(SKKN CHẤT 2020) hướng dẫn học sinh giải các bài toán chia hết lớp 6

Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến BÁO CÁO KẾT QUA NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Đối với chương trình tốn viết SGK lượng kiến thức khơng nhiều tập áp dụng kiến thức phong phú đa dạng Trong dạng tốn có dạng tốn chia hết, dạng tốn ta bắt gặp xun suốt chương trình tốn THCS Do giáo viên cần rèn cho em kỹ giải dạng tốn Trong q trình giảng dạydạng tốn tơi nhận thấy học sinh cịn yếu khơng biết giải biết giải lập luận chưa chặt chẽ Nếu lớp em khơng làm quen với lập luận chặt chẽ lên lớp em cảm thấy kiến thức áp đặt, từ khơng tạo tị mị, hứng thú mơn học Vì cần có giải pháp lâu dài rèn em biết giải tốn Có tốn học thực lơi em vào dịng say mê chiếm lĩnh tri thức Chính lẽ tơi viết lại sáng kiến trình giảng dạy trường THCS Tân Phong: Hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớớ́p Mong kết sáng kiến mà báo cáo giới thiệu, ứng dụng không phạm vi nhà trường mà cịn nhân rộng ngồi huyện Bình Xuyên 2.Tên sang kiên: Hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớớ́p Chủ đầu tư tao sang kiên: Tác giả sáng kiến kinh nghiệm: Nguyễn Thị Lụa Giáo viên: Trường THCS Tân Phong - Bình xuyên -Vĩnh Phúc Lĩnh vực ap dụng sang kiên: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lĩnh vực giảng dạy mơn tốn Vấn đề giải hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớp bậc THCS Ngày sang kiên được ap dụng lần đầu hoặc ap dụng thử: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lần đầu ngày 10/9/2015 Mô tả bản chất của sang kiên: 6.1 Về nội dung của sang kiên 6.1.1 Cơ sở lí luận: Dạy học tốn dạy cho học sinh phương pháp học toán giải toán Nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinh THCS ngồi việc dạy lí thuyết cịn phải trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải số toán Để nắm vững cách giải dạng toán địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo, cẩn thận kết hợp với kinh nghiệm tích luỹ GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến để giải Thông qua việc giải tập em rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức học vào giải tập, kĩ trình bày, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do nâng cao lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh 6.1.2 Cơ sở thựự̣c tiễn: Trong q trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết”,do em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải toán “chia hết” em phải nắm dạng tốn, phương pháp gỉải, kiến thức cụ thể hố bài, chương Có thể nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng toán Là giáo viên dạy tốn tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp dạng tốn Nhằm giúp em phát triển tư suy luận óc phán đốn, kỹ trình bày linh hoạt nên thống tập đưa từ dễ đến khó, bên cạnh cịn có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều Chính tơi viết sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớớ́p 6.1.3 Nội dung 6.1.3.1 Lý thuyết: a) Định nghĩĩ̃a: Cho hai số tự nhiên a b, b 0, có số tự nhiên x cho b x = a ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a : b = x b) Các dấấ́u hiệự̣u chia hết: SKG toán giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, giáo viên cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 25 125 Mục đích đưa thêm dấu hiệu để vận dụng vào tập học sinh không bị lúng túng lên lớp (7, 8, 9) Chia hết cho 4(hoặc 25) 8(hoặc 125) GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a download by : skknchat@gmail.com Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Số có chữ số tận Số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết cho 11 Tính chấấ́t củủ̉a quan hệự̣ chia hết: + chia hết cho b với b số tự nhiên khác + a chia hết cho a với a số tự nhiên khác + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b,c) = a chia hết cho (b.c) + Nếu a.b chia hết cho c (b,c) = a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m k.a chia hết cho m với k số tự nhiên +Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a b) chia hết cho m 10 11 c) + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m (a + b) khơng chia hết cho m Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n (a.b) chia hết cho (m.n) Nếu (a.b) chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m chia hết cho m với n số tự nhiên + Nếu a chia hết cho b chia hết cho với n số tự nhiên d) Nguyên tắc Đirichlê: Ngay từ lớp giáo viên giới thiệu sơ lược nguyên tắc Đirichlê có nội dung phát biểu dạng toán: “Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m>n) có lồng nhốt khơng hai thỏ” e) Phương pháp chứng minh quy nạp: Muốn khẳng định An với n= 1,2,3,… ta chứng minh sau: +khẳng định A1 +Giả sử Ak với ta suy khẳng định Ak+1 +Kết luận An với n=1;2;3; … Thực ra, dạy tập áp dụng phương pháp giáo viên khơng cần phải nói cầu kỳ, trừu tượng khó hiểu, mà cần xét trường hợp cho học sinh dễ hiểu không thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp g) Phương pháp chứng minh phảủ̉n chứng: Muốn chứng minh khẳng định P có bước: + Giả sử P sai +Nhờ tính chất biết từ giả sử sai suy điều vơ lí + GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Số có Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến +Vậy điều giả sử sai, chứng tỏ P h) Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n Nếu (m,n) = tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Nếu (m,n) khác ta biểu diễn a = a1.a2 chứng minh a1 chia hết cho m, a2 chia hết cho n ngược lại Khi a1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b 6.1.3.2 Các dạng tốn: Trong phần tơi đưa dạng toán từ đến mở rộng hơn, Có rèn hình thành kỹ giải tốn chia hết cho em cách có tảng a) Dạng 1: Dạng toán điền chữ số vàà̀o dấấ́u * để đượự̣c số chia hết cho số Bàà̀i 1: Điền chữ số vàà̀o dấấ́u * để đượự̣c số 78* thỏa mãn điều kiệự̣n: a) Chia hết cho b) Chia hết cho c) Chia hết cho Hướấ́ng dẫn Đây dạng toán gặp dạng tốn đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho số chia hết cho a) Số chia hết cho 780;782;784;786;788 b) Số chia hết cho 785;780 c) Số chia hết cho 780 Bàà̀i 2: Điền chữ số vàà̀o dấấ́u * để đượự̣c số 86* thỏa mãn điều kiệự̣n: a) Chia hết cho b) Không chia hết cho Hướấ́ng dẫn Học sinh làm: Số chia hết cho 860; 865 Số không chia hết cho là: 861; 863;864;866;867;868;869 Vì em lại biết số 860; 865 chia hết cho 5? Vì dựa vào dấu hiệu chia hết cho Các số tận chia hết cho ngược lại số khơng có tận khơng chia hết cho b) Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết củủ̉a số: Bàà̀i 1: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba chữ số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Giảủ̉i: Tất số có ba chữ số tạo ba chữ số 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a Tổng số là: GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến a0b ab0 ba0 b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211 Vậy tổng tất số chia hết cho 211 Bàà̀i 2: Tìm chữ số a, b cho Hướấ́ng dẫn Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho liên quan đến chữ số tận Khi có chữ số tận cùng, ta xét tổng chữ số liên quan đến chia hết cho Ở ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, số chia hết cho đương nhiên chia hết cho = (Vì a chữ số hàng nghìn nên số khơng có nghĩa) Vậy a= 9; b= chia hết cho đồng thời 2;3;5;9 Bàà̀i 3: Phảủ̉i viết thêm vàà̀o bên phảủ̉i số 579 ba chữ số nàà̀o để đượự̣c số chia hết cho 5; 7; Giảủ̉i: Giả sử ba số viết thêm Ta có: chia hết cho 5.7.9 = 315 Mặt khác: = 579000 + = (315.1838 + 30 + ) chia hết cho 315 Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + ) chia hết cho 315 30 + B(315) Do 100 30 + 999 130 30 + 1029 315; 630; 945 Vậy ba số viết thêm vào 285; 600; 915 Bàà̀i 4: Tìm chữ số a, b cho Giảủ̉i: Lập luận Mà điều kiện a – b = nên ta loại a + b = Từ a –b = a + b = 12 ta tìm a = 8; b = Bàà̀i 5: Tìm a, b cho GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a chia hết vàà̀ THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Hướấ́ng dẫn Lập luận chia hết cho trước ta a = a = + Thay a = vào ta Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho cách tính tổng chữ số +Tương tự với a = ta Bàà̀i 6:Tìm chữ số a vàà̀ b cho Hướấ́ng dẫn: Để tìm a b ta phải thấy hai dấu hiệu số chia hết cho Vì chia hết b=0 b=5 chia hết suy b=0 Mặt khác , chia hết chia hết cho chia hết cho suy a {0;2;4;6;8} Ta có chia hết cho chia hết a=2 a=6 Vậy a=2 b=0 a=6 b=0 nên số cần tìm 1920 1960 Bàà̀i 7: Chữ số a làà̀ để Giảủ̉i: a số chẵn 15 Từ (1) (2 ) suy a = Vậy số phải tìm 6666696 Bàà̀i 8: Tìm tấấ́t cảủ̉ chữ số a, b để có số chia hết cho 36 Giảủ̉i: Vì (4, 9) = nên chia hết cho 36 chia hết cho chia hết cho Ta có: chia hết cho 5b chia hết cho b 2;6 chia hết cho (3 + + a + + b) chia hết cho (9 + + a + b) chia hết cho (3 + a + b) chia hết cho Vì a, b N a; b Nên a + b ; 15 Nếu b = a = a = 13 ( lớn - Loại ) Nếu b = a = a = Vậy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 Bàà̀i 9: Tìm chữ số a để 11 Hướấ́ng dẫn GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chẵn 2a Hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (a + 2) - 2a = 2- a Nếu a < 2- a không chia hết cho 11 Nếu a để (a - 2) 11 a - = a = Vậy a=2 c) Dạng 3: Chứng minh chia hết đối vớấ́i biểu thức số Bàà̀i 1: Tổng (hiệự̣u) sau có chia hết cho khơng? a) 2412+4164 b) 2745-5412 c) 1.2.3.4.5.6.7.8.9 + 18 Hướấ́ng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho để lập luận a Khơng 4164 khơng chia hết cho b Khơng 5412 khơng chia hết cho c Có chia hết cho Bàà̀i 2: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7 N=16354+67541 Chứng tỏ rằng: M chia hết cho N chia hết cho Giảủ̉i: Ta có: 7.9.11.13 3(vì ) 2.3.4.7 (vì 3) 7.9.11.13 + 2.3.4.7 Vậy M chia hết cho Ta có giá trị tổng 16 354 + 67 541 có chữ sơ tận nên chia hết cho Vậy N chia hết cho Bàà̀i 3: Chứng minh (3n)1000 chia hết cho 81: Giảủ̉i: Ta có (3n)1000 = 31000 n1000 = 34 3996 n1000 = 81.3996.n1000 Vì 81 chia hết cho 81 nên 81 3996 n1000 chia hết cho 81 (3n)1000 chia hết cho 81 Bàà̀i 4: Chứng minh rằng: 165 + 215 chia hết cho 33 Giảủ̉i: Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 33 Vì 33 chia hết cho 33 suy 215 33 chia hết cho 33 Vậy 165 + 215 chia hết cho 33 d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích số liên tựự̣ nhiên liên tiếp chia hết cho số GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Để làm dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp Tuy nhiên, dạy lớp ta khơng cần phải nói khó hiểu mà dạy cho em xét trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếu…thì …” Khi em làm dạng tập thuận tiện để em làm dạng toán chia hết lớp Bàà̀i 1: Chứng tỏ tích hai số tựự̣ nhiên liên tiếp chia hết cho GV cần gợi mở ta chứng minh toán với cặp giá trị liên tiếp N, cần hai cặp giá trị đủ mà phải chứng minh dạng tổng quát Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1 Nếu a tốn giải Nếu a a chia dư Ta có a= 2k + a + = 2k + + = 2k + 2 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bàà̀i 2: Chứng minh tích ba số tựự̣ nhiên liên tiếp chia hết cho Giảủ̉i: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2 Nếu a tốn giải Nếu a = 3k+1(nghĩa a chia dư 1) lúc Ta có a+2 = 3k+1+2 = 3k+3 Nếu a= 3k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc Ta có a+1= 3k+2+1 = 3k+3 Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Do tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bàà̀i Chứng minh tích củủ̉a bốn số tựự̣ nhiên liên tiếp chia hết cho Giảủ̉i: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 Nếu a tốn giải Nếu a = 4k+1(nghĩa a chia dư 1) lúc Ta có a+3= 4k+1+3 = 4k+4 Nếu a= 4k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc Ta có a+2= 4k+2+2 = 4k+4 Nếu a = 4k+3(nghĩa a chia dư 3) lúc Ta có a+1= 4k+3+1 = 4k+4 Sau giải tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập dạng tổng quát GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến *Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bàà̀i 4: Chứng minh tổng củủ̉a ba số tựự̣ nhiên liên tiếp chia hết cho Giảủ̉i: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + Tổng ba số tự nhiên liên tiếp a + a + + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho (Tính chất chia hết tổng) Từ tập giáo viên đưa học sinh vào tình có vấn đề : Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay khơng? Qua gợi trí tị mị, muốn giải vấn đề học sinh Sau giáo viên gợi ý để trả lời câu hỏi em cần làm tập sau: Bàà̀i 5: Tổng củủ̉a số tựự̣ nhiên liên tiếp có chia hết cho hay không ? Giảủ̉i: Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = (a + a + a + a) + (1 + + 3) = (4a + 6) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4a + 6) không chia hết cho Vậy tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bàà̀i 6: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 vớấ́i a , b làà̀ số tựự̣ nhiên Giảủ̉i: Vì 495 chia hết 495.a chia hết cho với a Vì 1035 chia hết 1035.b chia hết cho với b Do (495a + 1035b) chia hết cho Chứng minh tương tự ta có: (495a + 1995b) chia hết cho với a, b Mà (9, 5) = suy (495a + 1035b) chia hết cho 45 Bàà̀i 7: Chứng minh tích củủ̉a hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giảủ̉i: Gọi hai số chẵn liên tiếp 2a, 2a + (a N) Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2a.(2a + 2) = 4a.(a + 1) Vì a, a + khơng tính chẵn lẻ nên a.(a+ 1) chia hết cho Mà chia hết 4a.(a + 1) chia hết cho (4.2) 4a.(a + 1) chia hết cho 2a.(2a + 2) chia hết cho Bàà̀i 8: Chứng minh tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Giảủ̉i: Gọi ba số chẵn liên tiếp 2a, 2a +2, 2a +4 (a N) Tích chúng 2a.(2a+2).(2a+4) = 2.a.2(a+1).2(a+2) = 8.a.(a+1).(a+2) Ta có a.(a+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến ( theo tốn 1) Ta có a.(a+1).(a+2) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (theo toán 2) Mà (2,3) = nên a.(a+1) (a+2) chia hết cho Vì 8.a.(a+1).(a+2) 48 Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 e) Dạng 5: Dạng tốn vận dụự̣ng ngun lí Đirichlê Đối với dạng tốn vận dụng ngun lí Đirichlê giáo viên khơng sâu mà giới thiệu cho học sinh biết áp dụng suy luận dễ hiểu Bàà̀i 1: Cho ba số lẻ, chứng minh tồn hai số có tổng hoặự̣c hiệự̣u chia hết cho Hướấ́ng dẫn: Một số lẻ chia cho số dư bốn số sau: 1;3;5;7 ta chia số dư thành nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Có số lẻ (3 thỏ) mà có hai nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu số dư khác tổng chúng chia hết cho Vậy tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho Bàà̀i 2: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 Hướấ́ng dẫn: Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư số: 1; 5; 7; 11 Chia làm hai nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư 11 Nhóm 2: dư dư Có số nguyên tố lớn mà có nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho 12 - Nếu số dư khác tổng chúng chi hết cho 12 Vậy ba số nguyên tố lớn tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 f) Dạng 6: Tìm điều kiệự̣n để biểu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức Bàà̀i 1: Tìn n N để: a) n+4 n GV: Nguyễn Thị Lụụ̣a THCS Tân phong download by : skknchat@gmail.com Trang 10 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến 3n + n c) 27- 5n n Giảủ̉i: n Vậy n n Vậy n 27 n Vậy n 5n < 27 hay n