PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG MƠN TỐN Năm học 2014 – 2015 Đề thức (Thời gian làm 120 phút, khơng kể giao đề) Câu 1( điểm) Tính A , biết : B A= B= 1 1 , + + +…+ 200 198 199 199 198 197 2 Chứng tỏ rằng: Nếu 6x + 11y chia hết cho 31 x + 7y chia hết cho 31 Tìm hai số tự nhiên a,b biết: a + 2b = 48 3.a, b (a, b) 114 Câu ( 4,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y cho: 7x + 12y = 50 18n Tìm tất số tự nhiên n để phân số rút gọn 21n Câu (2,0 điểm): Chứng minh số tự nhiên n lớn biểu diễn dạng tổng hai số nguyên tố lớn Câu ( 6,0 điểm) : Người ta chứng minh tính chất sau: Cho n tia chung gốc O là: Ox1, Ox2,…, Oxn tạo thành n góc phân biệt x1Ox2, x2Ox3, …xn-1Oxn, xnOx1 Khi : x1Ox2 + x2Ox3 +…+ xn-1Oxn + xnOx1 = 3600 Hãy áp dụng tính chất để giải tốn sau: Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc khơng có điểm chung là: AOB, BOC COA a, Chứng tỏ ba góc góc lớn 1200 b, Giả sử AOB = 1300, BOC = 1000 Gọi OM tia đối tia OA Chứng tỏ tia OM tia phân giác góc BOC Câu 5(2,0 điểm): Tìm số tự nhiên a, b, c cho: a + b + c = abc a > b > c > Hết (Cán coi thi không giải thích thêm) ThuVienDeThi.com PHỊNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Năm học 2014 - 2015 Mơn thi : Tốn - Lớp Nội dung Câu Câu (6 điểm) Ta có : B = = 1 199 = Điểm 198 199 199 198 197 1 198 + 1 +….+ 1 + 198 0,75 200 200 200 200 199 198 200 0,5 A A 1 1 = 200.A => B 200 A 200 2 200 199 198 = 200 Ta có 6x + 11y 31 0,75 (1) Xét hiệu : 6(x + 7y) - (6x + 11y) = 31y 31 0,25 (2) 0,75 Từ (1) (2) 6(x + 7y) 31 Mà (6 ; 31) = x + 7y 31 0, 75 Vậy 6x + 11y 31 x + 7y 31 0,25 a md , (m, n) b nd Gọi (a, b) = d Mà a, b.(a, b) ab a, b.d md nd a, b mnd a + 2b = 48 md + 2nd =48 d(m + 2n) = 48 d Ư(48) 3.a, b (a, b) 114 => d(3mn + 1) = 114 => d Ư(114) Từ (1) (2) => d ƯC(48; 114) ={ 1; 2; 3; 6} m 2n 48 m 2n 48 : Loại 3mn 114 3mn 113 0,5 (1) (2) 0,5 Nếu d = => m 2n 24 m 2n 24 : Loại Nếu d = => 3mn 57 3mn 56 m 2n 16 m 2n 16 : Loại 3mn 38 3mn 37 Nếu d = => m 2n m n Nếu d = => 3mn 19 3mn 18 Vì (m, n ) = nên ta có: ThuVienDeThi.com 0,5 m n Vậy (a, b) = (36; 6), (12 ; 18) Câu (4 điểm) Ta có 122 = a 36 12 b 18 144 > 50 y ∈ N => y => y ∈ {0;1} 73 > 50 x ∈ N => x Với y = => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => khơng tìm x ∈ N Với y = => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = Vậy x = 2, y = 0,5 0,5 0, 25 0,5 0,5 0,25 Giả sử 18n + 21n + chia hết cho số nguyên tố d => 0,25 18 n + d, 21n + d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d 0,5 => 21 d => d Ư(21) = { ; 7} 0,5 Mà 21n + Không chia hết cho => d ≠ Ta lại có 21n + => 18n + => 18n + – 21 => 18(n - 1) mà (18; 7) = => n – = > n = 7k + 1(k N) Vậy để phân số Câu (2 điểm) 18n rút gọn n = 7k + 1(k N) 21n 0,5 0,25 Xét trường hợp n lẻ => n = 2k + = k + ( k + 1), (k ∈N) Vì n > => k + > k > Mà k k +1 hai số tự nhiên liên tiếp nên k k + hai số nguyên 0,75 tố - Xét trường hợp n chẵn: + Với n = 4k =( 2k + 1) + (2k – 1) (k ∈ N) Vì n > =>2 k + > 2k - > 0,5 Mà 2k - 2k +1 hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nên 2k - 1và 2k + hai số nguyên tố - + Với n = 4k + = (2k – 1) + (2k + 3) (k ∈ N) Gọi (2k – 1, 2k + 3) = d => 2k – 1⋮ d, 2k + ⋮ d => 2k + – (2k - 1) ⋮ d => ⋮ d, mà 2k – 2k + hai số lẻ => d = => 2k – 1và 2k + hai số nguyên tố Vậy với số tự nhiên n lớn biểu diễn dạng tổng ThuVienDeThi.com 0, 0,25 Câu (6 điểm) hai số nguyên tố lớn 1 Vì góc AOB, BOC, COA khơng có điểm chung nên ta có: AOB BOC COA 360 = 3.1200 (1) Giả sử ba góc khơng có góc lớn 1200 AOB BOC COA 3.120 trái với (1) Vậy ba góc có góc lớn Ta có: 1200 0,75 0,75 0,75 0,75 AOC 360 (AOB BOC ) 360 (130 100 ) = 1300 Mà : AOB COA 260 180 => Tia OM (là tia đối tia OA ) nằm tia OB OC (2) Vì hai góc MOB AOB kề bù nên góc MOB = 1800 – 1300 = 500 hai góc MOC AOC kề bù nên góc MOC = 1800 – 1300 = 500 => góc MOB = góc MOC (3) Từ (2) (3) suy OM tia phân giác góc BOC Câu (5 điểm) 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 Vì a > b > c > => a+ b + c < a + a+ a = 3a, mà a + b + c = abc 0,5 Nên abc < 3a => bc < b > c > = > b = 2, c = 0,75 => a + + = a.1.2 => a = 0,5 Vậy a = 3, b = 2, c = 0,25 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán - Lớp Nội dung Câu Câu (6 điểm) Ta có : B = = 1 199 = ... 199 198 = 200 Ta có 6x + 11y 31 0,75 (1) Xét hiệu : 6( x + 7y) - (6x + 11y) = 31y 31 0,25 (2) 0,75 Từ (1) (2) 6( x + 7y) 31 Mà (6 ; 31) = x + 7y 31 0, 75 Vậy 6x + 11y 31 x + 7y ... 2k – 1⋮ d, 2k + ⋮ d => 2k + – (2k - 1) ⋮ d => ⋮ d, mà 2k – 2k + hai số lẻ => d = => 2k – 1và 2k + hai số nguyên tố Vậy với số tự nhiên n lớn biểu diễn dạng tổng ThuVienDeThi.com 0, 0,25 Câu (6