −1 Caùch 2: Gọi (α) mp qua A chứa d ,Gọi (β) laø mp qua A vaø ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1); ad = (2; −1; 4) (α) qua A (−4; −2; 4) (α) có cặp VTCP : ⎧⎪ ad = (2; −1;4) ⇒ n (α ) = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1) ⎨ ⎪⎩AB = (1;3; −5) Pt mp (α) : x – 2y – z + = ⎧⎪(β ) qua A (-4; -2; 4) ⎨ ⎪⎩(β ) ⊥ (d) → n ( β ) = ad = (2; −1;4) ⎧ x − 2y − z + = ⎩2x − y + 4z − 10 = Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = Pt (Δ) : ⎨ Ví dụ 12 ( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thaúng: d: x −1 y + z − = = mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + = −1 a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng Δ nằm mặt phẳng (P), biết Δ qua A vuông góc với d ⎧x = − t ⎪ BÀI GIẢI: a) Phương trình tham số d : ⎨y = −3 + 2t (t∈ R) ⎪z = + t ⎩ 16 DeThiMau.vn I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t) Ta coù : d (I, (P)) = ⇔ | − 2t − + 2t − − 2t + | =2 +1+ ⎡ t = −2 Suy : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; ; 7) ⎣t = ⇔ | − t |= ⇔ ⎢ b) Thế phương trình d vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình d, ta x = 0; y = -1; z = Suy A (0; -1 ; 4) Vectô phương d : a = (−1;2;1) Vectơ pháp tuyến (P): n = (2;1; −2) Suy vectơ phương Δ : [a, n] = (−5; 0; − 5) hay (1; 0; 1) Mặt khác Δ qua A nên phương trình tham số Δ : ⎧x = t ' ⎪ (t’∈ R) ⎨y = −1 ⎪z = + t ' ⎩ Ví dụ 13 ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a) Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài MN BÀI GIẢI: a) Hình chiếu A1 xuống mp (Oxy) A ⇒ A1(0; -3; 4) Hình chiếu C1 xuống mp (Oxy) C ⇒ C1(0; 3; 4) Cặp véc tơ phương (BCC1B1) : BC = (−4;3;0) BB1 = (0;0;4) Suy véc tơ pháp tuyến (BCC1B1) : n = ⎡⎣ BC, BB1 ⎤⎦ = (12; 16; 0) hay m = (3; 4; 0) Mặt khác (BCC1B1) qua B nên có phương trình: 3(x – 4) + 4y + 0z = ⇔ 3x + 4y – 12 = Bán kính mặt cầu : − 12 − 12 24 R = d (A, (BCC1B1)) = = + 16 Suy phương trình mặt cầu : x2 + (y + 3)2 + z2 = 576 25 b) M trung điểm A1B1 ⇒ M (2; − ; 4) Mp (P) có cặp véc tơ phương AM = (2; ;4) BC1 = (−4;3;4) ⇒ véc tơ pháp tuyến cuûa mp (P): n P = ⎡⎣ AM; BC1 ⎤⎦ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) Maët khác (P) qua A nên có phương trình : x + 4(y + 3) – 2z = ⇔ x + 4y – 2z + 12 = A1C1 qua A1 có véc tơ phương A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) ⎧x = ⎪ nên có phương trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R) ⎪z = ⎩ 17 DeThiMau.vn Thế phương trình A1C1 vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình (A1C1) ta x = 0, y = −1, z = ⇒ N (0; −1; 4) 17 vaø MN = (0 − 2)2 + (−1 + )2 + (4 − 4) = 2 Ví dụ 14 ( ĐH KHỐI D-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : ⎧x + y − z − = x −1 y + z +1 = = vaø d2: ⎨ d1 : −1 ⎩x + 3y − 12 = a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) BÀI GIẢI: a) d1 qua N (1; −2; −1) có vectơ phương a =(3; −1; 2) d2 qua B (12; 0; 10) có vectơ phương b =(3; −1; 2) Ta có : a = b NB = (11, 2, 11) không phương với a Vậy d1 // d2 Mp (P) qua N có pháp vectơ : n =[ a , NB ] = (−15; −11; 17) Phương trình (P) là: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ ⎡⎣ OA,OB⎤⎦ = (0, −10, 0) ⇒ Diện tích (ΔOAB) = ⎡⎣OA,OB⎤⎦ = (đvdt) *** 18 DeThiMau.vn ... thẳng d Phương pháp : - Tìm hình chiếu H A d - H trung điểm AA’ Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α Phương pháp : - Tìm hình chiếu H A α - H trung điểm AA’ Bài toán : Tìm phương. .. giao tuyến α β Vấn đề HÌNH CHIẾU Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A đường thẳng (d) Phương pháp : A (d) H - Cách : (d) cho phương trình tham số : + H ∈ (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc... giác OAB (O gốc tọa độ) BÀI GIẢI: a) d1 qua N (1; −2; −1) có vectơ phương laø a =(3; −1; 2) d2 qua B (12; 0; 10) có vectơ phương b =(3; −1; 2) Ta có : a = b NB = (11, 2, 11) không phương với a