ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình 3 1 2 3x x+ + − = 2) Giải hệ phương trình        +=         ++ =+++ xy xy y x yx yx 11 2 3 4 1 2 911 Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 a b c ab bc ca a b b c a c a b b c b c c a c a a b + + = + + + + + + + + + + + + 2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho ( ) edabc +− 10 chia hết cho 101? Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A 1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng 2)Chứng minh ACEF ⊥ Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1 Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức ( ) 3333 94 ccbaP +++= Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải hệ phương trình    =−+ +−+=+ 77 1 33 yxxy xyxyyx 2) Giải phương trình xxxx −++=−++ 11313 2 Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 2041285 22 =+ yx 2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn 1≤+ yx .Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức 22 1 11 yx yx P +         += Câu III . Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A 1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng 2) Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC Câu IV Giả dụ dãy số thực có thứ tự 192321 xxxx ≤≤≤≤ Thỏa mãn điều kiện    =++++ =++++ 2013 0 192321 321 xxxx xxxx n Chứng minh rằng 96 2013 1192 ≥− xx Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HD: V2. Câu1. 1) Cộng 2 pt t ĐƯỢC (x+y−2)(x2−xy+y2+2x+2y+4)=0 2) (x+1−−−−−√−1)(x+1−−−−−√+1−x−−−−−√−2)=0 Câu 2: a) Đặt x=2k ta được 5k2+2y2−5103=0. Suy ra y chia 5 dư 2 hoặc 3 Nếu y=5t−2 Suy ra k2+10t2−8t−1019=0 Đặt k=2a+1 ta được 2a2+2a+5t2−4t−509=0. Đặt t=2b+1 ta được a2+10b2+a+6b−254=0 Xét Δa ta được −5≤b≤4 Thử thấy b=−3 là thỏa mãn Suy ra Nếu y=5t+2 thì tương tự b) P = 17 16 2 2 17 1 4. 17( ) ( ). 1 4( ) x y x y x y xy + + + ≥ 2 15/17 16/17 17( ) 17 17 ( ) ( ) 4( ) 4 x y x y x y + ≥ = ≥ + + Hoặc Để em chém câu 2b (dễ nhất) Áp dụng BĐT AM-GM, ta có P≥ 2 2 2 1 x y xy + =2 1 xy xy + = 1 15 2 16x 16x xy y y + + 1 15 2 2 16xy ≥ + 1 15 2 2 17 2 4 ≥ + = Câu 4. Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy a1,a2, ,an thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a1≤a2≤ ≤ak≤0≤ak+1≤ ≤an. Lúc đó thì : 1 1 ( 1 2 ) ( ) 0 ( 1 2 ) ( ) 1 k n k n a a ak a a a a ak a a + + + + + + + + =   − + + + + + + =  suy ra 1 1 2 1/ 2 1/ 2 k n a a ak a a + + + + = −   + + =  Mà a1≤a2≤ ≤ak nên a1≤−1/2k và ak+1≤ ≤an nên an≥1/2(n−k). Tóm lại : an−a1≥1/2.(1k+1n−k)≥2/n . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin) Thời gian làm bài:. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I. a) Đặt x=2k ta được 5k2+2y2− 5103 =0. Suy ra y chia 5 dư 2 hoặc 3 Nếu y=5t−2 Suy ra k2+10t2−8t 101 9=0 Đặt k=2a+1 ta được 2a2+2a+5t2−4t−509=0. Đặt t=2b+1 ta được a2+10b2+a+6b−254=0 Xét Δa ta được