Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: ( điểm) a)Tính A = ( 1 1 -1).( -1).( - ) ……( -1 ) ( -1) 16 100 121 2010 22009 22008 b) S = Bµi : ( điểm) a) Tìm x , y nguyên biết xy + 3x – y = 1 + + ……+ 1.2 3.4 37.38 1 B= + +.+ 20.38 21.37 38.20 A số nguyên B b) Cho A = CMR Bài ( điểm ): a) Cho S= 17 + 172+173+…… +1718 chøng tá r»ng S chia hÕt cho 307 b) Cho đa thức f (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 Biết : f (1) f (1); f (2) f (2) Chứng minh : f ( x) f ( x) với x Bµi (6 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vuông góc với tia phân giác góc A H cắt cạnh AB , AC E F Chứng minh : a) 2BME = ACB - B FE AH AE b) c) BE = CF Bài ( điểm) Cho s khụng âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? ThuVienDeThi.com Phßng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hướng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Bài 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12 16 100 121 10 11 a) 1.2.3.4 10.3.4.5.6 11.12 1.2.11.12 12 2 22.32 .112 11 22 b) S = 2S = 2010 1 22009 22008 2011 2010 2009 2 0.5® 0.5® 2S - S = 2011 2010 2010 2009 2009 2 2 S = 2011 2.2 2010 Bài 2011 1đ 2011 a)xy + 3x – y = => (x – 1) (y+3) = => x y+3 Ư( 3) Tìm cặp (x, y ) thoả mÃn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6) 1 1 1 1 = 1.2 3.4 37.38 37 38 1 1 1 = ( + + ) – 37 38 2 1 1 1 1 = 38 38 1 1 = 20 21 38 1 B= => 20.38 21.37 38.20 1 1 1 1 58B= 20 38 21 37 38 20 38 20 21 2A A 58 B= A 29 Z 58 B 1 b)A = 1 Bµi : Mỗi ý cho điểm a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .+1716( 1+17+172) 0,5 = 17 307 + 174.307 + + 1716.307 = 307( 17+ 174+.+ 1716) ThuVienDeThi.com 0, Vì 307 307 nên 307( 17+ 174+…………….+ 1716) 307 Vaäy S 307 b) f (1) a a a a1 a 0.25® f (1) a a a a1 a Do f (1) f (1) nªn a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0 a3 + a1 = - a3 - a1 a3 + a1 = (1) 0.25đ Tương tự: f (2) 16a 8a 4a 2a1 a f (2) 16a 8a 4a 2a1 a Vì f (2) f (2) nên 4a3 + a1 = Tõ (1) vµ (2) a1 = a3 = (2) 0.25® 0.25® VËy f ( x) a x a x a f ( x) a ( x) a ( x) a a x a x a víi x f ( x) f ( x) víi x Bµi A E B M C H D F a) AEH AFH (cgc) Suy E1 F XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy lµ gãc ngoµi suy BME cã E 0.5® CMF ACB F B BME E ) (E B ) VËy CMF BME ( ACB F 0.25® (®pcm) hay 2BME ACB B b) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 0.75® ThuVienDeThi.com FE AH AE (®pcm) c) C/m AHE AHF ( g c g ) Suy AE = AF vµ E1 F ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay Tõ C vÏ CD // AB ( D EF ) C/m BME CMD( g c g ) BE CD (1) có E1 CDF (cặp góc đồng vị) F CDF c©n CF = CD ( 2) CDF Từ (1) (2) suy BE = CF Bµi Cho số khơng âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? Giả sử a b c d S a b a c a d bc bd c d 0.75® 0,5 đ (a b) (a c) (a d ) (b c) (b d ) (c d ) (3a b) (c 3d ) Do c 3d S 3a b; S 3a b c = d = 0, lúc a + b = Do a ta có S = 2a + (a + b) = 2a + 2.1 + hay S Kết luận ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ...Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hướng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Bài 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12 16... 11 22 b) S = 2S = 2010 1 22009 22008 2011 2010 2009 2 0.5® 0.5® 2S - S = 2011 2010 2010 2009 2009 2 2 S = 2011 2.2 2010 Bài 2011 1đ 2011 a)xy + 3x... + .+1716( 1+17+172) 0,5 = 17 307 + 174.307 + + 1716.307 = 307( 17+ 174+…………….+ 1716) ThuVienDeThi.com 0, V× 307 307 nªn 307( 17+ 174+…………….+ 1716) 307 Vậy S 307 b) f (1) a a a