GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ƠN THI THẠC SĨ TỐN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ PGS TS Lê Hồn Hóa Ngày 11 tháng 10 năm 2004 Giới hạn dãy số 1.1 Định nghĩa Cho (xn )n dãy số thực Ta nói : • Dãy (xn )n hội tụ x (x hữu hạn) n → ∞, ký hiệu lim xn = x hay lim xn = x n→∞ với ǫ > 0, tồn số tự nhiên n0 ∈ N cho với n ≥ n0 |xn − x| < ǫ lim xn = x ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn − x| < ǫ ⇐⇒ lim |xn − x| = • Dãy (xn )n tiến +∞ (theo tứ tự −∞) với A ∈ R, tồn n0 ∈ N cho với n ≥ n0 xn > A (theo thứ tự xn < A) • Dãy (xn )n phân kỳ khơng có lim xn lim xn = +∞ lim xn = −∞ Như với dãy (xn )n có hai trường hợp : (xn )n hội tụ (xn )n phân kỳ 1.2 Định lý Nếu(xn )n dãy tăng, bị chặn a = sup{xn } lim xn = a Nếu (xn )n dãy giảm, bị chặn b = inf{xn } lim xn = b Giới hạn kẹp : Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 lim an = lim bn = a Khi lim xn = a Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | < ǫ 1.3 Các giới hạn lim = 0, ∀α > nα lim q n = 0, ∀q, |q| < √ lim n a = 1, ∀a > DeThiMau.vn lim √ n lim np = 0, ∀a > 0, ∀p (1 + a)n np = 1, ∀p ≥ np = 0, ∀p en lim(1 + )n = e n lim(1 − )n = e−1 n lim lnp n = 0, ∀α > 0, ∀p nα n =e 10 lim √ n n! lim 1.4 Ví dụ 1.4.1 Ví dụ a n a ) , yn = (1 + )n+1 , n ∈ N n n Chứng minh : (xn )n dãy tăng, (yn )n dãy giảm Với a > 0, cho xn = (1 + Chứng minh :(xn )n ,(yn )n hội tụ lim xn = lim yn Đặt lim xn = lim yn = ea Giải : Trước tiên ta chứng minh : Với α ≥ −1, (1 + α)n ≥ + nα, ∀n ∈ N Bất đẳng thức với n = Giả sử đến n Khi đó, + α ≥ : (1 + α)n+1 = (1 + α)n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) = + (n + 1)α + α2 ≥ + (n + 1)α Ta có, với n ∈ N : xn+1 = xn a n+1 a + ) a a n+1 n + )n = (1 + a )(1 − )( )n = (1 + a n a n + n + (n + 1)(n + a) (1 + ) 1+ n n a na a2 ≥ (1 + )[1 − ]=1+ >1 n+1 (n + 1)(n + a) (n + 1)2 (n + a) (1 + Vậy (xn )n dãy tăng Tương tự : a n+1 ) a a −1 yn n = ) [1 + ]n+1 = (1 + a n+2 yn+1 n+1 n(n + + a) (1 + ) n+1 a (n + 1)a (n + 1)a )(1 + )≥1+ >1 ≥ (1 − n+1+a n(n + + a) n(n + + a)2 (1 + Vậy (yn )n dãy giảm DeThiMau.vn Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ yn ≤ ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n dãy tăng, bị chặn ; (yn )n dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ Đặt a lim xn = lim yn = lim(1 + )n = ea n 1.4.2 Ví dụ Cho (xn )n định : x1 = chặn Tính lim xn √ 2, xn+1 = √ + xn , ∀n ∈ N Chứng minh (xn )n dãy tăng, bị Giải : Ta có : xn ≥ 0, ∀n xn+1 − xn = √ + xn − xn 2 + xn − xn = √ + xn + xn Tam thức bậc hai + xn − x√n ≥ ⇐⇒ −2 ≤ xn ≤ 2, ∀n √ Bằng quy nạp, ta có : x1 = < Giả sử xn ≤ Khi : xn+1 = + xn ≤ Vậy (xn )n dãy tăng, bị chặn nên (xn )n hội tụ Đặt x = lim xn √ √ Từ đẳng thức xn+1 = + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞, ta có : x = + x hay x2 − x − = Vậy x = 1.4.3 lim Ví dụ 3n+1 [1 + (2/3 )n+1 ] 3n+1 + 2n = lim =3 3n + 2n 3n [1 + (2/3 )n ] 1.4.4 Ví dụ √ Tính lim n an + bn + cn , a, b, c > Giả sử a = max{a, b, c} Ta có : Vậy lim √ n a≤ √ n an + b n + c n = a n √ c b n + ( )n + ( )n ≤ a a a an + bn + cn = max{a, b, c} 1.4.5 Ví dụ √ Tính lim n n2 2n + 3n n2 n2 Do lim = nên có n0 ∈ N cho < 1, ∀n ≥ n0 (3/2 )n (3/2 )n Với n ≥ n0 , ta có : 3≤ √ n Do định lý giới hạn kẹp lim n2 2n + 3n = n + √ n n2 2n + 3n = 3 DeThiMau.vn √ n2 n ≤ n (3/2 ) 1.4.6 Ví dụ √ Tính lim sin(π n2 + 1) √ √ ≤ | sin(π n2 + 1)| = | sin π( n2 + − n)| = | sin( √ π π )| ≤ √ n2 + + n n2 + + n √ Vậy lim sin(π n2 + 1) = BÀI TẬP Tính giới hạn sau √ √ lim( n2 + − n2 + 3) lim n sin n n2 + lim an − b n , ∀a, b > an + b n lim nq n , |q| < lim 2n 2n 2.2 2.2 ( HD: = ≤ ) n! n! 1.2 (n − 1).n n lim n2 n! Chứng minh : 12 + 22 + + n2 = 12 + 22 + + n2 n3 √ Tính lim n( n e − 1) n(n + 1)(2n + 1) Tính HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : (1 + n n ) < e < (1 − ) , ∀n n n−1 √ √ Cho (xn )n định : x1 = a, xn+1 = a + xn , ∀n(a > 0) Xét tính đơn điệu (xn )n tính lim xn (nếu có) n 10 Tính lim √n √ ln n n )] HD : √n = exp[− n ln 2(1 − √ n ln 2 √ lnn Do lim √ = nên lim(ln n − n ln 2) = −∞ Suy với A > 0, có n0 ∈ N n ln n n cho với n ≥ n0 √n ≤ e−A Vậy lim √n = 2 DeThiMau.vn ... , n ∈ N n n Chứng minh : (xn )n dãy tăng, (yn )n dãy giảm Với a > 0, cho xn = (1 + Chứng minh :(xn )n ,(yn )n hội tụ lim xn = lim yn Đặt lim xn = lim yn = ea Giải : Trước tiên ta chứng minh... a) n(n + + a)2 (1 + Vậy (yn )n dãy giảm DeThiMau.vn Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ yn ≤ ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n dãy tăng, bị chặn ; (yn )n dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ Đặt a... < 1, ∀n ≥ n0 (3/2 )n (3/2 )n Với n ≥ n0 , ta có : 3≤ √ n Do định lý giới hạn kẹp lim n2 2n + 3n = n + √ n n2 2n + 3n = 3 DeThiMau.vn √ n2 n ≤ n (3/2 ) 1.4.6 Ví dụ √ Tính lim sin(π n2 + 1) √ √