Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Việt Yên năm học 2010 2011 môn: Toán 733145

Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: ( điểm) a)Tính A = ( 1 1 -1).( -1).( - ) ……( -1 ) ( -1) 16 100 121 2010  22009  22008    b) S = Bµi : ( điểm) a) Tìm x , y nguyên biết xy + 3x – y = 1 + + ……+ 1.2 3.4 37.38 1 B= + +.+ 20.38 21.37 38.20 A số nguyên B b) Cho A = CMR Bài ( điểm ): a) Cho S= 17 + 172+173+…… +1718 chøng tá r»ng S chia hÕt cho 307 b) Cho đa thức f (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 Biết : f (1)  f (1); f (2)  f (2) Chứng minh : f ( x)  f ( x) với x Bµi (6 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vuông góc với tia phân giác góc A H cắt cạnh AB , AC E F Chứng minh : a) 2BME = ACB - B FE  AH  AE b) c) BE = CF Bài ( điểm) Cho s khụng âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? ThuVienDeThi.com Phßng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hướng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Bài 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12  16 100 121 10 11 a) 1.2.3.4 10.3.4.5.6 11.12 1.2.11.12 12   2  22.32 .112 11 22 b) S = 2S = 2010 1  22009  22008    2011  2010  2009  2  0.5® 0.5® 2S - S = 2011  2010  2010  2009  2009  2  2    S = 2011  2.2 2010 Bài 2011 1đ 2011   a)xy + 3x – y = => (x – 1) (y+3) = => x y+3 Ư( 3) Tìm cặp (x, y ) thoả mÃn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6) 1 1 1 1 =          1.2 3.4 37.38 37 38 1 1  1 = ( + +   ) –      37 38  2  1 1  1 1 =              38   38  1 1 =    20 21 38 1 B= =>    20.38 21.37 38.20 1 1 1 1               58B= 20 38 21 37 38 20 38   20 21  2A A 58 B= A    29  Z 58 B 1 b)A = 1 Bµi : Mỗi ý cho điểm a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .+1716( 1+17+172) 0,5 = 17 307 + 174.307 + + 1716.307 = 307( 17+ 174+.+ 1716) ThuVienDeThi.com 0, Vì 307 307 nên 307( 17+ 174+…………….+ 1716)  307 Vaäy S  307 b) f (1)  a  a  a  a1  a 0.25® f (1)  a  a  a  a1  a Do f (1)  f (1) nªn a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0  a3 + a1 = - a3 - a1  a3 + a1 = (1) 0.25đ Tương tự: f (2)  16a  8a  4a  2a1  a f (2)  16a  8a  4a  2a1  a Vì f (2) f (2) nên 4a3 + a1 = Tõ (1) vµ (2)  a1 = a3 = (2) 0.25® 0.25® VËy f ( x)  a x  a x  a f ( x)  a ( x)  a ( x)  a  a x  a x  a víi x f ( x)  f ( x) víi x Bµi A E B M C H D F a) AEH  AFH (cgc) Suy E฀1  F฀ XÐt CMF cã ฀ACB lµ gãc ngoµi suy ฀ lµ gãc ngoµi suy BME cã E 0.5® ฀ ฀ CMF  ฀ACB  F ฀ ฀ B ฀ BME E ฀ ฀ ฀ )  (E ฀ B ฀) VËy CMF  BME  ( ฀ACB  F 0.25® ฀ ฀ (®pcm) hay 2BME  ฀ACB  B b) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 0.75® ThuVienDeThi.com FE  AH  AE (®pcm) c) C/m AHE  AHF ( g  c  g ) Suy AE = AF vµ E฀1  F฀ ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay Tõ C vÏ CD // AB ( D EF ) C/m BME CMD( g c  g )  BE  CD (1) ฀ có E1 CDF (cặp góc đồng vị) ฀ F  CDF c©n  CF = CD ( 2) CDF Từ (1) (2) suy BE = CF Bµi Cho số khơng âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? Giả sử a  b  c  d S  a b  a c  a d  bc  bd  c d  0.75® 0,5 đ (a  b)  (a  c)  (a  d )  (b  c)  (b  d )  (c  d )  (3a  b)  (c  3d ) Do c  3d   S  3a  b; S  3a  b c = d = 0, lúc a + b = Do a  ta có S = 2a + (a + b) = 2a +  2.1 + hay S  Kết luận ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ...Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hướng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Bài 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12  16... 11 22 b) S = 2S = 2010 1  22009  22008    2011  2010  2009  2  0.5® 0.5® 2S - S = 2011  2010  2010  2009  2009  2  2    S = 2011  2.2 2010 Bài 2011 1đ 2011   a)xy + 3x... + .+1716( 1+17+172) 0,5 = 17 307 + 174.307 + + 1716.307 = 307( 17+ 174+…………….+ 1716) ThuVienDeThi.com 0, V× 307  307 nªn 307( 17+ 174+…………….+ 1716)  307 Vậy S  307 b) f (1)  a  a  a 