Hướng dẫn học sinh giải các bài toán chia hết lớp 6

Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Đối với chương trình tốn viết SGK lượng kiến thức khơng nhiều tập áp dụng kiến thức phong phú đa dạng Trong dạng tốn có dạng tốn chia hết, dạng tốn ta bắt gặp xun suốt chương trình tốn THCS Do giáo viên cần rèn cho em kỹ giải dạng tốn Trong q trình giảng dạydạng tốn tơi nhận thấy học sinh cịn yếu khơng biết giải biết giải lập luận chưa chặt chẽ Nếu lớp em khơng làm quen với lập luận chặt chẽ lên lớp em cảm thấy kiến thức áp đặt, từ khơng tạo tị mị, hứng thú mơn học Vì cần có giải pháp lâu dài rèn em biết giải tốn Có tốn học thực lơi em vào dịng say mê chiếm lĩnh tri thức Chính lẽ tơi viết lại sáng kiến trình giảng dạy trường THCS Tân Phong: Hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớp Mong kết sáng kiến mà báo cáo giới thiệu, ứng dụng không phạm vi nhà trường mà cịn nhân rộng ngồi huyện Bình Xuyên 2.Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớp Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tác giả sáng kiến kinh nghiệm: Nguyễn Thị Lụa Giáo viên: Trường THCS Tân Phong - Bình xuyên -Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lĩnh vực giảng dạy mơn tốn Vấn đề giải hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớp bậc THCS Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lần đầu ngày 10/9/2015 Mô tả chất sáng kiến: 6.1 Về nội dung sáng kiến 6.1.1 Cơ sở lí luận: Dạy học tốn dạy cho học sinh phương pháp học toán giải toán Nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinh THCS ngồi việc dạy lí thuyết cịn phải trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải số toán Để nắm vững cách giải dạng toán địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo, cẩn thận kết hợp với kinh nghiệm tích luỹ để giải Thông qua việc giải tập em rèn luyện kĩ vận GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến dụng kiến thức học vào giải tập, kĩ trình bày, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do nâng cao lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh 6.1.2 Cơ sở thực tiễn: Trong q trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết”,do em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải tốn “chia hết” em phải nắm dạng toán, phương pháp gỉải, kiến thức cụ thể hoá bài, chương Có thể nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng tốn Là giáo viên dạy tốn tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp dạng toán Nhằm giúp em phát triển tư suy luận óc phán đốn, kỹ trình bày linh hoạt nên thống tập tơi đưa từ dễ đến khó, bên cạnh cịn có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thơng qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều Chính tơi viết sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải toán chia hết lớp 6.1.3 Nội dung 6.1.3.1 Lý thuyết: a) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b, b  0, có số tự nhiên x cho b x = a ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a : b = x b) Các dấu hiệu chia hết: SKG toán giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, giáo viên cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 25 125 Mục đích đưa thêm dấu hiệu để vận dụng vào tập học sinh không bị lúng túng lên lớp (7, 8, 9) Chia hết cho Dấu hiệu Số có chữ số tận chữ số chẵn Số có tổng chữ số chia hết cho 4(hoặc 25) Số chia hết cho 4(hoặc 25) hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 4(hoặc 25) Số có chữ số tận Là số đồng thời chia hết cho 8(hoặc 125) Số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chữ số tận lập thành số chia hết cho 8(hoặc 125) Số có tổng chữ số chia hết cho GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến 10 11 Số có chữ số tận Số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết cho 11 c) Tính chất quan hệ chia hết: + chia hết cho b với b số tự nhiên khác + a chia hết cho a với a số tự nhiên khác + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b,c) = a chia hết cho (b.c) + Nếu a.b chia hết cho c (b,c) = a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m k.a chia hết cho m với k số tự nhiên +Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a  b) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m (a  b) khơng chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n (a.b) chia hết cho (m.n) + Nếu (a.b) chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m a n chia hết cho m với n số tự nhiên + Nếu a chia hết cho b a n chia hết cho b n với n số tự nhiên d) Nguyên tắc Đirichlê: Ngay từ lớp giáo viên giới thiệu sơ lược nguyên tắc Đirichlê có nội dung phát biểu dạng toán: “Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m>n) có lồng nhốt khơng hai thỏ” e) Phương pháp chứng minh quy nạp: Muốn khẳng định An với n= 1,2,3,… ta chứng minh sau: +khẳng định A1 +Giả sử Ak với k  ta suy khẳng định Ak+1 +Kết luận An với n=1;2;3; … Thực ra, dạy tập áp dụng phương pháp giáo viên khơng cần phải nói cầu kỳ, trừu tượng khó hiểu, mà cần xét trường hợp cho học sinh dễ hiểu không thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp g) Phương pháp chứng minh phản chứng: Muốn chứng minh khẳng định P có bước: + Giả sử P sai +Nhờ tính chất biết từ giả sử sai suy điều vơ lí +Vậy điều giả sử sai, chứng tỏ P GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến h) Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n Nếu (m,n) = tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Nếu (m,n) khác ta biểu diễn a = a1.a2 chứng minh a1 chia hết cho m, a2 chia hết cho n ngược lại Khi a1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b 6.1.3.2 Các dạng toán: Trong phần tơi đưa dạng tốn từ đến mở rộng hơn, Có rèn hình thành kỹ giải toán chia hết cho em cách có tảng a) Dạng 1: Dạng tốn điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho số Bài 1: Điền chữ số vào dấu * để số 78* thỏa mãn điều kiện: a) Chia hết cho b) Chia hết cho c) Chia hết cho Hướng dẫn Đây dạng toán gặp dạng tốn đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho số chia hết cho a) Số chia hết cho 780;782;784;786;788 b) Số chia hết cho 785;780 c) Số chia hết cho 780 Bài 2: Điền chữ số vào dấu * để số 86* thỏa mãn điều kiện: a) Chia hết cho b) Không chia hết cho Hướng dẫn Học sinh làm: Số chia hết cho 860; 865 Số không chia hết cho là: 861; 863;864;866;867;868;869 Vì em lại biết số 860; 865 chia hết cho 5? Vì dựa vào dấu hiệu chia hết cho Các số tận chia hết cho ngược lại số khơng có tận khơng chia hết cho b) Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết số: Bài 1: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba chữ số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Giải: Tất số có ba chữ số tạo ba chữ số 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba ; b0a Tổng số là: a0b  ab0  ba  b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211 Vậy tổng tất số chia hết cho 211 Bài 2: Tìm chữ số a, b cho a63b chia hết cho đồng thời 2;3;5;9 Hướng dẫn Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho liên quan đến chữ số tận Khi có chữ số tận cùng, ta xét tổng chữ số liên quan đến chia hết cho Ở ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, số chia hết cho đương nhiên chia hết cho a63b 2,5  b  a630 3,9  a    0   a 9  a 9  a  0;9 a 9 (Vì a chữ số hàng nghìn nên số khơng có nghĩa) Vậy a= 9; b= a63b chia hết cho đồng thời 2;3;5;9 Bài 3: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho 5; 7; Giải: Giả sử ba số viết thêm abc Ta có: 579abc  ; ;  579abc chia hết cho 5.7.9 = 315 Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315 Mà 315.1838 chia hết cho 315  (30 + abc ) chia hết cho 315  30 + abc  B(315) Do 100  abc  999  130  30 + abc  1029  30 + abc  315; 630; 945  abc  285 ; 600 ; 915 Vậy ba số viết thêm vào 285; 600; 915 Bài 4: Tìm chữ số a, b cho 87 ab a – b = Giải: Lập luận 87 ab    a  b  15  a  b  a  b  3;12 Mà điều kiện a – b = nên ta loại a + b = Từ a –b = a + b = 12 ta tìm a = 8; b = Bài 5: Tìm a, b cho b851a chia hết GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Hướng dẫn Lập luận chia hết cho trước ta a = a = + Thay a = vào b851a ta b8512 Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho cách tính tổng chữ số b851a 3  b     2  b  163  b  2;5;8 +Tương tự với a = ta b  1; 4; 7 Bài 6:Tìm chữ số a b cho 19ab chia hết cho Hướng dẫn: Để tìm a b ta phải thấy hai dấu hiệu số chia hết cho Vì 19ab chia hết b=0 b=5 19ab chia hết suy b=0 Mặt khác , 19a chia hết 19a chia hết cho a0 chia hết cho suy a  {0;2;4;6;8} Ta có 19a chia hết cho 9a chia hết a=2 a=6 Vậy a=2 b=0 a=6 b=0 nên số cần tìm 1920 1960 Bài 7: Chữ số a để aaaaa96 chia hết cho Giải: aaaaa96   a96   100a + 96  suy 100a  a số chẵn  a  2, 4, 6, 8} (1) aaaaa96   (a + a + a + a + a + + )   5a + 15  15   5a  mà (5, 3) = Suy a  a  3, ,9} (2) Từ (1) (2 ) suy a = Vậy số phải tìm 6666696 Bài 8: Tìm tất chữ số a, b để có số 34a5b chia hết cho 36 Giải: Vì (4, 9) = nên 34a5b chia hết cho 36  34a5b chia hết cho 34a5b chia hết cho Ta có: 34a5b chia hết cho  5b chia hết cho  b  2 ; 6 34a5b chia hết cho  (3 + + a + + b) chia hết cho  (9 + + a + b) chia hết cho  (3 + a + b) chia hết cho Vì a, b  N  a; b  Nên a + b  6 ; 15 Nếu b = a = a = 13 ( lớn - Loại ) Nếu b = a = a = Vậy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 Bài 9: Tìm chữ số a để 1aaa1  11 GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Hướng dẫn Tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chẵn 2a Hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (a + 2) - 2a = 2- a  Nếu a < 2- a khơng chia hết cho 11  Nếu a  để (a - 2)  11 a - =  a = Vậy a=2 c) Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức số Bài 1: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng? a) 2412+4164 b) 2745-5412 c) 1.2.3.4.5.6.7.8.9 + 18 Hướng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho để lập luận a Khơng 4164 khơng chia hết cho b Khơng 5412 khơng chia hết cho c Có chia hết cho Bài 2: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7 N = 16 354 + 675 41 Chứng tỏ rằng: M chia hết cho N chia hết cho Giải: Ta có: 7.9.11.13  3(vì 93 ) 2.3.4.7  (vì  3) 7.9.11.13 + 2.3.4.7  Vậy M chia hết cho Ta có giá trị tổng 16 354 + 67 541 có chữ sơ tận nên chia hết cho Vậy N chia hết cho Bài 3: Chứng minh (3n)1000 chia hết cho 81: Giải: Ta có 1000 (3n) = 31000 n1000 = 34 3996 n1000 = 81.3996.n1000 Vì 81 chia hết cho 81 nên 81 3996 n1000 chia hết cho 81 1000 chia hết cho 81  (3n) Bài 4: Chứng minh rằng: 165 + 215 chia hết cho 33 Giải: Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 33 Vì 33 chia hết cho 33 suy 215 33 chia hết cho 33 Vậy 165 + 215 chia hết cho 33 GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho số Để làm dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp Tuy nhiên, dạy lớp ta không cần phải nói khó hiểu mà dạy cho em xét trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếu…thì …” Khi em làm dạng tập thuận tiện để em làm dạng toán chia hết lớp Bài 1: Chứng tỏ tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho GV cần gợi mở ta chứng minh toán với cặp giá trị liên tiếp N, cần hai cặp giá trị đủ mà phải chứng minh dạng tổng quát Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1  Nếu a  tốn giải  Nếu a  a chia dư Ta có a= 2k + a + = 2k + + = 2k +  Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài 2: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2  Nếu a  tốn giải  Nếu a = 3k+1(nghĩa a chia dư 1) lúc Ta có a+2 = 3k+1+2 = 3k+3   Nếu a= 3k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc Ta có a+1= 3k+2+1 = 3k+3  Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Do tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 Nếu a  tốn giải  Nếu a = 4k+1(nghĩa a chia dư 1) lúc Ta có a+3= 4k+1+3 = 4k+4   Nếu a= 4k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc Ta có a+2= 4k+2+2 = 4k+4   Nếu a = 4k+3(nghĩa a chia dư 3) lúc GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Ta có a+1= 4k+3+1 = 4k+4  Sau giải tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập dạng tổng quát *Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 4: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + Tổng ba số tự nhiên liên tiếp a + a + + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho (Tính chất chia hết tổng) Từ tập giáo viên đưa học sinh vào tình có vấn đề : Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay không? Qua gợi trí tị mị, muốn giải vấn đề học sinh Sau giáo viên gợi ý để trả lời câu hỏi em cần làm tập sau: Bài 5: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay không ? Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = (a + a + a + a) + (1 + + 3) = (4a + 6) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4a + 6) không chia hết cho Vậy tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài 6: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với a , b số tự nhiên Giải: Vì 495 chia hết 495.a chia hết cho với a Vì 1035 chia hết 1035.b chia hết cho với b Do (495a + 1035b) chia hết cho Chứng minh tương tự ta có: (495a + 1995b) chia hết cho với a, b Mà (9, 5) = suy (495a + 1035b) chia hết cho 45 Bài 7: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp 2a, 2a + (a N) Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2a.(2a + 2) = 4a.(a + 1) Vì a, a + khơng tính chẵn lẻ nên a.(a+ 1) chia hết cho Mà chia hết 4a.(a + 1) chia hết cho (4.2)  4a.(a + 1) chia hết cho  2a.(2a + 2) chia hết cho Bài 8: Chứng minh tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Giải: Gọi ba số chẵn liên tiếp 2a, 2a +2, 2a +4 (a  N) Tích chúng 2a.(2a+2).(2a+4) = 2.a.2(a+1).2(a+2) GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến = 8.a.(a+1).(a+2) Ta có a.(a+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ( theo tốn 1) Ta có a.(a+1).(a+2) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (theo toán 2) Mà (2,3) = nên a.(a+1).(a+2) chia hết cho Vì 8.a.(a+1).(a+2)  48 Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 e) Dạng 5: Dạng toán vận dụng ngun lí Đirichlê Đối với dạng tốn vận dụng ngun lí Đirichlê giáo viên khơng sâu mà giới thiệu cho học sinh biết áp dụng suy luận dễ hiểu Bài 1: Cho ba số lẻ, chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho Hướng dẫn: Một số lẻ chia cho số dư bốn số sau: 1;3;5;7 ta chia số dư thành nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Có số lẻ (3 thỏ) mà có hai nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu số dư khác tổng chúng chia hết cho Vậy tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho Bài 2: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư số: 1; 5; 7; 11 Chia làm hai nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư 11 Nhóm 2: dư dư Có số nguyên tố lớn mà có nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho 12 - Nếu số dư khác tổng chúng chi hết cho 12 Vậy ba số nguyên tố lớn tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 f) Dạng 6: Tìm điều kiện để biểu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 10 Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Bài 1: Tìn n  N để: a) n+4  n b) 3n +  n c) 27- 5n  n Giải: n  4n    n Vậy n  1;2; 4 n n  3n   n b)    n Vậy n  1;7 3n  n  27  5n  n  c)   27  n Vậy n  1;3;9; 27 5n < 27 hay n