(SKKN CHẤT 2020) CHUYÊN đề một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng

Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - Chuyên đề MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG PHẦN I KHÁI QUÁT CHUNG Bài toán chứng minh thẳng hàng dạng toán quen thuộc, đề thi học sinh giỏi Nhưng gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ lúng túng Để loại bỏ lúng túng ấy, chuyên đề sau đây, thống kê số hướng để giúp học sinh tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng, kèm theo số ví dụ minh họa Sự phân loại phương pháp chuyên đề mang tính cá nhân Một số hướng tiếp cận gặp toán chứng minh thẳng hàng: Hướng 1: Sử dụng góc bù Hướng 2: Sử dụng tính chất hình bình hành Hướng 3: Sử dụng tiên đề đường thẳng song song Hướng 4: Sử dụng tính chất đường tròn Hướng 5: Sử dụng tia trùng đối Hướng 6: Thêm điểm Hướng 7: Sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt Đối tượng để dạy bồi dưỡng chuyên đề em học sinh khá, giỏi toán lớp 9, chủ yếu học sinh đội tuyển học sinh giỏi toán Dự kiến chuyên đề bồi dưỡng buổi, với thời lượng tiết - Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - PHẦN II PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I Hướng thứ nhất: Sử dụng góc bù + Nếu có điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự + Tổng quát: Nếu quay xung quanh điểm A tia AB1, AB2, , ABn theo thứ tự mà điểm B1; A; Bn thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC có góc B C nhọn, đường cao AH Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân ABD, ACE ( BAD = CAE = 900) Gọi M trung điểm DE Chứng minh H, A, M thẳng hàng Dựng hình bình hành AEFD M trung điểm AF (t/c hình bình hành) EF = DA = BA Mặt khác EA = CA (gt); AEF EFA = ABC (c-g-c) A1 Mà A2 C1 ( Hai góc tương ứn A2 = 90 C1 A1 A1 A2 A3 180 Hay FAH 180 M, A, H thẳng hàng Ví dụ Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M cung nhỏ BC E, F thứ tự điểm đối xứng M qua AB, AC, gọi H trực tâm ABC Chứng minh E, H, F thẳng hàng Giải Gọi B’ giao điểm BH AC; - Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com - A’ giao điểm AH BC Tứ giác HA’CB’ nội tiếp H A'CB ' BCA (t/c đối xứng trục) Tứ giác AHBE nội tiếp EHB EAB M Tương tự ta có: EHB H1 = A ACB ABC BAC 180 EHF 180 * Đường thẳng qua điểm E, H, F nói có tên đường thẳng Steiner ứng với điểm M * Việc chứng minh điểm E, H, F nói thẳng hàng đề cập đề thi Olympic Japan 1996: Cho tam giác ABC, M điểm đường tròn (ABC) Gọi K, P, Q điểm đối xứng M qua BC, CA, AD Chứng minh P, K, Q nằm đường thẳng qua điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi đường tròn (ABC) (Olympia Japan 1996) II Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất hình bình hành Có thể sử dụng tính chất : hai đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường Do đó, chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành O trung điểm AC B,O,D thẳng hàng Ví dụ Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I trung điểm AB Chứng minh H, I, M thẳng hàng Giải MB BC, AH BC (suy từ giả thiết) MB // AH Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - Mà MA // BH (cùng vng góc với AC) AMBH hình bình hành AB cắt MH trung điểm I AB MH (t/c hình bình hành) H, I, M thẳng hàng Ví dụ Cho ABC điểm M tam giác Gọi A 1, B1, C1 thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi O giao điểm BB1 CC1 Chứng minh điểm A, O, A1 thẳng hàng Giải Gọi D, E, F thứ tự trung điểm BC, CA, AB EF đường trung bình ABC MB1C1 (suy từ giả thiết) EF 2BC BC // B1C1 BC = B1C1 BCB1C1 hình bình hành O trung điểm BB1 CC1 (t/c hình bình hành) + Tương tự ta có: ABA1B1 hình bình hành AA1 cắt BB1 O trung điểm BB1 AA1 A, O, A1 thẳng hàng III Hướng thứ ba: Sử dụng tiên đề đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua điểm ngồi đường thẳng kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho Do đó, qua điểm A ta kẻ AB AC song song với đường thẳng d A, B, C thẳng hàng - Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com - Ví dụ Chứng minh rằng: trung điểm hai cạnh bên hai đường chéo hình thang ln thẳng hàng Với hình thang ABCD (AB // CD) M, N, P, Q thứ tự trung điểm AD, BC, BD, AC Cần chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Từ (gt) MN, MP, MQ thứ tự đường trung bình hình thang ABCD, ABD, ACD MN // AB; MP // AB; MQ // CD hay MQ // AB M, N, P, Q thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) Ví dụ Cho ABC nhọn, đường cao AH, BD CE Gọi M, N, P, Q thứ tự hình chiếu H AB, BD, CE AC Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng + Từ (gt) MH //CE; NH // AC MN // ED + Chứng minh tương tự ta có: PQ // ED (2) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng HAC HAB ta có: A AH2=AQ.AC=AM.AB AQ AB AM AC DAB (vì AQ AM (định lý Talét đảo) Kết hợp với (1), (2) ta có - AD mà  ∽ AE hay download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - M, N, Q thẳng hàng M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Do M, N, P, Q thẳng hàng IV Hướng thứ tư: Sử dụng tính chất đường trịn Khi B tâm đường trịn đường kính AC, đường tròn tâm A đường tròn tâm C tiếp xúc B điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Ví dụ Cho (O) đường kính AB Điểm M chuyển động (O), M ≠ A; M ≠ B Kẻ MH vng góc với AB Vẽ đường trịn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh rằng: a) C, D, O1 thẳng hàng b) ABDC nội tiếp M D a) Ta có O1 AMB 90 BHO CM D CD đường kính (O1) C, D, O1 thẳng hàng b) MCHD hình chữ nhật nội tiếp (O1) MCD MHD (2 góc nội tiếp chắn MD ) Mà MCD B MCD ACD B ACD 1800 ABDC nội tiếp Ví dụ Cho đường tròn (O) dây cung AB Lấy I thuộc đoạn AB cho IA > IB Gọi D điểm cung nhỏ AB, DI cắt (O) điểm thứ hai C Tiếp tuyến với (O) C cắt AB K Lấy điểm E cho KE KI IE, EC cắt (O) F Giải - Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - Giải A B2 C Đường thẳng Sim son tam giác ABC ứng với điểm M đường thẳng qua A1, B1, C1 Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB AMB ACB Ta có Mà AMB Và ACB (Hai góc nội tiếp chắn cung AB) AC2 B ( Tính chất đối xứng trục) BHD (Hai góc có cạnh tương ứng vng góc) BHD AC2 BTứ giác AC2BH nội tiếp C2 HB C2 AB ( Hai góc nội tiếp chắn cung BC2) Tương tự ta có: B2 HC B2 AC B2 HC2 BAC BHC 1800 C2; H; B2 thẳng hàng B1C1 đường trung bình tam giác MB2C2 B1C1 qua trung điểm MH - 16 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - PHẦN IV MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Hãy lựa chọn phương pháp hợp lí để chứng minh điểm thẳng hàng tập 1) Cho ABC nhọn nội tiếp (O), trực tâm H Gọi I trung điểm BC A’ điểm đối xứng A qua O CMR: H, I, A’ thẳng hàng 2) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O 1) qua A C cắt BA, BC thứ tự điểm K, N; đường tròn (O 2) qua B, K N cắt (O) điểm thứ hai M (khác B) Gọi I, J thứ tự trung điểm BO1 , BM CMR: I, J, O2 thẳng hàng 3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Vẽ Ax, AD cắt BC E, Ay AB, cắt CD F CMR: E, F, O thẳng hàng 4) Cho ABC trực tâm H Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường trịn đường kính BC CMR: M, H, N thẳng hàng 5) Cho ABC nội tiếp (O), trực tâm H, M điểm cung BC không chứa A Gọi N, E thứ tự điểm đối xứng M qua AB AC CMR: N, H, E thẳng hàng 6) Cho  ABC nội tiếp (O) Lấy D thuộc cạnh AC (D ≠ A; D ≠ C) Đường thẳng BD cắt (O) F Đường thẳng qua A vng góc với AB đường thẳng qua F vng góc với FC cắt P Hãy CMR: P, D, O thẳng hàng - 17 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com - MỘT SỐ BÀI TOÁ TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH THPT CHUYÊN Bài (ĐTS THPT chuyên năm 2005) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường phân giác cắt I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt a) Chứng minh tam giác NIC cân N b) Chứng minh I trực tâm tam giác MNP c) Gọi E giao điểm MN AC; F giao điểm c minh E,I,F thẳng hàng d) Gọi K trung điểm BC Giả sử BI IK BI = a) NIC NCI b) Do NIC cân N nên NI=NC (1) tương tự MIC cân M nên MI=MC (2) từ (1) (2) ta có MN trung trực IC MN PC tương tự BN PM, AM PN mà AM,BN,CP cắt I Nên I trực tâm MNP (đpcm) c) Có (Do I C đối xứng qua MN) Mà C1 B1 Và B1 => I1 I2 I2 mà Bài (ĐTS THPT chuyên năm 2005) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Vẽ tia CE lấy hai điểm D E cho D nằm đoạn CE (O1) ngoại tiếp tam giác ACD cắt (O2) ngoại tiếp tam giác BEC điểm H (H ≠ C) - 18 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - CMR: a) Ba điểm A, H, E thẳng hàng b) H thuộc đường trịn đường kính AB c) Đường thẳng qua hai điểm H C qua điểm cố định C di chuyển đoạn thẳng AB (C ≠ A; C ≠ B) Giải CE a) CA CD CB Mà ECB ACD 90 CEB Gọi giao CAD (c ∽ điể mcủa B D với AE H1 Ta phải chứng minh H1 H Gọi K giao điểm AD BE Dễ thấy DKE AK BE D trực tâm ABE DHA 90 H1 giao (O1) (O2) H1 H Vậy A, H, E thẳng hàng b) AHB 900 (suy từ chứng minh trên)H thuộc đường tròn đường kính AB c) CBE vng C E1 BHC 300 Gọi F giao điểm HC đường trịn đường CBE 60 kính AB BHF 300 sđ BF 600 mà B cố định HC qua điểm F (cố định) C di chuyển Bài 3: ( ĐTS THPT chuyên năm 2008) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm cung AB Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng qua hai điểm A K cắt (O) M (M≠A) Kẻ CH AM (H AM) Đường thẳng OH cắt đường BC N Đường thẳng MN cắt (O) D (D ≠ M) CMR: a) BHCM hình bình hành b) OHC = OHM c) B, H, D thẳng hàng - 19 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - Giải A a) Ta có CH AM (gt) BM AM ( AMB 90 CHK BMK Mặt khác CK KB( gt) CKH BKM Từ (1 ), (2) ta có tứ giác BHCM hình bình hành ( đpcm) b) Ta có CHM vng H có CMH 450 nên CHM vuông cân H=> CH=HM xét tam giác OCH ; OHM có: OC OM (bk) CH HM (cmt) OHC OHM (c.c.c) c) Ta chứng minh BH//CM BD//CM Vì tứ giác BHCM hình bình hành nên BH//CM (3) OC OM Ta lại có CH HM OH trung trực CM,mà N thuộc OH nên NC=NM Nên CNM cân N ,nên CMN MCN sđ CD = sđ BM MCB CBD BD / / CM (4) từ (3),(4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm) - 20 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - Bài ( ĐTS THPT chuyên năm 2009) Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khơng trùng với A, B trung điểm cung AB) Gọi H hình chiếu vng góc C AB Đường trịn (O1) đường kính AH cắt CA E, đường trịn (O2) đường kính BH cắt CB F 1) Chứng minh tứ giác AEFB tứ giác nội tiếp 2) Gọi (O3) tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D điểm đối xứng C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng 3) Gọi S giao đường thẳng EF AB, K giao điểm thứ hai SC với đường tròn (O) Chứng minh KE vng góc với KF Giải 1) Dễ chứng minh tứ giác CEHF hình chữ nhật Ta có nên tứ giác AEFB nội tiếp O1 2) Kẻ trung trực EF cắt HD O 3’ chứng minh O3’ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB Chứng minh CD EF D Trong tam giác CHD có IO3’ đường trung bình nên O3’O AB mà OA=OB nên O3’O trung trực AB nên O3’ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, tức O3’trùng với O3 Hay H,O3 ,D thẳng hàng 3) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy FKS mà FBA FBA CEF nên Bài ( HSG Vĩnh Phúc năm 2010-2011) Cho tam giác cắt đường thẳng Gọi nhọn với trực tâm Đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với tại cắt đường thẳng theo thứ tự trung điểm - 21 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com - Chứng minh Đường thẳng Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác 1) Gọi Khi tứ giác Do cách xác định điểm D nên Từ (1) (2) suy tam giác tự trung tuyến hai tam giác đó, nên Từ đó, Tương tự có Từ (3) (4) suy 2) Do (do Tương tự có Từ suy nằm đường trịn Khi PHẦN VI - 22 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - KẾT LUẬN CHUNG Qua trình nghiên cứu chuyên đề, trình trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp dự thi học sinh giỏi cấp, bồi dưỡng học sinh dự thi vào trường chuyên lớp chọn, thấy: Phần chuyên đề: “Một số hướng tiếp cận toán chứng minh ba điểm thẳng hàng” phát huy tính sáng tạo học sinh Các em biết vận dụng kiến thức vào việc giải đề thi đạt kết đồng thời tham gia tích cực vào việc giải hai tạp chí Tốn học & tuổi trẻ, Tốn tuổi thơ Nhờ có q trình thường xun tích luỹ kinh nghiệm tự học tự rèn học hỏi đồng nghiệp thường xuyên bổ sung, hoàn thiện nâng cao chất lượng chuyên đề để chuyên đề ngày phát huy hiệu cao Chất lượng học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh, học sinh thi đỗ vào trường chuyên tăng cao Kết đạt áp dụng chuyên đề (đối với năm học 2012 – 2013): Số lượng HS đội tuyển Bình Xuyên, tháng 02 năm 2014 Người viết Trần Văn Quảng - 23 Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP download by : skknchat@gmail.com ... skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - M, N, Q thẳng hàng M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Do M, N, P, Q thẳng hàng. .. skknchat@gmail.com Một số hướng tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng - PHẦN IV MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Hãy lựa chọn phương pháp hợp lí để chứng minh. .. vào trường chuyên lớp chọn, thấy: Phần chuyên đề: ? ?Một số hướng tiếp cận toán chứng minh ba điểm thẳng hàng? ?? phát huy tính sáng tạo học sinh Các em biết vận dụng kiến thức vào việc giải đề thi đạt