Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Phần I: Các tốn đa thức Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = ; P( ) P(-5,1289) = = Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x 1)(1 x x x9 ) x10 x 1 x Từ tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x x9 x 1 Từ tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: b1 c1 d1 e1 a1 16a 8b1 4c1 2d1 e1 27b1 9c1 3d1 e1 81a1 256a 64b1 16c1 4d1 125b1 25c1 5d1 625a1 a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 e1 16 e1 25 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x5 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(5) P(6) P(7) 10 Tính A P(4) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x( x 1) Từ tính được: P(5) P(6) A P(7) Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a b 2000 2000a b 2001 a b 1 g(x) = f(x) - x - * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = nghiệm hệ phương trình: DeThiMau.vn a, b, c GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO b c a 3b c 11 9a 25a 5b c 27 a MTBT ta giải được: b c g(x) = f(x) - x2 - - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nên: d 10 a b c d 12 4b 2c d 8a 27 a 9b 3c d lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, ;b c MTBT cho ta kết quả: a f ( x) x3 25 ; c 12; d 10 25 x 12 x 10 f (10) Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư f(-1) = -18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính f(2005) = 630 Bài 10: Cho đa thức P( x) x9 x 21 13 x 30 82 x 63 32 x 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P ( x) ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x 1)( x 2)( x 3( x 4) 2.5.7.9 DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Vì só ngun liên tiếp ln tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x 1)( x 2)( x 3( x 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên 4x Hãy tính tổng sau: 4x Bài 11: Cho hàm số f ( x) a) S1 f 2002 b) S f sin 2002 2002 f f sin 2001 2002 f 2002 f sin 2001 2002 H.Dẫn: * Với hàm số f(x) cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = f(a) + f(b) = * áp dụng bổ đề trên, ta có: a) S1 f f 2002 b) Ta có f sin 2001 2002 f 2002 sin S f sin 2002 f sin 2 2002 1000 f 1001 2002 1000, f sin sin f sin 1000 1002 2002 f 2001 1000 , , sin 2002 2002 f sin f cos 2002 2002 1000 1000 f sin f sin 2002 2002 1 1 1000 2002 f Do đó: 1002 2002 1000 2002 500 2002 f sin f f sin 500 2002 sin 501 2002 f cos 1001 2002 f sin 500 2002 f (1) Tìm thương dư phép chia hai đa thức: Bài tốn 1: Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải:- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r P 0.Q a b b r r = P a b a Bài 12: Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Giải: - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r P 0.Q 2 Tính máy ta được: r = P 2 r r P 5 r = P 2 = Bài tốn 2: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (x + a) DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Bài 13: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: -5 -2 -3 0 -1 -5 23 -118 590 -2950 14751 73756 * Tính máy tính giá trị sau: () SHIFT STO ANPHA M + = + M (-5) : ghi giấy -5 (23) : ghi giấy ANPHA M ANPHA M - = (-118) : ghi giấy -118 ANPHA M + = (590) : ghi giấy ANPHA M + = (-2950) : ghi giấy -2950 ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751 ANPHA M - - = 23 590 (-73756) : ghi giấy -73756 = x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài tốn 3: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm dư: ta giải tốn - Để tìm hệ số đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương phép chia đa b a thức P(x) cho (x + ) sau nhân vào thương với ta đa thức thương cần tìm a Bài 14: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Giải: - Thực phép chia P(x) cho x , ta được: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = x x x P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = x Từ ta phân tích: 1 x x 2 = (2x - 1) x x 2 8 Bài 15: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho +2 DeThiMau.vn Q(x) = 3x GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) m Ta có: P1 m P1 Tính máy giá trị đa thức P1(x) x ta m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0 H.Dẫn: x0 x0 1 nghiệm P(x) m = P1 , với P1(x) = 3x - 4x + 2 1 nghiệm Q(x) n = Q1 , với Q1(x) = x + 3x - 5x + 2 Tính máy ta được: m = P1 = ;n = Q1 = 1 Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm H.Dẫn: a) Giải tương tự 16, ta có: m = ;n = b) P(x) (x - 2) Q(x) (x - 2) R(x) (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x) có nghiệm x = Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x) dư r2 Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q1(x), q2(x) số dư r1, r2: DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO 0 0 0 16 32 64 -1 16 16 64 Vậy: r2 128 256 16 16 Phần II: Các toán Dãy số Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dãy số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngồi việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính tốn học mà từ kết tính tốn ta dự đốn, ước đốn tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đốn cơng thức số hạng tổng quát dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải tốn cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dãy số cịn hình thành cho học sinh kỹ năng, tư thuật toán gần với lập trình tin học Sau số quy trình tính số hạng số dạng dãy số thường gặp chương trình, ngoại khoá thi giải Toán MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng dãy số: 1) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n N* f(n) biểu thức n cho trước Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT STO A - Lập cơng thức tính f(A) gán giá trị ô nhớ : A = A + - Lặp dấu bằng: = = Giải thích: SHIFT STO A : ghi giá trị n = vào ô nhớ A DeThiMau.vn f(A) GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO A = A + : tính un = f(n) giá trị A (khi bấm dấu thứ lần nhất) : thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bấm dấu lần thứ hai) * Công thức lặp lại ấn dấu = Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: un 2 n n ; n 1, 2,3 Giải: - Ta lập quy trình tính un sau: SHIFT STO A ( ) ) ) ( ( ( + ) A ) ANPHA ANPHA ) : ANPHA ANPHA A A ANPHA - ( = ( - ANPHA A + = - Lặp lại phím: = = Ta kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 2) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng: u1 = a u n+1 = f(u n ) ; n N* f(un) biểu thức un cho trước Cách lập quy trình: - Nhập giá trị số hạng u1: a = - Nhập biểu thức un+1 = f(un) : ( biểu thức un+1 chỗ có un ta nhập ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = hình u1 = a lưu kết - Khi nhập biểu thức f(un) phím ANS , bấm dấu = lần thứ máy thực tính u2 = f(u1) lại lưu kết DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - Tiếp tục bấm dấu = ta số hạng dãy số u3, u4 Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: u1 un un 1 u , n n N* Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: = (u1) ANS + ) ( ( ANS + ) = (u2) = = - Ta giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi: u1 3 un , n un 1 N* Tìm số tự nhiên n nhỏ để un số nguyên Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: SHIFT ANS = = = SHIFT (u1) 3 = (u2) (u4 = 3) Vậy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên 3) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng: u = a, u b N* u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Cách lập quy trình: * Cách 1: Bấm phím: b SHIFT STO A A + B a + C SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B + C SHIFT B STO B Giải thích: Sau thực b SHIFT STO A A + B a + C SHIFT STO B ô nhớ A u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C đẩy vào ô nhớ B , hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau thực hiện: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C đưa vào ô nhớ A Như ta có u4 hình nhớ A (trong ô nhớ B u3) Sau thực hiện: A + ANPHA B B + C SHIFT STO B máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C đưa vào ô nhớ B Như ta có u5 hình ô nhớ B (trong ô nhớ A u4) Tiếp tục vòng lặp ta dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta sử dụng chức COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm 10 lần bấm phím tìm số hạng dãy số), thực quy trình sau: Bấm phím: b SHIFT STO A A + B a + C SHIFT STO B A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B B + C SHIFT STO B SHIFT COPY Lặp dấu bằng: = = * Cách 2: Sử dụng cách lập công thức Bấm phím: A b SHIFT a SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = B + B ANPHA ANPHA DeThiMau.vn B A + C GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C Lặp dấu bằng: = = Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi: u = 1, u u n+2 = 3u n+1+ u n + ; n N* Hãy lập quy trình tính un Giải: - Thực quy trình: SHIFT STO A + + SHIFT STO B + ANPHA A + SHIFT STO A + ANPHA B + SHIFT STO B SHIFT COPY = = ta dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hoặc thực quy trình: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C B + ANPHA A + = = ta kết 4) Dãy số cho hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: u = a u n+1 = f n, un ; n N* Trong ®ã f n, un lµ kÝ hiƯu cđa biĨu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n * Thuật tốn để lập quy trình tính số hạng dãy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO B : chứa giá trị un C : chứa giá trị un+1 - Lập cơng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng dãy - Lặp phím : = Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi: u1 = n u n+1 = n+1 u n +1 ; n N* Hãy lập quy trình tính un Giải: - Thực quy trình: SHIFT STO A ANPHA ( C ANPHA ANPHA ANPHA A SHIFT STO B B = ( + ) + ANPHA ANPHA ANPHA : A : ANPHA ( ANPHA B ANPHA A ANPHA A ANPHA = + ) ) = ANPHA C = = ta dãy: , 1, , 2, , 3, , II/ Sử dụng MTBT việc giải số dạng toán dãy số: 1) Lập công thức số hạng tổng quát: Phương pháp giải: - Lập quy trình MTBT để tính số số hạng dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đốn cơng thức số hạng tổng qt - Chứng minh cơng thức tìm quy nạp Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: Giải: - Trước hết ta tính số số hạng đầu dãy (an), quy trình sau: DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ( ANPHA ( ( ANPHA ANPHA = + ) A +1 ) B ANPHA ANPHA A ( ( ANPHA ANPHA : ANPHA A + ANPHA : ANPHA A ANPHA B A + ) A + ) ) ANPHA = ANPHA = ANPHA C 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 - Ta dãy: - Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = a2 = 30 1.5 3.10 a3 = 2.7 20 40 a4 = 27 3.9 50 5.10 dự đốn cơng thức số hạng tổng quát: 2.7 4.10 * Dễ dàng chứng minh công thức (1) a2004 2003.4009 20050 Ví dụ 2: Xét dãy số: Chứng minh số A = 4an.an+2 + số phương Giải: - Tính số số hạng đầu dãy (an) quy trình: SHIFT STO A - + SHIFT STO B - ANPHA A + SHIFT STO A - ANPHA B + SHIFT STO B SHIFT COPY = = - Ta dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số: a1 1 1(1 1) DeThiMau.vn 2(2 1) 3(3 1) a3 6 4(4 1) a4 10 5(5 1) a5 15 GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO dự đốn công thức số hạng tổng quát: a2 3 an n(n 1) (1) * Ta hoàn toàn chứng minh cơng thức (1) ®óng víi mäi n N* Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 A số phương Cách giải khác: Từ kết tìm số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Với n = A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh (*) 2) Dự đoán giới hạn dãy số: 2.1 Xét tính hội tụ dãy số: Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính nhiều số hạng dãy số cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm số hạng dãy số giúp cho ta trực quan tốt hội tụ dãy số, từ hình thành nên cách giải tốn Ví dụ 1: Xét hội tụ dãy số (an): sin(n) an ; n n 1 N* Giải: - Thực quy trình: MODE SHIFT STO A sin ( ANPHA ANPHA : A ) ANPHA A ( ANPHA ANPHA = A + ) ANPHA A + = = ta kết sau (độ xác 10-9): n an 0,4207354 92 n 13 an 0,0300119 31 n 25 0,3030991 14 0,0660404 26 an 0,0050904 51 0,0282429 DeThiMau.vn n 37 38 an 0,0169352 14 0,0075991 10 11 12 GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO 42 05 94 0,0352800 15 0,0406429 27 0,0341562 39 0,0240948 02 83 84 16 28 0,0093415 40 0,0181734 0,1513604 0,0169354 78 91 99 89 17 29 41 0,1598207 0,0534109 0,0221211 0,0037767 12 71 29 18 30 42 0,0399164 0,0395256 0,0318719 0,0213144 99 44 87 54 0,0821233 19 0,0074938 31 43 24 0,0126261 0,0189039 76 71 0,1099286 20 0,0434735 32 0,0167098 44 0,0003933 94 83 99 76 0,0412118 21 0,0380298 33 0,0294091 45 0,0184979 48 01 72 02 22 34 0,0151166 46 0,0191869 0,0494564 0,0003848 48 86 64 39 23 35 47 0,0025744 0,0833325 0,0352591 0,0118939 17 83 63 24 36 48 0,0412748 0,0362231 0,0268048 0,0156786 39 34 33 66 - Biểu diễn điểm mặt phẳng toạ độ (n ; an): an n Dựa vào biểu diễn giúp cho ta rút nhận xét n lớn an gần (an 0) chất dãy hội tụ đến số DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO 2.2 Dự đốn giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un), (n = 1, 2, ) xác định bởi: u1 un 1 2 un ; n N* có giới hạn Tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: = ( + ANS ) = = ta kết sau (độ xác 10-9): n 10 un 1,414213562 1,847759065 1,961570561 1,990369453 1,997590912 1,999397637 1,999849404 1,999962351 1,999990588 1,999997647 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 un 1,999999412 1,999999853 1,999999963 1,999999991 1,999999998 1,999999999 2,000000000 2,000000000 2,000000000 2,000000000 Dựa vào kết ta nhận xét được: 1) Dãy số (un) dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn dãy số Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (un) tăng bị chặn (un) có giới hạn dãy + Gọi giới hạn a: limun = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được: a limun = lim( un ) hay a = a a 2 a Vậy: lim un = Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, ) xác định bởi: DeThiMau.vn a GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO x1 x2 2 xn xn 1 5 2 sin( xn ) , n N* Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: MODE SHIFT STO A + ( SHIFT x2 sin x2 sin SHIFT ( SHIFT ) ( SHIFT ( ANPHA A ) ANPHA B ) SHIFT STO ) ) ( SHIFT + SHIFT ) ) ( ) sin ) ( SHIFT ( STO A ( SHIFT + SHIFT STO B B COPY = = ta tính số hạng đầu dãy số (xn) rút nhận xét sau: 1) Dãy số (xn) dãy không giảm 2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ xác 10-9) 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51, ) trừ cho ta nhận kết dự đoán giới hạn dãy số Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh xn (0 ; giảm dãy (xn) có giới hạn + Gọi giới hạn a, ta có: 2 a a sin(a ) , (1) 5 + Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số f ( x) x 5 a = ) dãy (xn) không 2 sin( x) x ) ta có (1) có nghiệm Vậy: lim xn = 3) Một số dạng tập sử dụng ngoại khoá thi giải Toán MTBT: Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2, ): 3 n un n DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO a) Chứng minh un nguyên với n tự nhiên b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 2: Cho dãy số (an) xác định bởi: ao 4an an 1 15an2 60 , n N* a) Xác định công thức số hạng tổng quát an b) Chứng minh số: A a2 n biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên liên tiếp với n Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo 0, u1 1999un un 2 un , n N Tìm tất số tự nhiên n cho un số nguyên tố Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 5, a2 11 2an 3an , an 1 n 2, n N Chứng minh rằng: a) Dãy số có vơ số số dương, số âm b) a2002 chia hết cho 11 Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 a2 an21 a , n an n 3, n N Chứng minh an nguyên với n tự nhiên Bài 6: Dãy số (an) xác định theo công thức: an n , n n n N * ; (kí hiệu phần nguyên số ) Chứng minh dãy (an) dãy số nguyên lẻ Phần III: Các toán số Tính tốn máy kết hợp giấy: Bài 1: a) Nêu phương pháp (kết hợp máy giấy) tính xác kết phép tính sau: A = 12578963 x 14375 b) Tính xác A c) Tính xác số: B = 1234567892 d) Tính xác số: C = 10234563 DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Giải: a) Nếu tính máy tràn hình nên ta làm sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính máy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 = 180808750000 * Tính máy: 963.14375 = 13843125 Từ ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính máy) Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 cộng máy: 808750000 + 13843125 = 822593125 A = 180822593125 b) Giá trị xác A là: 180822593125 c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính máy: 123452 = 152399025 2x12345x6789 = 67892 = 167620410 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 Tính máy: 10233 = 1070599167 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584 4563 = 94818816 Vậy (tính giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + 638155584000 + 94818816 = 1072031456922402816 Bài (Thi giải Toán MTBT khu vực - Năm học 2003-2004) Tính kết tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bài 3: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 DeThiMau.vn + GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 Đáp số: a) A = b) B = Bài 4: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau: A = 52906279178,48 : 565,432 Đáp số: A= 1012 Bài 5: Tính xác số A = Giải: - Dùng máy tính, tính số kết quả: 102 34 103 334 102 103 104 104 3334 Nhận xét: 1156 111556 11115556 10k số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận số 10k số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối * Ta dễ dàng chứng minh nhận xét đó: A = 111111111111555555555556 Tìm số dư phép chia số a cho số b: Định lí: Với hai số nguyên a b, b 0, tồn cặp số nguyên q r cho: a = bq + r r < |b| * Từ định lí cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm dư phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B + Bước 2: Thực phép chia A cho B + Bước 3: Thực A - q {ghi nhớ phần nguyên q} B =r Bài 5: a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư DeThiMau.vn ... DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Giải: a) Nếu tính máy tràn hình nên ta làm sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính máy: 12578.14375... 401481484254012 Bài 3: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 DeThiMau.vn + GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO b) B... thức tìm quy nạp Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: Giải: - Trước hết ta tính số số hạng đầu dãy (an), quy trình sau: DeThiMau.vn GIÁO TRÌNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C