PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 Môn: Toán – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: tháng 11 năm 2015 Đề thức Đề thi gồm có: 01 trang ĐỀ BÀI Bài 1: (4điểm) Cho P = x x 2x x x x 3 x 2 x x 2x x + x x 3 x 2 Rút gọn P Với giá trị x P > Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình 3x x x 2x =4 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn a2016 + a1008 b1008+ b2016 = a2016b2016 Bài 3: (4điểm) Cho a = x + ; x b=y+ ; y c = xy + xy So sánh giá trị biểu thức A = a2 + b2 + c2 – abc với 2015 Chứng minh với x > ta ln có 3(x2 - 1 ) < 2(x3 - ) x x Bài 4: ( điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD Gọi I, Q, H, P trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc Về phía ngồi tứ giác ABCD, dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Bài 5: (2 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm,đường cao AH dài 36cm.Tính độ dài BD, DC Bài 6: (2 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = Hãy tìm GTNN P= 1 a4 + 1 b4 ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Tóm tắt cách giải Câu Điều kiện x > 0; x 1; 2,5 đ P= = (4 điểm) = ( x 2)( x 1)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 + x 1 + 0,5 ( x 2)( x 1)( x 1) 0,5 ( x 2)( x 1) x 1 x 1 2( x 1) x 1 P>1 Điểm 0,5 2( x 1) 2( x 1) >1 -1>0 x 1 x 1 2x x >0 x 1 x3 > Theo đ/k x > x + > x 1 0,5 x–1>0 x>1 Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 0,5 Suy x > 1; x P > 1,5 đ P= 2( x 1) =2+ x 1 x 1 Với x > 0; x 1; 0,5 P nguyên x – ước P đạt giá trị nguyên lớn x – = x = Vậy P đạt giá trị lớn x =2 Điều kiện x – + x 0,5 0,5 0,25 Phương trình tương đương x - x - x - 4x + 12 = 2đ Xét x < - ( ) Thì ( ) - 3x + + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 2x = -28 ThuVienDeThi.com 0,5 (4 điểm) Xét - x = - 14 ( Thỏa mãn đk) ≤ x < Thì ( ) - 3x + + x – – 4(2x + 3) – 4x + 12 = x= Xét 1≤ x < Xét x ≥ ( Thỏa mãn đk) ( loại) 0,25 Thì ( ) 3x – – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = x=- (Loại) Vậy phương trình có nghiệm x 14; 7 Đặt y=b1008 ; x=a1008 Theo cách đặt x,y>0 Ta có x2 + xy + y2 = x2y2 2đ 0,25 Thì ( ) - 3x + – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = x= 0,25 (x + y)2 = xy(xy + 1) xy + Nếu x + y = xy(xy + 1) = xy 1 Với xy = Kết hợp với x + y = x = y = x x 1 Với xy = -1 Kết hợp với x + y = y 1 y + Nếu x + y (x + y) số phương xy(xy + 1) hai số nguyên liên tiếp khác nên chúng nguyên tố Do khơng thể số phương Vậy nghiệm ngun phương trình (a; b) = (0; 0) +2 x2 b2 = y2 + + y c2 = x2y2 + 2 + x y 1 x y x y ab = (x + )(y + ) = xy + + + =c+ + x y xy y x y x x y abc = (c + + ).c y x 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 a2 = x2 + 2đ ThuVienDeThi.com 0,5 (4 điểm) x y + ) y x x y = c2 + (xy + )( + ) xy y x 1 = c2 + x2 + y2 + + y x 0,5 = a2 – + b2 – + c2 0,5 = c2 + c( A = a2 + b2 + c2 – abc = 4> 0,5 2015 1 ) < 2(x3 - ) x x 1 1 3(x - )(x + ) < 2(x - )(x2 + + 1) x x x x 1 3(x + ) < 2(x2 + + 1) (1) ( Vì x > nên x - > 0) x x x 1 Đặt x + = t x2 + = t2 – x x Ta có (1) 2t – 3t – > (t – 2)(2t + 1) > (2) Vì x > nên (x – 1)2 > x2 + > 2x x + > hay t > x (2) Suy điều phải chứng minh 3(x2 2đ A 0,5 1,0 0,5 B I 2đ Q P C H (4 điểm) D IP = HQ; IP//HQ ( Tính chất đường trung bình) AD = BC (GT) IPHQ h.b.h 0,5 1 Có IP = IQ = AD = BC nên IPHQ hình thoi 2 0,5 Gọi P ; Q giao điểm PQ với AD BC Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H HPQ = HQP ( Góc đáy tam giác cân) (1) Mà PH // BC BQ P = HPQ ( So le trong) ThuVienDeThi.com (2) QH // AD AP P = HQP ( So le trong) Từ (1); (2); (3) Suy AP P = BQ P 0,5 0,5 ( đpcm) F k E (3) 2đ A B I n m Q P C H D Gọi K, M, N trung điểm EF, DF, CE Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF dựa vào tính chất đường trung 0,5 bình tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c) Suy MHP = NHQ MHQ = NHP MHN PHQ có tia phân giác 0,5 Mặt khác dễ có IPHQ KMHN hình thoi 0,5 Suy HK HI phân giác MHN PHQ Suy H, I, 0,5 K thẳng hàng (2 điểm) a E h b d c Đặt BD = x, DC = y Giả sử x < y Pitago tam giác vng AHD ta tính HD = 27cm Vẽ tia phân giác góc ngồi A, cắt BC E Ta có AE AD nên AD2 = DE DH.Suy ThuVienDeThi.com DE = AD 45 = = 75cm DH 27 Theo tính chất đường phân giác tam giác DB EB x 75 x = = DC EC y 75 y (1) Mặt khác (2) x + y = 40 0,5 0,5 Thay y = 40 – x vào (1) rút gọn x2 – 115x + 1500 = (x – 15)(x – 100) = Do x < 40 nên x = 15, từ y = 25 0,5 Vậy DB = 15cm, DC = 25cm 0,5 Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2 ; 1; ta có (12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2 (2 điểm) 1 a4 ≥ a2 Dấu “=” xảy a = (1) 17 0,5 Áp dụng Bunhiacopski cho b2 ; 1; ta có 17(b4 + 1) ≥ (b2 + 4)2 b4 1 ≥ Dấu “=” xảy b = Từ (1) (2) P ≥ a2 b2 17 b2 17 (2) ( ) 0,5 Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) = a + b + ab = 4 Áp dụng Cơsi ta có: a a2 + b b2 + a b2 ab Cộng vế ba bất đẳng thức ta (a b ) + ≥ a + b + ab = 2 a2 + b2 ≥ ( - ): = Thay vào ( ) 2 8 17 P≥ = 17 Vậy giá trị nhỏ P 17 a = b = 2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tương đương - Bài hình khơng có hình vẽ hình vẽ sai không cho điểm ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Tóm tắt cách giải Câu Điều kiện x > 0;... mãn đk) ≤ x < Thì ( ) - 3x + + x – – 4(2x + 3) – 4x + 12 = x= Xét 1≤ x < Xét x ≥ ( Thỏa mãn đk) ( loại) 0,25 Thì ( ) 3x – – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = x=- (Loại) Vậy phương trình... Điều kiện x – + x 0,5 0,5 0,25 Phương trình tư? ?ng đương x - x - x - 4x + 12 = 2đ Xét x < - ( ) Thì ( ) - 3x + + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 2x = -28 ThuVienDeThi.com 0,5