phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh đề thức Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) Cho biÓu thøc A x 1 x 2x x 2x x x x : x 1 x x Víi x 0; x ; x a) Rót gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So s¸nh A với A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh r»ng: a) a b b c BiÕt a; b; c lµ sè thùc tháa m·n ®iỊu kiƯn: b a = b + = c + ; c >0 20082 2008 b) BiÓu thøc B 2008 có giá trị số tự nhiên 20092 2009 Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương tr×nh a) x 3x x x x 2x b) 4x 3x x3 Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB đường kính đường tròn (O;R) C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh MC lµ tiÕp tun cđa (O;R) c) Chøng minh K trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Bài 5: (1,5 điểm) Cho M 2 2008 2 2008 a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận M Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính - Hết - Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh Chữ ký giám thị 2:……………………… : ………………………… ThuVienDeThi.com híng dÉn chÊm thi häc sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010 môn toán lớp Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 ®iÓm) 2x x 2x x x x A x 0;x ;x : x x 1 x x 1 x x 2x x x x 2x x x : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 : x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x : x x x x x x x 1 x x 1 x : x 1 : 1 x 1 : 1 x x x 1 x x 1 1 x 1 x x x x 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 x x x b) Tính giá trị cña A x 17 12 (1 ®iÓm) TÝnh x 17 12 2 A 2 17 12 32 c) So sánh A với A (1 điểm) x 32 3 2 5 15 10 32 32 2 32 0.5 0.5 32 1 x x x 1 x x 1 Chứng minh x víi mäi x 0;x ;x x A x 1 A A 1 A A 1 x BiÕn ®ỉi A A A 0A A Bài (3 điểm) ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.5 a) Chøng minh r»ng a b 2 b b c biết a; b; c ba số thực thoả m·n ®iỊu kiƯn a = b + = c + ; c > (2 ®iĨm) Ta cã: a b a b a b 1 0.5 0.25 b c b c b c 2 (c > theo (gt)) 0.25 Tõ (1) vµ (2) suy a > b > c > Mặt khác a b 2 a b a b a b 1 (V× a >b>0) a b b b 2 b Chøng minh tương tự cho trường hợp: Vậy a b a b 2 b 0.5 0.25 b c 0.25 b c (®pcm) 20082 2008 b) BiĨu thøc B 2008 có giá trị số tự nhiên (1 điểm) 20092 2009 Ta có : B 20082 20082 2008 20092 2009 1 2008 2.1.2008 20082 2008 20092 2009 2008 20082 2008 2008 2008 2009 2.2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 0.5 0.75 0.25 VËy B cã gi¸ trị số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phương trình x 3x x x x 2x a) x 1x x x 1x x2 x 1x 31 x §iỊu kiƯn x2 x x 1x 3 1 x x 1 1 x x 1 x (1.75 ®iĨm) 0.25 x 1 1 x 1 1 x 1 x3 0 x2 x x x x x = tho¶ mÃn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm nhÊt x = b) 4x 3x 0.5 x3 (1) (1.25 ®iĨm) ThuVienDeThi.com 0.25 0.5 0.25 0.25 §iỊu kiƯn x 1 4x 0.25 4x 3x 4x 3x 4x 3x x3 4x 3x (V× x 3x x 4x 3x x3 4x 3x x3 x3 4x 3x (2) 4x 3x 0.25 0.5 nªn x + > 0) Giải tiếp phương trình (2) ta nghiệm phương trình x = Bài (8 điểm) M C I A K O H B 1) Chøng minh ®iĨm C, H, O, I thuộc đường tròn (2 điểm) Chứng minh OI AC Suy OIC vuông I suy I thuộc đường tròn đường kính OC CH AB (gt) CHO vuông H H thuộc đường tròn đường kính OC Suy I, H thuộc đường tròn đường kính OC hay C, I, O, H thuộc đường tròn 2) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O; R) (2 ®iĨm) 0.75 0.25 0.75 0.25 - Chøng minh AOM COM - Chøng minh AOM = COM - Chøng minh MC CO MC lµ tiÕp tun cđa (O; R) 3) Chøng minh K trung điểm CH ( điểm) 0.75 0.75 0.25 0.25 KH HB AM.HB AM.HB (1) KH AM AB AB 2R Chøng minh cho CB // MO AOM (đồng vị) CBH MA AO AM.HB AM.HB CH C/m MAO đồng dạng với CHB (2) CH HB AO R Tõ (1) vµ (2) suy CH = KH CK = KH K trung điểm CH 4) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn MAB cã KH//MA (cïng AB) ThuVienDeThi.com 0.75 0.25 Chu vi tam giác ACB PACB AB AC CB 2R AC CB Ta l¹i cã AC CB 0.5 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB AC CB AC CB AC CB AC CB AC CB 2AB (Pitago) AC CB 2.4R AC CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB M điểm cung AB 0.75 Suy PACB 2R 2R 2R , dÊu "=" x¶y M điểm cung AB Vậy max PACB 2R đạt M điểm cung AB 0.25 0.25 0.25 Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị M số nguyên (1 điểm) Biến đổi M 5 1004 1004 0.25 Đặt a ; b a b 10 vµ a.b Đặt U n a n b n víi n N Khi ®ã M = U1004 Ta cã U n a n b n a.a n 1 b.b n 1 10 b a n 1 10 a b n 1 10 a n 1 b n 1 ab a n b n 10U n 1 U n (v× ab = 1) 0.25 U n 10U n 1 U n (*) Ta thÊy U0 = Z ; U1 = a + b = 10 Z U a b a b 2ab 102 2.1 98 Z Theo công thức (*) U 10U U1 mµ U1, U2 Z suy U Z L¹i theo (*) U 10U U có giá trị nguyên Quá trình lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n N* Suy M = U1004 cã giá trị số nguyên a)Tìm chữ số tận cïng cđa M (0.5 ®iĨm) Tõ (*) suy U n U n 10U n 1 10 U n U n U n U n U n U n 10 U n U n 10 U 4k r Ur có chữ số tận gièng 1004 = 4.251 suy U1004 vµ U0 có chữ số tận giống Mà U0 có chữ số tận (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tương đương Điểm toàn không làm tròn ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 ... 20092 2009 Ta cã : B 20082 20082 2008 20092 2009 1 2008 2.1.2008 20082 2008 20092 2009 2008 20082 2008 2008 2008 ? ?2009 2 .2009 2009 2009 2009 2009 2009...hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009- 2010 môn toán lớp Bài (4 điểm) a) Rót gän biĨu thøc (2 ®iĨm) 2x x 2x x x... ? ?2009 2 .2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 0.5 0.75 0.25 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (3điểm)