Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC P khác B,C,H và nằm trong tam giác ABC .PB cắt Otại M khác B.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải phương trình 3x 1 2 x 3
2) Giải hệ phương trình
xy xy y x y x y x
1 1
2 3 4 1
2 9 1 1
Câu II
1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng
3 4
a b b c a c a b b c b c c a c a a b
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc 10de chia hết cho 101?
Câu III
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại
D khác A Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh EF AC
Câu IV
Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức P 4a3 b3 c3 9c3
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
Trang 2MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải hệ phương trình
7 7
1
3 3
y x xy
xy x y y
x
2) Giải phương trình x 3 1 x2 3 x 1 1 x
Câu II
1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
5 2 8 2 20412
x
2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 1.Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức
2 2
1 1 1
y x y
x
Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC PB cắt (O)tại M khác B PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng
2) Giả dụ AP là phân giác góc MAN Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IV
Giả dụ dãy số thực có thứ tự x1 x2 x3 x192 Thỏa mãn điều kiện
2013
0
192 3
2
1
3 2
1
x x
x
x
x x
x
Chứng minh rằng
96
2013
1
192 x
x
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HD:
V2.
Câu1.
Câu 2: a) Đặt x=2k ta được 5k2+2y2−5103=0 Suy ra y chia 5 dư 2 hoặc 3
Suy ra k2+10t2−8t−1019=0 Đặt k=2a+1 ta được 2a2+2a+5t2−4t−509=0.
Trang 3Đặt t=2b+1 ta được a2+10b2+a+6b−254=0
Xét Δa ta được −5≤b≤4
Thử thấy b=−3 là thỏa mãn
Suy ra
Nếu y=5t+2 thì tương tự
b)
P =
17
16
2 2
17
4( )
x y
x y
16/17
17
4
x y
Hoặc Để em chém câu 2b (dễ nhất)
xy
xy
2
2 16xy
1 15
Câu 4.
Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy a1,a2, ,a n thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a1≤a2≤ ≤a k ≤0≤a k+1 ≤ ≤a n.
1
suy ra
1
Mà a1≤a2≤ ≤a k nên a1≤−1/2k và a k+1 ≤ ≤a n nên a n ≥1/2(n−k) Tóm lại :
a n −a1≥1/2.(1k+1n−k)≥2/n