Giải tích 11 Giới hạn của dãy số và hàm số32232

Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim u  hay u n  n  + n  n  b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực ( n   ), lim un  a   Kí hiệu: lim un   a hay u n  a n  + n n  Chú ý: lim un   lim un  n Một vài giới hạn đặc biệt 1 a) lim  , lim k  , n  ฀ * n n n b) lim q  với q    c) Lim(un)=c (c số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) (wn) có :  un  wn n  ฀ * lim vn   lim wn   a  lim un   a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim un    lim un   lim vn   a  b lim un   lim un lim  a.b lim un lim un  a   ,  n  ฀ *; b  lim vn  b   lim un  lim un   a , un  ,a   Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có công bội q ,với q  lim Sn  lim u1 1 q Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vơ cực un    n dần tới vơ cực n    un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim(un)=  hay un   n   b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn  n   lim un    Ký hiệu: lim(un)=  hay un   n   c) Định lý: _ ThuVienDeThi.com Trang Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số   o Nếu : lim un   un  ,n  ฀ * lim 0 un B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN  un o Nếu : lim un    lim P n  với P,Q đa thức: Q n  Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P a0, hệ số cao Q b0 chia a tử số mẫu số cho nk để đến kết : lim un   b0 Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  f n  Giới hạn dãy số dạng: un  , f g biển thức chứa g n  Chia tử mẫu cho nk với k chọn thích hợp Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp CÁC VÍ DỤ 3n2  2n  5 3  2 3n  2n  n n n 3 lim  lim lim 2 7n  n  7n  n    n n2 n2 Giới hạn dãy số (un) với un  o o o o o C 1 n2   4n 1  n   4n 1 n n lim  lim  lim   3n  2 3n  3 3 n n lim  n  2n   n  n  2n   n   n  2n   n  lim n  2n   n  lim 2 2 n2  2n   n n2  2n   n 2n  2n  n  lim  lim  lim  1 11   3 n2  2n   n 1  1 n     1 n n n n   2 n2  2n   n biểu thức liên hợp n2  2n   n _ ThuVienDeThi.com Trang Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số  1  1  1                2  8  2 n1    Tổng cấp số nhân lùi vô  1 1    2 số hạng đầu u1=1 n3  2n  1  3 n  2n  n n   lim  lim n  lim 1 2n  n  2n  n    n n n3 n3 n   n  n    n  n  n2    lim n   n  lim n    n  n  n2 hạn có cơng bội q        n  2  n 3  lim n   3  n  n  n2  lim n    n  n  n D BÀI TẬP Tìm giới hạn: 7n  n a) lim 5n  2n  b) lim n2 3n2  c) lim n 4 6n3  3n  d) lim 7n  n Tìm giới hạn sau:      n a) lim n2  3 Tìm giới hạn sau: 3n2   n2  a) lim n 3 n2n  lim n    n  n  n2 0 n2  2n  e) lim 7n  n  n2  f) lim 4n2  8n3  g) lim 2n  h) lim  n  2n   n  i) lim  n 1  n b) lim 5sin n   7cos n  2n  b) lim  n  2n  n  3 _ ThuVienDeThi.com Trang Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số c) lim  n 1  n2   h) lim  a  a  a  a   a d) lim  b  b2  b3  b   b n 2n3 e) lim n  3n2  n n  1 f) lim n 1 2n2  1  n g) lim  n2  n  3n  n2   n6  n   n2  a  1, b  2n n  n  i) lim n  1n      1  1  j) lim                n   1     k) lim   n2  n2  n   n 1  Tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau: 2n3  11n  a) lim n2  b) lim n2   n2  c) lim  n n3  n2  n      GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn  K xn  a , n  ฀ * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f x   L x a Một số định lý giới hạn hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn b) Định lý 2:Nếu giới hạn: lim  f x   L , lim  g x   M thì: x a x a lim  f x   g x   lim  f x   lim  g x   L  M x a x a x a lim  f x .g x   lim  f x  lim  g x   L.M x a lim x a x a x a  f x  L f x  lim ,M0  x a  g x  lim  g x  M x a lim f x   lim  f x   L ; f x   0, L  x a x a _ Trang ThuVienDeThi.com Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số c) Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)  f(x)  h(x) x  K , x  a lim  g x   lim  h x   L  lim  f x   L x a x a x a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]=  ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: lim  f x    x a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) =  có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim  f x   L x  c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n  ฀ * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim  f x  Nếu đòi hỏi với x a * dãy số (xn), xn < a n  ฀ ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim  f x  x a B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: f x    Giới hạn hàm số dạng: lim 0 x  a g x    o Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2 o Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp f x     Giới hạn hàm số dạng: lim  x  g x    o Chia tử mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x   coi x>0, x   coi x1     x tìm giới hạn Giải Ta có : lim  f x   lim x  x   x 1 x 1 x 1   _ Trang ThuVienDeThi.com Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số xa  a 1 x 1 x 1 x Vậy lim  f x    a    a  lim  f x   lim x 1   x   x  x  x3  0 11 lim  lim  lim x  x   12 Dạng   x 2 x  x 2 x 2 x2 0 x3  2x  1  3 x  2x  x x x  Dạng    12 lim  lim  lim  3 x  x  x  2x  2x    2 3 x x 3x  x  3x  x    2 x2 13 lim   lim x  x   lim  3 x  x  x  x x  x x   x x   x2 1   2    x x   lim   6 x  1 1 x  14 lim x  x x  x   x  lim x3  lim x2  x   x x   lim     D BÀI TẬP Tìm giới hạn sau: a) lim x  x  10  lim 5 x x 0 b) x 3  7x x2  x 1 x  c) lim   x     x      x3  x  x  x 3  x x2  x   x   lim x x   x   x2 x2  x   x x3 1 x x  lim  Dạng x  x   x x     x x2 x x  x  15 d) lim x 3 x 3 2 x  3x  e) lim x 1 x2  x3  x2  x  f) lim x 1 x 1 _ Trang ThuVienDeThi.com Giải tích 11-BCB:Giới hạn dãy số hàm số x  a4 g) lim x a x  a Tìm giới hạn : a) b) c) d) x  3x  h) lim x 7 x2 x   x2  x  lim x 0 x x x2 lim x 2 4x   1 x 1 lim x 0 3x x 1 lim x 1 x2   e) lim x  3x  x   x 2 x  3x  f) lim x 1 x  x  x  x2  4x  g) lim x 3 x 3 x  5x  x h) lim x 1 1  x  i) lim x 2 Tìm giới hạn sau: 3x  5x  a) lim x  x2  2 x  1 7 x    b) lim x  2 x  1 x  11  x  x  3x  2 x  15x  3 lim 2 x  1x  1 c) x  d) lim x  x  4x  x  sin 2 x   cos x  x  x2  x  Tìm giới hạn bên phải, bên trái hàm số f(x) x=x0 xét xem lim  f x  có e) lim x  x0 tồn không trường hợp sau:  2x  x>1  a) f x    x x0 = 5 x  x  1   x2  x   b) f x    x  x2  x     x2  c) f x    x  1  x  x>1 x  1 x