sở giáo dục - đào tạo Bắc giang Đề thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Năm học 2006-2007 Môn thi: Toán (đề chuyên) Thời gian lµm bµi: 150 Bài (2,0 điểm) Cho phương trình (m+1)x2 + (2m + 1)x + m = , m lµ tham sè a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12 x22 2006 Bài (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 2007 2006 2007 2006 b) Tìm tất cặp số nguyên a b cho 2007 2006 nghiệm phương trình x2 + ax + b = Bài (1,5 điểm) Tìm tất số thực dương x y tho¶ m·n: x y xy 27 Bài (3,5 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Điểm M nằm trờn cnh BC ( M khác B C ) Đường tròn ( I ) qua M tiếp xúc với đường thẳng AB B, đường tròn ( J ) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C a) Nêu cách xác định tâm I đường tròn ( I ) tâm J đường tròn ( J ) b) Các đường tròn ( I ) ( J ) cắt điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác BNCA nội tiếp đường tròn c) Chứng minh M di động đoạn BC tổng bán kính hai đường tròn ( I ) ( J ) không đổi đường thẳng MN qua mt im c nh Bi (1,0 im) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc : P = a3 + b3 biÕt a + b = a2 + b2 – ab - HÕt -Họ tên thí sinh:Số báo danh: Giám thị số (họ tên kí): Giám thị số (họ tên kí): DeThiMau.vn sở giáo dục - đào tạo Đáp án - thang điểm đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Năm học 2006-2007 Môn: Toán (đề chuyên) (Đáp án Thang điểm gồm 03 trang) bắc giang Đề thức Bài ý Nội dung §iĨm 2,00 a + Víi m = -1, ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = - 0,25 + Víi m -1, phương trình có nghiệm = (2m + 1)2 – 4(m+1)(m – 1) ≥ 4m + ≥ m ≥ + Kết luận: m giá trị cần tìm b + Với m , theo hÖ thøc Vi Ðt: 0,5 0,25 2m m 1 m 1 x1x m 1 x1 x 2(m 1) 2m – 2x1x2 = m 1 m 1 0,25 2 )2 + Ta cã x1 + x2 = (x1+ x2 0,25 + Theo bµi x12 + x22 = 2006 ta 2004m2 + 4008m + 2003 = 2004 501 2004 2004 501 m 2004 m + KÕt luËn: hai gi¸ trị m tìm thoả mÃn 0,25 0,25 2,00 a A= ( 2006 1) ( 2006 1) 0,25 A= 2006 0,25 2006 A 2006 2006 0,25 KÕt luËn: VËy A = 0,25 DeThiMau.vn b +Giả sử a b số nguyên cho x 2007 2006 nghiệm phương trình x2 + ax + b = +Ta có (2007 2006 ) a (2007 2006 ) b 0,25 +Biến đổi rút gọn ta được: (4.2007 2a ) 2006 (2007 4.2006 a.2007 b) (*) *NhËn xÐt 2006 số vơ tỷ Vì a b số nguyên nên 4.2007 + 2a 20072 + 4.2006 +a.2007 + b số nguyên *Nếu 4.2007 + 2a 2006 0,25 2007 4.2006 a.2007 b số hữu tỷ 4.2007 2a Điều vô lý nên 4.2007 + 2a = hay a = 2.2007 = 4014 Thay vào hệ thức (*) ta có b = 20052 = 020 025 Dễ thấy a = 4014 b = 020 025 thỏa mãn điều kiện đề Đặt z = 0,25 1 3 x y z xyz Ta có: x y xy 27 ( x y z )( x y z xy yz zx) 0,25 1,50 0,25 0,25 Vì x, y, z lớn nên: x y z xy yz zx 2( x y z xy yz zx ) ( x y) ( y z ) ( z x ) 0,50 +Vì (x y)2 0, (y z)2 0, (z x)2 nªn ( x y ) ( y z ) ( z x) x y z +KÕt luËn: vËy x = y = 0,25 0,25 3,50 A M B O C I J N K d2 d1 DeThiMau.vn a b c VÏ ®êng thẳng d1 AB B, đường trung trực BM cắt d1 I Vẽ đường thẳng d2 AC C, đường trung trực CM cắt d2 J 0,50 0,50 -Xét đường tròn ( I ) cã gãc ABM = gãc BNM = 450 - T¬ng tù ta cã gãc CNM = gãc ACM = 450 - Tõ ®ã suy gãc BNC = gãc BNM + gãc CNM = 900 0,25 0,25 0,25 -Suy gãc BAC + gãc BNC = 1800 => tø giác ABNC nội tiếp 0,25 - Gọi K giao ®iĨm cđa BI vµ CJ Häc sinh chØ tø giác ABKC hình vuông - Chỉ MJ // BK, MI // CK råi suy tø gi¸c MIKJ hình bình hành - Suy MI = KJ vµ MJ = CJ =>MI + MJ = CK = AB không đổi - Gọi A1 giao điểm thứ hai đường thẳng MN với đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABNC, theo chứng minh ta có gãc BNA1 = gãc CNA1 = 450, suy A1 điểm cung BC - Chỉ A điểm cung BC đường tròn (O) suy A1 trùng với A kÕt luËn Ta cã: a3 + b3 = (a + b) ( a2 + b2 – ab) = ( a + b)2 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 1,00 0,25 Tõ gt a + b = a2 + b2 – ab a + b = (a + b)2 – 3ab (a b ) V× ab ≤ a , b nªn a + b (a + b)2 - (a b) 4 0,25 (a + b)2 – 4ab ≤ ≤ a + b ≤ 0,25 Suy P = ( a + b)2 ≤ 16 DÊu “=” x¶y a = b = tho¶ m·n gt VËy giá trị lớn P 16 chØ a = b = 0,25 Chó ý: *Trên hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết Học sinh giải nhiều cách khác cho điểm tối đa Học sinh làm đến đâu cho điểm đến (Nếu trình lập luận biến đổi bước trước sai bước sau không cho điểm) * Nếu học sinh dùng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm mà không chứng minh trừ 0,25 điểm DeThiMau.vn ... giáo dục - đào tạo Đáp án - thang điểm đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Năm học 2006- 2007 Môn: Toán (đề chuyên) (Đáp án Thang điểm gồm 03 trang) bắc giang Đề thức Bài ý Néi dung §iĨm 2,00 a... làm học sinh phải trình bày chi tiết Học sinh giải nhiều cách khác cho điểm tối đa Học sinh làm đến đâu cho điểm đến (Nếu trình lập luận biến đổi bước trước sai bước sau không cho điểm) * Nếu học. .. 2a ) 2006 (2007 4 .2006 a.2007 b) (*) *NhËn xÐt 2006 số vô tỷ Vì a b số nguyên nên 4.2007 + 2a 20072 + 4 .2006 +a.2007 + b số nguyên *Nếu 4.2007 + 2a 2006 0,25 2007 4 .2006