Chuyên đề Kiến thức cơ bản về đại số29295

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ Chuyên đề 1: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ( a+b+c ) =a +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế biểu thức từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) b) Nhân chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác không) c) Thay biểu thức biểu thức khác với biểu thức Lưu ý: + Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phịng nghiệm + Bình phương hai vế phương trình đề phịng dư nghiệm 2) Các bước giải phương trình Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận ThuVienDeThi.com I Giải biện luận phương trình ax+b=0: Dạng : ax + b = ⎧x : ẩn số ⎨ a, b : tham số (1) Giải biện luận: Ta có : Biện luận: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b ≠ phương trình (1) vô nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b • a ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − a • a = b ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x • Nếu a ≠ (2) ⇔ x = − Điều kiện nghiệm số phương trình: Định lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta có: • (1) có nghiệm ⇔ • (1) vô nghiệm ⇔ • (1) nghiệm với x ⇔ ThuVienDeThi.com a ≠0 ⎧a = ⎨ b ≠ ⎧a = ⎨ b = II.Giải biện luận phương trình ax2+bx+c=0: Dạng: ⎧x : ẩn số ⎨ a, b , c : tham soá ax + bx + c = (1) Giải biện luận phương trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = (1) phương trình bậc : bx + c = • b ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − c b • b = c ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có ( Δ ' = b '2 − ac với b' = Biệt số Δ = b − 4ac Biện luận: Nếu Δ < pt (1) vô nghiệm Nếu Δ = pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = − b 2a Nếu Δ > pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = −b ± Δ 2a ( x1 = x2 = − ( x1,2 = Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Định lý : Xét phương trình : ax + bx + c = (1) ⎧a = ⎧a ≠ ⎪ ⇔ ⎨b = hoaëc ⎨ Δ < ⎪c ≠  Pt (1) vô nghiệm ⎧a ≠ ⇔ ⎨ Δ = ⎧a ≠ ⇔ ⎨ Δ > Pt (1) có nghiệm kép Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⎧a ≠ ⇔ ⎨ Δ ≥ ⎧a = ⎪ ⇔ ⎨b = ⎪c =  Pt (1) có hai nghiệm Pt (1) nghiệm với x Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) có hai nghiệm phân biệt ThuVienDeThi.com b' ) a − b' ± Δ ' ) a b ) Định lý VIÉT phương trình bậc hai: Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1, x2 b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x = − a ⎨ ⎪ P = x x = c ⎪ a Định lý đảo : Nếu có hai số α , β maø α + β = S vaø α β = P ( S ≥ P ) α , β nghiệm phương trình x2 - Sx + P = Chú ý: Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = x = c a Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = −1 x = − Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau: Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = (1) ( a ≠ ) ⎧Δ > ⎪ Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ ⎨P > ⎪S >  Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ ⎧Δ > ⎪ ⎨P > ⎪S <  Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P (1) (hoaëc ≥, −b (2) Biện luận: • • • b a b Nếu a < (2) ⇔ x < − a Nếu a = (2) trở thành : 0.x > −b * b ≤ bpt vô nghiệm * b > bpt nghiệm với x Nếu a > ( 2) ⇔ x > − II Dấu nhị thức bậc nhất: Dạng: f ( x) = ax + b (a ≠ 0) Bảng xét dấu nhị thức: x ax+b −∞ − Trái dấu với a b a ThuVienDeThi.com +∞ Cùng dấu với a III Dấu tam thức bậc hai: f ( x) = ax + bx + c Dạng: (a ≠ 0) Bảng xét dấu tam thức bậc hai: Δ0 +∞ −∞ b 2a x1 Định lý: Cho tam thức baäc hai: f ( x) = ax + bx + c f ( x) > ∀x ∈ R • f ( x) < ∀x ∈ R • f ( x) ≥ ∀x ∈ R • f ( x) ≤ ∀x ∈ R (a ≠ 0) ⎧Δ < ⇔ ⎨ a > ⎧Δ < ⇔ ⎨ a < ⎧Δ ≤ ⇔ ⎨ a > ⎧Δ ≤ ⇔ ⎨ a < IV Bất phương trình bậc hai: Dạng: Cùng dấu a x2 +∞ Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a Điều kiện không đổi dấu tam thức: • +∞ ax + bx + c > ( hoaëc ≥, ⎪ A < B ⎡⎧A ≥ ⎢⎨ ⎢B < A >B⇔ ⎢ ⎧B ≥ ⎢ ⎪⎨ ⎢⎣ ⎪ A > B2 Minh họa: (TN-2010) VI Các phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cách giải: * Daïng : A = B ⇔ A = B , A = B ⇔ A = ±B ⎧B ≥ * Daïng : A = B ⇔ ⎨ , A = B ⎧B ≥ A =B⇔⎨ A = ±B * Daïng 3: ⎧B > , A B ⇔ ⎢⎧ B ≥ ⎢⎨ A > B ⎣ ⎧B > A B ⇔ ⎢ ⎧B ≥ ⎢⎣ ⎨A < −B ∨ A > B ThuVienDeThi.com GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM Chuyên đề 2: A Giới hạn Các giới hạn bản: 1) lim C = C (C số) x → x0 2) lim f(x) = f(x0 ) (f(x0) phải xác định) x → x0 1 C = , lim k = , lim k = x →∞ x →∞ x x →∞ x x →∞ x Một vài giới hạn đặc biệt a) lim x k = +∞ với k nguyên dương 3) lim C = C , lim x →+∞ b) lim x k = −∞ với k số lẻ x →−∞ a) lim x k = +∞ với k số chẵn x →−∞ Các quy tắc tính giới hạn: 1) lim [ f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x → x0 x → x0 x → x0 2) lim [ f(x).g(x)] = lim f(x) lim g(x) x → x0 x → x0 x → x0 f(x) ⎡ f(x) ⎤ xlim → x0 3) lim ⎢ = x →x0 g(x) ⎥ g(x) ⎣ ⎦ xlim →x Quy tắc 1: Nếu lim f (x) = ±∞ lim g(x) = L ≠ lim [ f (x).g(x) ] = ? cho bảng sau: x →x0 x →x0 lim f (x) = ±∞ x →x0 Dấu L x →x0 lim [ f (x).g(x)] x →x0 + +∞ +∞ +∞ −∞ − −∞ −∞ + −∞ +∞ − + − (Quy tắc nầy cho trường hợp sau: x → x ; x → x ; x → +∞; x → −∞ ) Quy tắc 2: Nếu lim f (x) = L ≠ lim g(x) = g(x) > g(x) < với x ∈ I\ {x } , x → x0 x → x0 I khoảng chứa x0 lim x → x0 Dấu L Dấu g(x) f (x) = ? cho bảng sau: g(x) f (x) g(x) + + +∞ + −∞ − −∞ + − +∞ − − + − (Quy tắc nầy cho trường hợp sau: x → x ; x → x ; x → +∞; x → −∞ ) lim x → x0 ThuVienDeThi.com Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau a) lim ( − x + 3x − 4x + ) b) lim ( x + 3x + ) x →−∞ x →+∞ ⎛ x4 3⎞ d) lim ⎜ − x + ⎟ x →+∞ 2⎠ ⎝ c) lim ( − x + 2x + 3) x →−∞ Ví dụ 2: Tính giới hạn sau 2x + a) lim x →−∞ x − a) lim+ x →2 b) lim x →+∞ 2x + x−2 b) Ví dụ 3: Tính giới hạn sau 2x − 3x − a) lim x →+∞ x − 2x a) lim− x →2 2−x 2x + lim ⎛ 1⎞ x →⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ − 2−x 2x + ⎡ 2x − 3x − ⎤ − 2x ⎥ b) lim ⎢ x →+∞ ⎣ x−2 ⎦ x − 2x − x−2 b) lim+ x →2 x − 2x − x−2 B Liên tục Các định nghĩa: • Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng ( a; b ) x ∈ ( a; b ) Hàm số f gọi liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x ) x →x0 • Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng ( a; b ) Hàm số f gọi liên tục khoảng ( a; b ) liên tục điểm thuộc khoảng ( a; b ) • Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định đoạn [ a; b ] ⎧⎪ lim+ f (x) = f (a) Hàm số f gọi liên tục đoạn [ a; b ] liên tục khoảng ( a; b ) ⎨ x →a lim f (x) = f (b) ⎪ x → b− Định lý: 1) Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm 2) Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỷ (thương hai đa thức) liên tục tập xác định chúng (tức liên tục điểm thuộc tập xác định chúng) 3) Các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x liên tục tập xác định chúng C Đạo hàm 1) Định nghóa đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x ∈ (a; b) Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0, ký hiệu f'(x0) hay y'(x0) giới hạn hữu hạn (nếu có) f(x) − f(x ) lim x → x0 x − x0 f(x) − f(x ) x→x0 x − x0 f '(x ) = lim 10 ThuVienDeThi.com Ý nghóa hình học đạo hàm: • Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 f'(x0) (C) đồ thị hàm số M (x ; f(x )) ∈ (C) Δ tiếp tuyến (C) M y (C): y=f(x) M0 f(x0 ) Δ x x0 a) Ý nghóa hình học đạo hàm: • Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc k tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M (x ; f(x )) k = f '(x ) (k = tan α với α = ( ox; Δ ) ) b) Phương trình tiếp tuyến: • Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0;f(x0)) là: y = f '(x )(x − x ) + f(x ) ⎧⎪y = f(x ) y − y = k ( x − x ) : ⎨ ⎪k = f '(x ) Các quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm tổng hiệu tích thương hàm số ′ a Đạo hàm tổng ( hiệu ): (u ± v ) = u ′ ± v′ hay: b Đạo hàm tích: (u.v )′ = u ′.v + u.v′ ′ Đặc biệt ( C.u ) = C.u′ Với C số c Đạo hàm thương: ′ ⎛ u ⎞ u ′.v − u.v′ Đặc biệt ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ ′ ′ ⎛C⎞ C.v ' ⎛ ⎞ −1 ⎜ ⎟ = ⎜ v ⎟ = − v ⎝v⎠ v ⎝ ⎠ d Đạo hàm hàm số hợp: Cho hai hàm số y = f (u ) vaø u = g(x ) y = f [g(x )] gọi hàm hợp hai hàm số trên, đó: y′x = y′u u′x 11 ThuVienDeThi.com Đạo hàm hàm số bản: (C)′ = (x)' =1 ′ (x ) n Với u hàm số ( C số ) ( C.x ) ' = C = n.x n −1 ′ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = − (x ≠ 0) x ⎝x⎠ ′ x = ( x > 0) x (sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x ′ ( tan x ) = = + tan x cos x ′ ( cot x ) = − = − (1 + cot x ) sin x ′ a.d − c.b ⎛ ax + b ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ cx + d ⎠ (cx + d ) ( ) ′ (u ) ( n ∈ N, n ≥ ) n = n.u n −1.u ′ ′ u′ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =− u ⎝u⎠ ′ u′ u = u (sin u )′ = u ′ cos u (cos u )′ = −u ′ sin u u′ ′ ( tan u ) = = (1 + tan u).u′ cos u u′ ′ ( cot u ) = − = − (1 + cot u ) u′ sin u ′ ⎛ ax + bx + c ⎞ a.a1 x + 2a.b1 x + b.b1 − a1 c ⎟⎟ = ⎜⎜ (a1 x + b1 )2 ⎝ a1 x + b1 ⎠ ( ) Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau x4 − x2 − 1) y = − x + 4x − 5x − 11 2) y = 2 2x − 3x − 2x − 3) y= 4) y = 3x + 2x + Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = sin x + s in2x 2) y = cos 2x + cos x x 3) y= 2sinx − sin x 4) y = + sin x Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = x + 2x + 2) y = x + − − x x2 3) y= ( − x ) x + 4) y = x2 −1 Ví dụ 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: x+3 1) y = x − x 2) y = x2 +1 3) y = x − + − x 4) y = x + − x Ví dụ 5: Tính f '(x) giải phương trình f '(x) = biết 1) f (x) = 2x + 3x − 36x − 10 3) f (x) = x + 2x + x +1 2) f (x) = x − 2x + 4) f (x) = x − 8x + x2 +1 12 ThuVienDeThi.com Ví dụ 6: Tính f '(x) lập bảng xét dấu f '(x) biết 1) f (x) = x − x + 2) f (x) = − x + 8x + 3x + x2 − x +1 4) f (x) = 3) f (x) = 1− x x −1 Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số 1) y = x − 3x + điểm (C) có hồnh độ 2) y = x − 2x điểm (C) có tung độ 2x + 3) y = giao điểm (C) với trục tung 2x − Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số 1) y = x − 3x + biết tiếp tuyến có hệ số góc 2) y = x − 2x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x 2x + biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x 3) y = 2x − C VI PHÂN Nếu hàm số f có đạo hàm f' tích f '(x).Δx gọi vi phân hàm số y = f (x) , ký hiệu df (x) = f '(x).Δx (1) Đặc biệt với hàm số y = x ta có dx = ( x ) '.Δx = Δx nên (1) viết thành: df (x) = f '(x).dx hay dy = f '(x).dx Hết 13 ThuVienDeThi.com Chuyên đề 3: KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Sơ đồ chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức Dựa vào chương trình SGK + đáp án BGD để biên soạn Chương trình Cơ + Nâng cao Hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) 1) Tập xác định: D = » 2) Sự biến thiên: • a) Chiều biến thiên: + y' = ? y' = ⇔ x = ? + Xét dấu y': −∞ x y' • • - Kết luận khoảng đơn điệu hàm số b) Cực trị: kết luận cực trị hàm số c) Giới hạn: lim y = ? lim y = ? x →−∞ • +∞ ? ? x →+∞ (Chỉ nêu kết khơng cần giải thích chi tiết) d) Bảng biến thiên: -∞ x y' y +∞ ? ? ? (Bảng biến thiên phải đầy đủ chi tiết) 3) Đồ thị: Giao điểm đồ thị với trục tọa độ: x =0⇒ y =? + Giao điểm với Oy: + Giao điểm với Ox (nếu có): y = ⇔ x = ? y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 14 ThuVienDeThi.com Hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) 1) Tập xác định: D = » 2) Sự biến thiên: • a) Chiều biến thiên: + y' = ? y' = ⇔ x = ? + Xét dấu y' −∞ x y' • • - Kết luận khoảng đơn điệu hàm số b) Cực trị: kết luận cực trị hàm số c) Giới hạn: lim y = ? lim y = ? x →−∞ • +∞ ? ? x →+∞ (Chỉ nêu kết khơng cần giải thích chi tiết) d) Bảng biến thiên: -∞ x y' y +∞ ? ? ? (Bảng biến thiên phải đầy đủ chi tiết) 3) Đồ thị: Giao điểm đồ thị với trục tọa độ: + Giao điểm với Oy: x = ⇒ y = ? + Giao điểm với Ox (nếu có): y = ⇔ x = ? y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 15 ThuVienDeThi.com Sơ đồ chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ Dựa vào chương trình SGK + đáp án BGD để biên soạn Chương trình Cơ + Nâng cao Hàm số y = ax + b cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) ⎧ d⎫ 1) Tập xác định: D = » \ ⎨− ⎬  c⎭ 2) Sự biến thiên: • a) Chiều biến thiên: ad − bc d ; kết luận y ' < y ' > với x ≠ − + y' = c ( cx + d ) - Kết luận khoảng đơn điệu hàm số • b) Cực trị: hàm số khơng có cực trị • c) Giới hạn tiệm cận: d + lim − y = ? vaø lim + y = ? ⇒ x = − tiệm cận đứng c ⎛ d⎞ ⎛ d⎞ x→ − x→ − ⎜ ⎟ ⎝ c⎠ + lim y = x →−∞ • ⎜ ⎟ ⎝ c⎠ a a a ⇒ y = tiệm cận ngang vaø lim y = x →+∞ c c c (Chỉ nêu kết không cần giải thích chi tiết) d) Bảng biến thiên: x -∞ − y' y d c +∞ ? ? ? ? (Bảng biến thiên phải đầy đủ chi tiết) 3) Đồ thị: Giao điểm đồ thị với trục tọa độ: + Giao điểm với Oy: x = ⇒ y = ? + Giao điểm với Ox: y = ⇔ x = ? y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 16 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau 1) y = x + 3x − 2) y = − x + 3x − 3) y = − x + 3x − 4x + 4) y = x − 3x + 4x − 5) y = x − 3x + 3x − 6) y = − x + 3x − 3x + 2 7) y = x3 − x + 8) y = − x3 + x + 9) y = x − x3 10) y = x3 − x + x − Bài 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau 1) y = x − 2x − 2) y = − x + 2x + 3) y = − x − 2x + 4) y = x + 2x − 1 5) y = x − x + ( ) 7) y = x − x4 6) y = − x − 2 8) y = x − x Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau 2x − 1− x 1) y = 2) y = x −1 x+2 − 2x −x − 4) y = 5) y = −x − 2− x 2 Bài 4: Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + ( m − 3m + ) x + 4x +1 2x − 3 − 2x 6) y = x −1 3) y = 1) Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu 2) Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía trục tung Bài 5: Cho hàm số y = x + mx + ( m + ) x − ( 2m + 1) Tìm m để đồ thị hàm số cho đồng biến » Bài 6: (TN 2011) 17 ThuVienDeThi.com GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Chuyên đề 4: A TÓM TẮT GIÁO KHOA I) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D • Số M gọi GTLN hàm số y = f ( x ) tập D điều sau thỏa mãn ⎧i) f ( x ) ≤ M ∀x ∈ D ⎨ii) ∃x ∈ D : f x = M ( 0)  Ký hiệu: M = Max f ( x ) x∈D • Số m gọi GTNN hàm số y = f ( x ) tập D điều sau thỏa mãn ⎧i) f ( x ) ≥ m ∀x ∈ D ⎨ii) ∃x ∈ D : f x = m ( 0)  Ký hiệu: m = f ( x ) x∈D Minh họa: y M=6 y=f(x)=x3-3x+4 D=[-5/2;3/2] x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -5/2 -1 -1 3/2 10 -2 -3 -4 m=33/8 -5 • • Quy ước: Ta quy ước nói GTLN hay GTNN hàm số f mà khơng nói "trên tập D" ta hiểu GTLN hay GTNN TẬP XÁC ĐỊNH Đối với GTLN GTNN hàm nhiều biến có định nghĩa tương tự 18 ThuVienDeThi.com II) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN: 1) Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa) Một số kiến thức thường dùng: b Δ a) f ( x ) = ax + bx + c = a( x + )2 − 2a 4a a+b b) Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số a, b không âm ( a, b ≥ ) ta ln có: ≥ ab Dấu "=" xảy a = b 2) Phương pháp : Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình (hay phương pháp miền giá trị) Một số kiến thức thường dùng: a) Phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm ⇔ Δ ≥ b) Phương trình a cos x + b sin x = c ( a, b ≠ ) có nghiệm ⇔ a + b ≥ c Cơ sở lý thuyết phương pháp: Cho hàm số xác định biểu thức dạng y = f ( x ) Tập xác định hàm số định nghĩa : D = { x ∈ » | f(x) có nghĩa} Tập giá trị hàm số định nghĩa : T = { y ∈ » | Phương trình f(x) = y có nghiệm x ∈ D } Do ta tìm tập giá trị T hàm số ta tìm đựơc GTLN GTNN hàm số 3) Phương pháp : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích) • Điều kiện tồn GTLN GTNN: Định lý: Hàm số liên tục đoạn [ a; b ] đạt GTLN GTNN đoạn (Weierstrass 2) • Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN GTNN hàm số y = f ( x ) miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN hàm số D dựa vào BBT suy kết • Phương pháp riêng: • • • Chú ý: Phải kiểm tra tính liên tục hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] , tránh áp dụng cách hình thức 19 ThuVienDeThi.com B THỰC HÀNH GIẢI TOÁN 1) Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1: Tìm GTLN hàm số f ( x ) = −2x + 8x + Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số f ( x ) = 2x − 4x + 12 Ví dụ 3: Tìm GTNN hàm số sau với x ∈ (1; +∞ ) a) f ( x ) = x + x −1 b) f (x) = x − + x −3 2) Phương pháp : Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình x2 + x + Ví dụ : Tìm GTLN GTNN hàm số y = x −x+2 + sin x Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số y = + cos x 3) Phương pháp : Sử dụng đạo hàm Ví dụ 1: Tìm GTLN GTNN hàm số sau: x−2 đoạn [ 0; 2] x+2 a) y = x − 3x − 9x + 35 đoạn [ −4, 4] b) y = ⎡ π π⎤ c) y = s in2x − x đoạn ⎢ − ; ⎥ ⎣ 2⎦ d) y = x + − x e) y = 2025 − 2011x đoạn [ 0;1] f) y = x − 3x + đoạn [ 2;6] x −1 Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số a) y = 2sin x − sin x đoạn [ 0; π] x+2 đoạn [ 0;1] x −1 h) y = x − e2 x đoạn [ −1;0] g) y = − b) y = cos x − cos x + ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM Năm 2009 Năm 2008 Năm 2007 20 ThuVienDeThi.com ... (nhớ đổi dấu biểu thức) 2) Nhân chia hai vế bpt với số biểu thức khác Ghi nhớ quan trọng: + Âm đổi chiều + Dương khơng đổi chiều 3) Thay biểu thức bpt biểu thức khác với biểu thức Giải biện luận:... 2) ⇔ x > − II Dấu nhị thức bậc nhất: Dạng: f ( x) = ax + b (a ≠ 0) Bảng xét dấu nhị thức: x ax+b −∞ − Trái dấu với a b a ThuVienDeThi.com +∞ Cùng dấu với a III Dấu tam thức bậc hai: f ( x) =... ThuVienDeThi.com Chuyên đề 3: KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Sơ đồ chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức Dựa vào chương trình SGK + đáp án BGD để biên soạn Chương trình Cơ + Nâng cao Hàm