PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề a : a a a a a 1 Bài (1,5 điểm) Cho biÓu thøc K a)Rót gän K b) TÝnh gi¸ trÞ cđa K a 2 c) Tìm giá trị a cho K< Bài (1,5 điểm) Cho x, y số thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Bài (3 điểm) Giải phương trình: a) x 4x 2x b) 3x 6x 5x 10x 14 2x x Bài (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB AD > BC) có đường chéo AC BD vng góc với I Trên đáy AD lấy điểm M cho AM độ dài đường trung bình EF hình thang Chứng minh ∆MAC cân M Bài (2 điểm) Cho ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng di động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Mơn: Tốn ThuVienDeThi.com Sơ lược lời giải thang điểm Bài (1,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: 1 100 4 4 S 1 1 99 4 4 Giải: n N, ta có: 1 1 1 4 2 n n n n n n n n n n (1) 4 2 2 (0,5 điểm) 1 Mặt khác: n n (n 2n 1) (n 1) (n 1) (n 1) (2) 2 (0,5 điểm) Áp dụng (1) (2) để tính S, ta được: 1 1 2 100 100 100 100 2 2 S 1 1 1 1 99 99 99 99 2 2 1 1 2 1 100 100 99 99 2 2 S 1 1 1 99 99 98 98 2 2 1002 100 1002 100 20201 S 2 (0,5 điểm) Bài (1,5 điểm) Cho x, y số thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ (a + b)2 ≥ 4ab –4ab ≥ –(a + b)2 Áp dụng vào biểu thức A, ta có: A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = – 6xy + 2xy = – 4xy ≥ – (x + y)2 = – = Dấu “=” xảy x = y mà x + y = (gt) x = y = Vậy: A = x = y = Bài (3 điểm) Giải phương trình: ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) a) x 4x 2x (1) Giải: b) 3x 6x 5x 10x 14 2x x (0,5 điểm) Ta có: (1) (x 2x 1) (2x 2x 1) (0,5 điểm) x (x 1) ( 2x 1) x 1 (thỏa mãn) 2x Vậy: Phương trình cho có nghiệm x = –1 (0,5 điểm) a) (1,5 điểm) Điều kiện: x b) (1,5 điểm) Ta có: 3x2 + 6x + = 3(x + 1)2 + ≥ 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + ≥ Do đó: 3x 6x 5x 10x 14 Dấu “=” xảy x = –1 Mặt khác: – 2x – x2 = – (x + 1)2 Dấu “=” xảy x = –1 (1) (0,5 điểm) (2) (0,5 điểm) Từ (1) (2) suy ra: 3x 6x 5x 10x 14 2x x x = –1 Vậy: Phương trình cho có nghiệm x = –1 (0,5 điểm) Bài (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB AD > BC) có đường chéo AC BD vng góc với I Trên đáy AD lấy điểm M cho AM độ dài đường trung bình EF hình thang Chứng minh ∆MAC cân M Giải: – Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD N BCND hình bình hành B C Suy ra: BC = DN (1 I điểm) E F – Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM Do đó: M trung điểm AN A M D N (0,5 điểm) – Vì CN // BC mà BD AC CN AC Hay: ∆ACN vng C có CM trung tuyến 2CM = AN Hay: CM = AM Vậy: ∆AMC cân M ThuVienDeThi.com điểm) (0,5 Bài (2 điểm) Cho ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng di động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ Giải: – Kẻ MF AB, MG AC A AFMG hình chữ nhật (0,5 E F điểm) G – Ta có: MD ≥ MF ME ≥ MG D (tính chất đường xiên, hình chiếu) (0,5 điểm) B M C 1 Do đó: SDME MD.ME MF.MG Const 2 Dấu "=" xảy D ≡ F E ≡ G (0,5 điểm) Vậy: Khi D E hình chiếu M AB, AC diện tích DME đạt giá trị nhỏ (0,5 điểm) Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà cho kết hợp lý, xác cho điểm theo thang điểm ThuVienDeThi.com ... y3 + 2xy Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ (a + b)2 ≥ 4ab –4 ab ≥ –( a + b)2 Áp dụng vào biểu thức A, ta có: A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = – 6xy + 2xy = – 4xy ≥ – (x + y)2 = – = Dấu “=” xảy x = y... Mặt khác: – 2x – x2 = – (x + 1)2 Dấu “=” xảy x = –1 (1) (0,5 điểm) (2) (0,5 điểm) Từ (1) (2) suy ra: 3x 6x 5x 10x 14 2x x x = –1 Vậy: Phương trình cho có nghiệm x = –1 (0,5... tích DME đạt giá trị nhỏ (0,5 điểm) Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà cho kết hợp lý, xác cho điểm theo thang điểm ThuVienDeThi.com