Bài tập tham khảo ôn thi môn Toán33789

Cơng thức tính ngun hàm: BÀI TẬP THAM KHẢO ÔN THI  0du=C  du=u+C u +1  u du= +C  1   x+1 d x+1 VD VD   3 x x x +C  1 2 +C d s inx+1=ln sinx+1 +C sinx+1 VD lnx+1 lnx+1   e d lnx+1=e +C  e du=e +C  cosudu=sinu+C  sinudu=-cosu+C u x+1 = e   e  1d e  1= u2 3.1  udu= +C  du=ln u +C u VD  u VD   cos 2x-4 d 2x-4 =sin 2x-4 +C VD x x x   sin e  x d e  x =-cos e  x +C  cos u du=tanu+C  sin u du=-cotu+C 2 du với  u hàm số theo biến x u' 1 d 2x-1  2x  1'.dx  2dx  dx  d 2x  1 Cần nhớ: Vi phaân du=u'.dx  dx= d sinx   s inx  dx  cosxdx Ví dụ: / d x3  1 x3  1 dx  3x dx / Bài 1: Tính tích phân sau: 1 d x  1 2x I=  dx   ln x    ln x 1 0 x2     d sin x  cos x I= 2 cot xdx  2 dx  2  ln sin x sin x 6 sin x    ln1  ln  ln 2 Bài 2: Tính tích phân sau: x2 1 d x  1 1 I=  dx   ln x    ln x 1 x 1 3  2 I   cos x  d 2sin x  3 dx    ln 2sin x  2sin x  sin x   ln  ln 3 Bài 3: Tính tích phân sau: I=  1 2x  1dx   2x  12 dx  0  I   4 2 2x d 2x 2x            0           cos  2x   dx   cos  2x   d  2x    sin  2x    2 2  2  20   ThuVienDeThi.com Bài 4: Tính tích phân sau: I=   I=  1 dx x+2  x  0   x+2   x+2  ta nhân lượng liên hợp x+2  x  x 1  x+2  x 1 dx   x  dx   x  2 dx   x  12 dx I=  I=  1 0 1 1    x  2  x  12  dx   1 I=  dx 2x+1  2x  1 dx 1-x   x dx x  2x  1 1   x   d x     x  12 d x  1 0 2  x   3  x  12  0  I=  cos x ln sin x dx Bài 5: Tính tích phân sau:  I   sin x ln cos x dx I=  sin x   u  ln cos x  du    cos x  dv  sin xdx v   cos x    cos x  1ln sin x  x dx    1 1 I   cos x.ln cos x  03   sin xdx   ln  cos x 03  ln  2 2 Bài 6: Tính tích phân sau:   I   x.cos x.sin xdx   1 2 x sin 2xdx   x.sin 2xdx 2  du  dx   u  x    dv  sin 2xdx v   cos 2x      1  I   x.cos 2x   cos 2xdx   sin 2x 02  4 8 Bài 7: Tính tích phân sau:  I=   x.sin 2x.cos 2xdx  I=   x 1  cos x.sin x dx  I=   x  1.sin x.cos xdx   I=  x cos 2x.sin 2x  dx   I=  1  x  1  sin x.cos x dx ThuVienDeThi.com Bài 8: Tính tích phân sau:   I   sin x ln 1  sin x dx I   cos x ln 1  cos x dx 0    sin x  dx  u  ln 1  cos x  du    cos x  dv  cos xdx v  sin x   I  sin x.ln 1  cos x  02   2 I   cos x ln 1  cos x dx     sin x  cos2 x  cos2 x dx   dx   dx   1  cos x dx  x  sin x  02   cos x  cos x  cos x Bài 9: Tính tích phân sau: I   cos xdx  I   sin xdx 0 t  x  t  x  2tdt  dx  I   cos x.sin sin x dx x   t    I   t cos tdt  x   t  u  t du  dt   dv  cos tdt v  sin t  1 I   e x dx I   x ln 1  x dx  I   cos x ln 1  sin x dx I  2t.sin t   sin tdt  2sin1  cos t  2sin1  cos1   I   sin x ln 2  cos x dx Bài 10: Tính tích phân sau:   I   x.cos2 xdx   x 0  1 1   1  cos 2x dx  02  x  x cos 2x  dx  02 xdx  02 x.cos 2xdx 2 2 2  du  dx u  x    dv  cos 2xdt v  sin 2x   I   x.sin xdx     2 2 1 22 1 2  cos 2x   I  x  x sin 2x   sin 2xdx  4 16 16 I   x sin x  1dx  I   x cos2 2x  1dx Bài 11: Tính tích phân sau:  I   x.cos2 x.sin xdx du  dx u  x   1  Chuù yù  ta tính  cos2 x.sin xdx    cos x  d cos x    cos3 x  C dv  cos x.sin xdx v   cos x  3     6 x 6 3   1  sin x cos xdx  I   cos x   cos xdx   3 48 0  I   x.sin x.cos xdx  I   x 1  sin x.cos x dx  I   x.cos2 2x.sin 2xdx ThuVienDeThi.com Bài 12: Tính tích phân sau: x2 ex x   I dx  u  x ex du  x x  ex dx 1 x2 ex e     I     x.ex dx     x.ex dx dv  dx v   x2 0  x    x    1 u  x du  dx e e e   I    x.ex   ex dx    e  ex    x x 0 3 dv  e dx v  e Bài 13 Tính tích phân sau: I   x ex dx I   x3ex dx  u  x  du  2xdx x       I x e xex dx    x x 0 dv  e dx v  e I   x sin xdx  I   x e2x dx  I   x cosxdx       u  x du  dx x  I e xe ex dx =e-2 e-ex =e-2          x x 0 dv  e dx v  e  u  ex Chú ý: Ta đặt  giải tương tự dv  s inxdx Bài 14: Tính tích phân sau:  I   ex sin xdx     u  sin x du  cos xdx x x    I  e sin x  e cos xdx  ex  cos x dx     x x 0 dv  e dx v  e     u   cos x du  sin xdx    I   ex  cos x dx   cos x.ex   ex sin xdx e   I  x x 0 dv  e dx v  e  I  I  e   2I  e   I   e  1  u  ex Chú ý: Ta đặt  giải tương tự dv  s inxdx Bài 15: Tính tích phân sau: e I   ln xdx 1  e  u  ln x du  dx e e   I  x.ln x   dx  e  x  x   dv  dx v  x  e I   ln xdx 1  e e  u  ln x du  ln x dx   I  x.ln x   ln xdx x   1 dv  dx v  x  e  u  ln x e e du  dx   I  e 2x ln x   2dx e  2e  2x  e  x   dv  2dx v  2x  I   1  ln x dx e I   1  ln x xdx e ThuVienDeThi.com Bài 16: Tính tích phân sau: /   1 1         du   x  dx  x dx   x dx   dx u ln       x 1 x x x x     1  x  x x dv  x dx    x v    1 I   x ln    dx  x 10 x3   x2 1 2  I  ln      dx  8ln  ln     x   dx   3ln  ln    x  x 1 3 1 x 1 Bài 17: Tính tích phân sau: e ln x e x  1 I  1 dx   u  ln x du  dx    x  dv  dx  v   x  1   x 1 e e 1 e  e 1   I   ln x  1 dx      1    dx   x  1 e x x  1  e 1 e 1 e  x x 1 e Bài 18: Tính tích phân sau:  1 x  I   x.ln   dx  1 x  I   dx   x  du  u  ln   x2    1 x    dv  xdx v  x   2 x x2  1 x  ln   dx    x  0 x  1 1   1 1   2 2  ln     dx        dx   x  ln x   ln x         ln 8   x  x      x 1  Bài 19: Tính tích phân sau:  u  ln x  1 du  dx e ln x  1   x 1  I   dx  1 x2 dv  dx v    x  x e e e e 1 1  I   ln x  1   dx   ln e  1  ln     dx  ln  ln e  1  ln x  ln x     1 x x 1 x e e    x x 1 Bài 20: Tính tích phân: s inx    u  ln 1  cosx  du  dx  I   cosxln 1-cosx dx 1-cosx  dv  cosxdx v  s inx   I  s inx ln 1  cosx       sin x dx  cosx      cos2 x 3 ln  2 dx  ln  2 1  cosx dx  ln  x  s inx    ln  1   2 2  cosx 3 ThuVienDeThi.com Bài 21: Tính tích phân: e2  e2 e2 1   I     dx= I   dx  e ln x dx e e ln x  ln x ln x  1   dx u  du   ln x   x ln x  dv  dx v  x e  e  e2 e2 e2 1 1 e2   e I dx   dx=  dx   x dx    x e ln x e ln x e ln x e ln x lnx e  lnx e  Bài 22: Tính tích phân: e2  I   x sin3 xdx=   x sin x.s inxdx   x 1  cos2 x .s inxdx   x.s inxdx   xcos2 x.s inxdx   0 Tính J   x.s inxdx    Tính K   Bài 23: Giải phương trình ln x  dx  e x     0  2 I  J K  xcos2 x.s inxdx    3 t t t ln x   ln x  dx ln x d ln x           e x e t Cách 1: ln t     ln e    0 e  ln t   t  e  ln t     ln t    25    9  ln t   5  ln t  9  t  e Cách 2: Đặt u  ln x   du= dx, x=e  u=5, x=t  u=lnt+4 x ln t  ln x  t2 dx tdt     e x 5 t ln t  ln t   0 2  0  ln t   t  e  ln t    ln t    25    9  ln t   5  ln t  9  t  e Bài 22: Tính tích phân:      I   cosx s inxdx   cosx s inxdx   cosx s inxdx   s inx 2 d s inx    s inx 2 d s inx  0  2  s inx  3  s inx 2    2 2   3 Bài 23: Tính tích phân:   6 I  3 tan x  cot x  2dx  3   6 tan x  cotx  dx  3 t anx-cotx dx  3 sinx cosx dx cosx sinx    sinx.sinx-cosx.cosx sin x  cos2 x cos2x 2cos2x dx  3 dx  3 dx  3 dx sinx.cosx s inx.cosx sin 2x 6 6 sin 2x      2cos2x 2cos2x d(sin 2x) 3 d sin 2x  4      ln sin 2x    ln sin 2x  3  2 ln dx   dx   sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x 6   3 ThuVienDeThi.com Bài 24: Tính tích phân: I x  6x  9dx   4 x  3 dx  1 x  dx   x2   x2   3  x dx   x  3dx   3x      3x   1   3 Bài 25: Tính tích phân: I x x  2x  1dx   x  2x  xdx   2 I   x  x  dx I   x3   x dx 1 2 I  9x  6x   x3 dx 3 4  12    23 25   25 23  2   1  x x dx   x  x dx    x  x  dx    x  x  dx   x  x    x  x   1 1     3 0 5 Bài 26: Tính tích phân: 3 I    3x dx I  2x  dx  4  2x dx  2x  dx 1 2 x x  1 dx   x  xdx 2  x dx I 2    2       4x   4x      ln   ln ln  2 Bài 27: Tính tích phân: x I    I   x 1  x  dx 3 I   1 1 x=sint  dx=costdt  2 I   9x  2.3x  1dx 4x  2x 1  1dx x=0  t=0, x=1  t=    1  sin t  costdt   cos t  costdt   cos t  costdt   3 cos4 tdt 2 2 3 1   1  cos2t  dt  0 1  2cos2t+cos 2t dt  0 3  4cos2t+cos4t dt   2  I   1  x  dx 2 I   1  x  I   dx 1  x  2 I   dx 1  x  dx Bài 28: Tính tích phân:    I   x  x dx x=2sint  dx=2costdt t   - ,  1  2   Khi x=-1  t= , x=  t=                 I   4sin t 1  sin t 2costdt=  16.sin t.cos tdt=4  sin 2tdt=2  2 2 Bài 29: Tính tích phân:    cosx-sinx cosx+sinx  dx cos2xdx cos2 x  sin x I    4 dx  sinx+cosx+2 0 s inx+cosx+2 s inx+cosx+2 Đặt t  s inx+cosx+2  dt= cosx-sinx dx, I 2 t  dt  t  I    2 cos2xdx sinx+cosx+2  sinx+cosx=t-2 Khi x=0  t=3, x= 2  2    dt  t  ln t 3 t  5  4 I   x 16  x dx 0 1-cos4t dt= = I   x  x dx I   x  x dx 2    ln  2    t  2 ThuVienDeThi.com Bài 30: Tính tích phân:    sin4xdx sin 4x sin 4xdx sin 4x 4  I   dx   dx  4 2 0 2 2 sin x+cos x s in x+cos x -2sin x.cos x s in2 x + cos x  sin 2x 1  1 dt  I      ln t 12  ln t   sin 2x  dt   sin 4xdx Khi x=0  t=1, x=  t   t     I=   cos2x sin x  cos4 x dx     sin 2x  cos 2xdx 0    1  dt   t    I     t     t  sin 2x  dt  cos 2xdx Khi x=0  t=0, x= Bài 31: Tính tích phân:    I    cos3 x.sin 2xdx    cos3 x.2sin x.cosxdx    cos4 x.sin xdx 0 0 t=cosx  dt=-sinxdx Khi x=0  t=1, x=  2  t    I  2  t dt   t  5 Bài 32: Tính tích phân:  I     1 1     dx dx dx   1  cot x  2   sin x sin x sin x sin x 4 Chú ý:   cot x sin x 0  t3     I    1  t dt    t    t=cotx  dt=- dx Khi x=  t=1, x=  t   sin x 1  Bài 33: Tính tích phân:   I    1 1  1    dx dx dx dx     1  tan x    2    cos x cos x cos x cos2 x  cos x  cos x t=tanx  dt=  dx Khi x=0  t=0, x=  t  cos x 1  t3 t5  28 I   1  t  dt   1  2t  t dt   t     0  15   I  4 dx cos4 x  I  2 dx sin x cos 2x dx sin 2x  cos 2x Bài giải  sin 2x dx Xét tích phân: J   sin 2x  cos 2x       cos 2x sin 2x cos 2x  sin 2x 8 Ta coù: I  J  I   dx   dx=  dx   dx  x 0  sin 2x  cos 2x sin 2x  cos 2x sin 2x  cos 2x    cos 2x sin 2x cos 2x  sin 2x Vaø I  J  I   dx   dx=  dx sin 2x  cos 2x sin 2x  cos 2x sin 2x  cos 2x  dt Đặt t=sin2x+cos2x  dt=2 cos2x-sin2x dx Khi x=0  t=1, x=  t   I  J    ln t t   I+J=  Vaäy:   I   ln 16 I  J  ln  Bài 34: Tính I     ln ThuVienDeThi.com Bài 33: Tính tích phân: I   J       x  s inx x s inx dx   dx  2 dx 2 sin x sin x sin x  u=x du  dx    dv= sin x dx v   cotx x dx sin x   3  J= -x.cotx    K      cosx d(sinx) dx  -x.cotx     -x.cotx   ln sinx sinx sinx 3    3   ln   s inx s inx dx  2 dx 2 sin x 1-cos x    t  , x=  t  2 1  1  K   1 dt      dt   ln 2  1 t 1 t  1 t t=cosx  dt=-sinxdx Khi x=    ln  ln   ln 9    x  cosx x  cos x  s inx x  sin x  cosx I   dx I  dx I  dx 3   cos2 x sin x cos2 x s inx s inx cosx cosx Chú ý: I   dx   dx   dx I dx   dx   dx 2 s inx sin x 1-cos x cosx cos x 1-sin x  I  J  K  Bài 35: Tính tích phân:   u=x du  dx    dv=cot x   v   cotx-x  I  2 x.cot xdx  2 x cot x   1dx 4    I  x cotx+x        x cotx+x        I   x.tan xdx      4 cotx+x dx  x cotx+x      cosx dx   xdx sinx  d sinx     xdx  x cotx+x    ln s inx sinx 4  I  2 1  x .cot xdx    x2        ln 32    32 I  2 x cot x  1dx  I   1  2x  1  tan x dx Bài 36: Tính tích phân: tan x   dx t=tanx+1, tanx=t-1, dt= dx, I cos2 x cos2 x tan x  1 2 t  1 t  2t  21 1 dt  dt  dt    I t3  I      t3 tan x  1 cos2 x 3tan x  dx  t2  t3  t2 tan x  1 I dx cos2 x 2  tan x    t x=0  t=1 x= cot x   dx I sin x 1  cot x   cot x    I dx   3   sin x cot x  ThuVienDeThi.com Bài 37: Tính tích phân: I dx x 1 x  x dx x.x 1 x t= 1+x3  t   x3 , x3  t  1, 2tdt  3x dx Khi x=1  t= 2, x=2  t=3 tdt 3 dt  1  32 I=        dt   ln 2 2 t  1.t t   t  t   Bài 38: Tính tích phân: I dx ln 1 e x  ex dx ln e x 1 e x t= 1+ex  t  1+ex , ex  t  1, 2tdt  ex dx Khi x=0  t= 2, x=ln2  t= 3 I=  2tdt  t  1.t  3 dt     dt   ln   3  2  t 1  t 1 t 1     Bài 39: Tính tích phân: dt dx t=1+ex  dt  ex dx  dx  , x=0  t=1 x=ln2  t=3 x 1 e t 1 3 dt 1     dt  I=  t t-1 t 1 t    I   ln 2 I   ln ln ex dx  dx 0 ex 1  ex   ex t=1+ex  dt  ex dx, ex  t  1, x=0  t=1 x=ln2  t=3 3 2 I=  I=  3 dt 1     dt  t t-1  t 1 t  10 ThuVienDeThi.com ... 6   3 ThuVienDeThi.com Bài 24: Tính tích phân: I x  6x  9dx   4 x  3 dx  1 x  dx   x2   x2   3  x dx   x  3dx   3x      3x   1   3 Bài 25: Tính tích... t   I  J    ln t t   I+J=  Vaäy:   I   ln 16 I  J  ln  Bài 34: Tính I     ln ThuVienDeThi.com Bài 33: Tính tích phân: I   J       x  s inx x s inx dx   dx...  2x  e  x   dv  2dx v  2x  I   1  ln x dx e I   1  ln x xdx e ThuVienDeThi.com Bài 16: Tính tích phân sau: /   1 1         du   x  dx  x dx   x dx   dx