Khám phá Maple 11 Cao Long THPT Nam ông GI I H N C A HÀM S NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I Gi i h n c a hàm s Trong Maple, có hai l nh đ tính hi n th kí hi u gi i h n Dùng l nh > Limit (hàm s , x = x0 , left/right (trái/ph i)); đ hi n th bi u th c gi i h n (bên trái/ ph i) c a hàm s t i x=x0 {Ch L t khóa Limit ch in hoa) Dùng l nh > limit(hàm s , x = x0 , left/right (trái/ph i)); đ hi n th (tính) giá tr c a gi i h n (bên trái/ ph i) c a hàm s t i x=x0 {Ch L t khóa limit ch th ng) x -1 -1 x ®2 + - x hi n th k t qu nh p vào Maple dịng l nh nh sau: Ví d 1: Tính gi i h n lim > limit((1-sqrt(x-1))/(1+surd((1-x),3)),x=2); (Trong Maple, c n b c n c a s a đ c khai báo b i t khóa > surd(a,n); ) N u đ a vào gi ng d y, c n cho hi n th bi u th c gi i h n u tiên nh p vào Maple l nh sau: > Limit((1-sqrt(x-1))/(1+surd((1-x),3)),x=2); 1- x- lim x ® + surd ( - x, ) hi n th k t qu c a gi i h n ch c n dùng hàm >value(%); dòng l nh li n k sau đó: > value(%); L u ý: N u ch tính gi i h n c a hàm s t i m t m ta khơng c n khai báo thêm thơng s left ho c right Ví d 2: Tìm gi i h n bên trái gi i h n bên trái gi i h n bên ph i c a hàm s x -1 y= t ix=1 x +3 -2 d quan sát, đ u tiên nh p bi u th c c a hàm s vào Maple: > y:=abs(x-1)/(sqrt((x^2+3))-2); y := x- x2 + - hi n th bi u th c gi i h n bên trái c a hàm s t i x = ta dùng l nh nh sau: > Limit(y,x=1,left); lim x ® 1- x- x +3 -2 DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 Cao Long THPT Nam ông Giá tr c a gi i h n bên trái : > value(%); -2 hi n th bi u th c gi i h n bên ph i c a hàm s t i x = ta dùng l nh nh sau: > Limit(y,x=1,right); x- lim x2 + - x ® 1+ Giá tr c a gi i h n bên ph i : > value(%); T hai k t qu k t lu n hàm s cho khơng có gi i h n t i x=1 ð N u nh p vào dịng l nh đ tìm gi i h n hàm s t i x=1 Maple s thông báo hay cho k t qu nh sau: > Limit(y,x=1); x- lim x2 + - x® > value(%); undefined K t qu Maple thơng báo “undefined” cho bi t hàm s cho khơng có gi i h n t i x=1 ) ( Ví d 3: Tính gi i h n lim x - x + x + x đƠ d dng thao tỏc trờn nhi u dũng l nh, đ u tiên nh p bi u th c c a hàm s vào Maple: > y:=x-sqrt(x^2+x+1); y := x - x2 + x + Bi u th c gi i h n c a hm s x đ -Ơ : > Limit(y,x=-infinity); lim x đ ( -Ơ ) x - x2 + x + Giá tr c a gi i h n trên: > value(%); -¥ Bi u th c gi i h n c a hm s x đ +Ơ giá tr c a gi i h n: > Limit(y,x=+infinity); lim x - x2 + x + x® ¥ > value(%); -1 2 DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 F Cao Long THPT Nam ông ý: Khi x ® +¥ Maple v n cho hi n th l x đ Ơ , khỏc v i x ® -¥ x ®0 x Dùng Maple đ tính gi i h n ta đ Ví d 4: Tìm gi i h n: lim c k t qu : > limit(1/x,x=0); undefined 1 lim k t qu s th ? x ®0+ x x ®0- x Chúng ta dùng hai th t c sau (tính gi i h n ph i/trái c a hàm s “ham” t i x=x0) đ d quan sát hi n th g n gàng h n: Nh ng n u tính gi i h n lim > ghtrai:=proc(ham,x0) print(Limit(ham,x=x0,left)=limit(ham,x=x0,left))end proc: > ghphai:=proc(ham,x0) print(Limit(ham,x=x0,right)=limit(ham,x=x0,right))end proc: Dùng th t c >ghtrai(ham,x0) ; ta tính gi i h n trái c a hàm s t i x=0: > ghtrai(1/x,0); lim x đ 0- = -Ơ x Dựng th t c >ghphai(ham,x0) ; ta tính gi i h n ph i c a hàm s t i x=0: > ghphai(1/x,0); lim x đ 0+ =Ơ x khơng x ®0 x Nh v y th y, Maple giúp cho phân bi t rõ h n r ng: lim 1 = +¥ lim = -¥ i u hồn tồn phù h p v i yêu c u + x x x ®0 x ®0 đ i m i n i dung c a ch ng trình SGK ph thông hi n Chú ý: Trên t p s th c lim khơng xác đ nh, nh ng t p s ph c Maple s x ®0 x thơng báo v i k t qu khác: xác đ nh, nh ng lim > Limit(1/x,x=0,complex)=limit(1/x,x=0,complex); lim =Ơ-ƠI x đ 0,complex x K t qu Maple hi n th ¥ - ¥ I (bi u di n d i d ng s ph c) M t u c n l u ý n u hai l nh không khai báo thơng s “ complex” Maple s m c đ nh tính gi i h n t p s th c Ví d 5: Gi i h n c a hàm s cho b i nhi u công th c Cho hàm s ìï x2 - x + víi x £ 2, f ( x) = í víi x > ïỵ x - 3 DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 Cao Long THPT Nam ông Tìm lim f ( x) , lim f ( x) lim f ( x) (n u cú) xđ + x® - x® {Bài t p 33/tr159_SGK S11 NC) u tiên nh p công th c c a hàm s vào Maple: > f:=piecewise(x2,4*x-3); x2 - x + x£ f := { x- 2 limit(f,x=2,right); ·Gi i h n bên trái c a hàm s t i x=2: > limit(f,x=2,left); ·Gi i h n c a hàm s t i x=2: > limit(f,x=2); undefined Hàm s khơng có gi i h n t i x=2 i u d dàng nh n th y lim f ( x) = ¹ = lim f ( x) x® + x® - Qua nh n th y Maple có th tính đ c gi i h n c a nh ng hàm s cho b i nhi u công th c Maple c ng cho phép th c hi n đ c phép toán gi i h n (khi s d ng gói l nh with(student)) Ví d 6: Hãy kh o sát dòng l nh sau: > with(student): > L:=Limit(x^3-2*x^2+5/x,x=3/2); > L:=expand(L); > value(%); Nh v y, Maple có th phân tích gi i h n c a m t t ng thành t ng c a gi i h n thành ph n Và u ng c l i Maple c ng th c hi n đ c Chúng ta xem dòng l nh sau: > L1:=Limit((x+1)/(x^2-1),x=0)+Limit((sqrt(x+1)-1)/(x^23*x+2),x=0); DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 Cao Long THPT Nam ông > L1:=combine(L1); > value(%); k t h p t ng gi i h n dùng hàm combine Ngồi cịn có th dùng gói l nh “with(Student:-Calculus1):” đ th c hi n phép tốn tính gi i h n m t hàm s · Quy t c đ a h ng s kh i d u gi i h n phép nhân Cú pháp: > Rule[`c*`](Limit(k*f(x),x=a)); Ví d : > restart; > with(Student:-Calculus1): > Rule[`c*`](Limit(sqrt(2)*sin(7*x), x=Pi/2)); > value(%); · Quy t c đ i bi n Cú pháp: > Rule[change, u=g(x)](Limit(k*f(x),x=a)); 1 Ví d : Khi tính gi i h n lim x.sin đ i bi n u = xđ+Ơ x x Maple s bi n đ i nh sau: > Rule[change, u=1/x](Limit(x*sin(1/x), x=+infinity)); II Nguyên hàm tích phân xác đ nh Nguyên hàm c a hàm s : Cú pháp: ò f ( x) dx > Int( f(x),x ); > int( f(x), x); ( ( hi n bi u th c nguyên hàm) cho k t qu ) Ví d : 1ư ỉ hi n th bi u th c ũ ỗ x2 - x + ữdx chỳng ta dùng l nh th nh t: xø è > Int(x^2-2*x+1/x,x); hi n th k t qu dùng l nh th hai (ch i đ u t khoá int ch th ng): > int(x^2-2*x+1/x,x); DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 Cao Long THPT Nam ông N u mu n hi n th c hai, có th k t h p hai l nh nh sau: > restart; > Int(x^2-2*x+1/x,x)=int(x^2-2*x+1/x,x)+C; c ng thêm h ng s C đ k t qu tr c quan xác h n ! · M t u c n l u ý r ng: f ( x) có th m t hàm s , c ng có th m t bi u th c ch a bi n Ch ng h n, nh p vào Maple: > f:=sqrt(x)-3*x^2+ln(x); Thì Maple hi u m t bi u th c, có th tìm ngun hàm c a bi u th c f nh sau: > Int(f,x)=int(f,x)+C; Nh ng n u nh p d i d ng hàm s : > f:=x->sqrt(x)-3*x^2+ln(x); > Int(f,x)=int(f,x)+C; Nh v y, f hàm s , n u câu l nh ch dùng tên hàm s “f” Maple khơng cho k t qu c th , đôi lúc sai ! Chúng ta ph i nh p “f(x)” thay cho “f”, Maple m i hi u : > Int(f(x),x)=int(f(x),x)+C; ó u c n l u ý s d ng Maple ! Tích phân xác đ nh c a hàm s f đo n [a; b] : b ò f ( x) dx a > Int( f(x),x=a b ); ( hi n bi u th c tích phân) > int( f(x), x=a b); ( cho k t qu ) Trong f(x) m t bi u th c ho c m t hàm s bi n s x Ví d : (SGK S> 12) Cú pháp: > Int(1/(x*(x+1)),x=1/2 2)=int(1/(x*(x+1)),x=1/2 2); DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 Cao Long THPT Nam ơng Có th dùng th t c sau cho g n mu n hi n th c hai l nh trên: > tp:=proc(f,a,b) print(Int(f,x=a b)=int(f,x=a b)) end proc: s d ng th t c ch c n nh p >tp(f,a,b); s cho k t qu tích phân c a bi u th c f đo n [a; b] Ví d : Sau thi t l p th t c tính tích phân ln 2 x+1 ị e e x +1 dx nh sau: > f:=(e^(2*x+1)+1)/e^x; > tp(f,0,ln(2)); M t u c n l u ý, n u f hàm s l nh tính giá tr c a tích phân c a hàm f đo n [a; b] có th ng n g n h n > int(f, a b); _không khai báo bi n x, ch khai báo “f” thay “f(x)” Ví d : > f:= x -> x^2*(1-x)^5 Warning, inserted missing semicolon at end of statement Chúng ta nh p f d ng hàm s > Int(f(x),x=0 1)=int(f,0 1); Nh ng mu n hi n th bi u th c tích phân (khi f hàm s ) ph i khai báo đ y đ >Int(f(x), x=a b); Chúng ta xem câu l nh ! Còn n u nh p l nh không đúng, Maple s cho k t qu : > Int(f,0 1); § Gói l nh “with(IntegrationTools)” v i tích phân Tính tích phân b ng ph ng pháp đ i bi n s Cú pháp > Change(V, x=g(u)); Trong V bi u th c tích phân c a m t hàm sô xác đ nh tr c DeThiMau.vn Khám phá Maple 11 Ví d : Tính ị Cao Long THPT Nam ơng - x2 dx (H ng d n: đ t x = sin u ) {Bài t p, SGK S-GT 12} Chúng ta s d ng Maple đ th c hi n b c tính tích phân trên, nh sau: u tiên, nh p bi u th c tích phân cho: > with(IntegrationTools): > V:=Int(sqrt(1-x^2),x=0 1); i bi n theo h ng d n, đ c k t qu : > V:=Change(V,x=sin(u)); Ti p theo có th dùng l nh “subs” đ khai tri n bi u th c d i d u tích phân: > V:=subs(cos(u)^2=(1+cos(2*u))/2,V1); n đây, vi c tính tích phân khơng cịn ph c t p n a hi n th k t qu dùng l nh: > V:=value(V); DeThiMau.vn ... u=1/x](Limit(x*sin(1/x), x=+infinity)); II Nguyên hàm tích phân xác đ nh Nguyên hàm c a hàm s : Cú pháp: ò f ( x) dx > Int( f(x),x ); > int( f(x), x); ( ( hi n bi u th c nguyên hàm) cho k t qu ) Ví d : 1ư... công th c c a hàm s vào Maple: > f:=piecewise(x2,4*x-3); x2 - x + x£ f := { x- 2 limit(f,x=2,right); ·Gi i h n bên trái c a hàm s t i x=2:... Maple ! Tích phân xác đ nh c a hàm s f đo n [a; b] : b ò f ( x) dx a > Int( f(x),x=a b ); ( hi n bi u th c tích phân) > int( f(x), x=a b); ( cho k t qu ) Trong f(x) m t bi u th c ho c m t hàm s