GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

PGS TS Lê Hoàn Hóa Ngày 11 tháng 10 năm 2004

1 Giới hạn của dãy số

1.1 Định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực Ta nói :

• Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, ký hiệu lim

n→∞xn = x hay lim xn = x nếuvới mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì |xn− x| < 

lim xn= x ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn− x| <  ⇐⇒ lim |xn− x| = 0

• Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho vớimọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứ tự xn< A)

• Dãy (xn)n phân kỳ nếu không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞

Như vậy với một dãy (xn)nchỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)n hội tụ hoặc (xn)nphân kỳ

1.2 Định lý cơ bản

1 Nếu(xn)nlà dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thì lim xn= a Nếu (xn)nlà dãy giảm,

bị chặn dưới và b = inf{xn} thì lim xn= b

2 Giới hạn kẹp : Giả sử : an≤ xn ≤ bn, ∀n ≥ n0 và lim an= lim bn= a Khi đó lim xn = a

3 Tiêu chuẩn Cauchy :

1 Chứng minh : (xn)n là dãy tăng, (yn)n là dãy giảm.

2 Chứng minh :(xn)n ,(yn)n hội tụ và lim xn = lim yn Đặt lim xn= lim yn= ea

)n= (1 + a

n + 1)(1 −

a(n + 1)(n + a))

n

n + 1)[1 −

na(n + 1)(n + a)] = 1 +

a2(n + 1)2(n + a) > 1Vậy (xn)n là dãy tăng

(n + 1)an(n + 1 + a)2 > 1Vậy (y ) là dãy giảm

2 Ta có :

(1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ yn ≤ ≤ y1 = (1 + a)2Vậy (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên ; (yn)n là dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ Đặtlim xn = lim yn = lim(1 + a

Bằng quy nạp, ta có : x1 =√

2 < 2 Giả sử xn≤ 2 Khi đó : xn+1=√

2 + xn ≤ 2Vậy (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên nên (xn)n hội tụ

Đặt x = lim xn

Từ đẳng thức xn+1 =√

2 + xn, ∀n ∈ N , cho n → ∞, ta có : x =√

2 + x hay x2− x − 2 = 0Vậy x = 2

2.2 2.21.2 (n − 1).n ≤ 4

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Môn: Giải tích cơ bản

GV: PGS.TS Lê Hoàn Hóa

Đánh máy: NTVPhiên bản: 2.0 đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004

HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC

1 Giới hạn liên tục

Định nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, điểm x0 ∈ R được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của I nếuvới mọi δ > 0, I ∩ (x0− δ, x0+ δ)\{x0} 6= 0 Cho f : I → R và x0 là điểm giới hạn của I Tanói:

lim

x→x 0f (x) = a ∈ R ⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − a| < ε

lim

x→x 0f (x) = +∞ (−∞) ⇐⇒ ∀A ∈ R, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x−x0| < δ =⇒ f (x) > A (f (x) < A)Định nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I Ta nói:

f liên tục tại x0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − f (x0)| < ε

Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì:

f liên tục tại x0 ⇐⇒ lim

x→x 0

f (x) = f (x0)Nếu f liên tục tại mọi x ∈ I, ta nói f liên tục trên I

f liên tục trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x0 ∈ I, |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − f (x0)| < 

Ta nói:

f liên tục đều trên I ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x0 ∈ I, |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − f (x0)| < Hàm số liên tục trên một đoạn:

Cho f : [a, b] → R liên tục Khi đó:

i) f liên tục đều trên [a, b]

ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên [a, b]

Đặt m = min{f (x), x ∈ [a, b]}, M = max{f (x), x ∈ [a, b]} Khi đó f ([a, b]) = [m, M ] (nghĩa là

f đạt mọi giá trị trung gian giữa m, M)

f0(x0) = lim

t→0

f (x0+ t) − f (x0)

Nếu f khả vi tại mọi x ∈ I, ta nói f khả vi trên I

Định lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) Giả sử

f0(x) 6= 0 trên (a, b) Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:

Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân:

Cho f liên tục, u, v khả vi Đặt

- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé tương đương

- Nếu k 6= 0, k hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé cùng bậc

- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói g là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn f

- Nếu k = 0, ta nói f là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn g

Bậc của vô cùng bé: Cho f là lượng vô cùng bé khi x → x0 Giả sử tồn tại k > 0 sao cholim

x→x 0

f (x) g(x) = k

- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn tương đương

- Nếu k 6= 0 và hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn cùng bậc

- Nếu k = 0, ta nói g là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn f

- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói f là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn g

Cho f là vô cùng lớn khi x → x0 Bậc của vô cùng lớn f là số k > 0 (nếu có sẽ duy nhất) saocho lim

k+ o (|x − x0|n)

Rn(x) = o (|x − x0|n) là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn n, được gọi là dư số Peano Nếu x0 = 0

ta được công thức Maclaurin:

12(dùng 1 − cos x ∼ x

 cos

x2

1cos x − 1

1 + sin x = 0Vậy lim

Vậy f là vô cùng bé bậc lớn hơn g.

Tìm bậc của các vô cùng bé sau khi x → 0

x→∞

f (x)

xk tồntại hữu hạn và khác không

4 Tìm lượng tương đương của f (x) = x[px2+√

Vậy f là vô cùng bé tương đương với g(x) =

√2

Vậy fn≡ 0 Tương tự cho fn−1, , f1 đồng nhất triệt tiêu

Khi đó, f0(x) = 0 với mọi x lớn bất kỳ Vậy f0 ≡ 0

6 Cho n là số tự nhiên, f0, f1, , fn là các đa thức sao cho

fn(x)(ln x)n+ fn−1(x)(ln x)n−1+ · · · + f0(x) = 0

với mọi x > 0

Chứng minh f0, f1, , fn đồng nhất triệt tiêu

Đặt x = ey và viết biểu thức vế trái dưới dạng

gk(y)eky+ gn−1(y)e(k−1)y + · · · + g0(y) = 0

với mọi y, trong đó k là số tự nhiên

Làm tương tự như bài (5), ta có gk, , g0 đồng nhất triệt tiêu Vậy f0, f1, , fn đồngnhất triệt tiêu

2 Tính các giới hạn sau bằng thay các vô cùng bé tương đương.Các lượng vô cùng bé sau tương đương khi t → 0:

t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et− 1)

(1 − cos t) ∼ t

2

2(1 + t)α ∼ 1 + αt

x→0

1 − (cos x)sin x

2(c) lim

x→0

(1 + x)x− 1

sin2x(d) lim

5 Dùng quy tắc L’Hopital khử các dạng vô định(a) lim

an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3 Điều kiện cần: nếu chuỗi

1.2 Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn tích phân

Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm Với mọi n ∈ N, đặt an= f (n) Khi đó:Tích phân suy rộng

Cho chuỗi số dương

Dấu hiệu Cauchy (căn số)

Cho chuỗi không âm

1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ

2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ

3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ

1.3 Chuỗi đan dấu

Dấu hiệu Leibnitz

Cho chuỗi đan dấu

an với an có thể âm hay dương

Xét chuỗi không âm

∞

X

1

an cũng hội tụ (phân kỳ)

Định lí 1 Cho (an)n là dãy giảm, an ≥ 0, lim

n→∞an = 0 Cho (bn)n là dãy bất kỳ (không cầndương) Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi n ∈ N,

∞

X

1

lnαa

nα hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1

Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1



Đặt an= sin 1

nDùng khai triển Taylor:

6 Xét sự hội tụ của chuỗi dương

an> 0, an+1

an

≤

n

32(n + 2) ≤



n + 2

32(∗)

≤ M,

xn

1 + xn

≤ 2|x|n.Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1) Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều trên (−1, 1) Thậtvậy, với ε = 1, với mọi k ∈ N có thể chọn x ∈ (0, 1) sao cho: x

k

1 − x2 > 1Khi đó :

1 − cos x,

< ε,

... khẳng định chứng minh

Do hai chuỗi cho có dạng

n→∞an = có số C ≥ thỏa mãn:

≤ C,

Với n0 ∈ N cho n0... thừa

an+1

an

a2n hội tụ Vậy chuỗi hàm hội

tụ miền |x| ≥ a

< ε, với k ≥ k0 ta có :

X

n≥k