Toán 10 Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu28876

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu Hệ đối xứng loại (kiểu) I: ìï f(x, y) = ìï f(x, y) = f(y, x) a Là hệ có dạng : ïí , ïí ïï g(x, y) = ỵ ïï g(x, y) = g(y, x) ỵ b Phương pháp giải chung: - Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) - Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S2 ³ 4P - Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Sau tìm S, P x, y nghiệm phương trình t2 – St + P = c Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P: x2 + y2 = (x + y) – 2xy = S2 – 2P x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P x4 + y4 = (x2 + y 2) – 2x y = (S2 – 2P) – 2P d Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta sử dụng phương pháp khác như: - Phương pháp - Phương pháp hàm số - Phương pháp điều kiện cần đủ - Phương pháp đánh giá e Các ví dụ: ìï x 2y + xy = 30 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ïí (1) ïï x + y = 35 ỵ GIẢI ìï S = x + y Đặt ïí điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình (1) trở thành: ïï P = xy ỵ ìï ïï P = 30 ìï SP = 30 ïí S Û Û íï ïï S - 3PS) = 35 ïï 30 ỵ ïï S - S = 35 ỵ S ïìï S = í ïï P = ỵ ét = => x, y nghiệm phương trình t2 – 5t + = Û êê t = ê ë Vậy hệ (1) có nghiệm (2;3); (3;2) * Lưu ý số trường hợp đặc biệt: i) Có hệ phương trình trở thành loại I sau đặt ẩn phụ: Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -1ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu ìï x + xy + y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ïí (2) ïï x - y - xy = ỵ GIẢI Nhận xét: Hệ vốn khơng đối xứng ìï x - t x + t = Đặt t= - y ta hệ đối xứng: ïí ïï x + t + t x = ỵ ìï S = x + t ïì S - 3P = Đặt ïí , điều kiện S2 ³ 4P ta được: ïí Û S2 + 3S - 10 = ïï P = xt ỵ ïï S + P = ỵ éìï S = êïí êï P = ïì S = - ïỵ Û ïí Û ê ê ì êïï S = ïỵï S = êíï P = ê ëỵï - (loai khơng t hoa mãn S2 ³ 4P) ìï S = ïì x + t = Với ïí ta có: ïí ïï P = ỵ ïï x.t = ỵ => x, t nghiệm phương trình u2 – 2u + = => u = Vậy x= t =1 t = => y = -1 Vậy hệ (1) có nghiệm (1; -1) ii) Trong số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) sau đặt ìï S = u + v ïí ta hệ phương trình đơn giản so với việc đặt ïï P = uv ỵ ìï xy + x + y = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ïí ïï (x + 1) + (y + 1)3 = 35 ỵ ìï S = x + y ïí ïï P = xy ỵ (3) GIẢI ìï u = x + ïì uv = Đặt ïí (3) trở thành ïí 3 ïï v = y + ỵ ïï u + v = 35 ỵ ìï S = u + v Đặt ïí , hệ (3’) trở thành ïï P = uv ỵ (3’) ìï P = ì ïí ïíï S = Û ïï S3 - 3PS = 35 ïï P = ỵ ỵ ìï t = => u, v nghiệm phương trình t2 – 5t + = Û ïí ïï t = ỵ => (3’) có nghiệm (2;3) (3;2) => Hệ phương trình (2) có nghiệm (1;2); (2;1) ìï x + y + x + y = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ïí (4) ïï xy(x + 1)(y + 1) = 12 ỵ Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -2ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu GIẢI ïì S = x + y Nhận xét: Nếu đặt ïí ta thu hệ ïï P = xy ỵ ìï u = x(x + 1) Đặt ïí (4) trở thành ïï v = y(y + 1) ỵ ìï S2 + S - 2P = ïí (-> phức tạp) ïï P(P + S + 1) = 12 ỵ ìï u + v = ïí ïï uv = 12 ỵ ét = => u, v nghiệm phương trình t2 – 8t + 12 = êê t = ê ë éìï u êïí êï v Vậy êêỵïì êïï u êíï v êỵï ë = = = = Do ta có ìï x + x - = ìï x + x - = ïí ïí ïï y + y - = ïï y + y - = î î Vậy (4) có nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2) ìï ïï x + y + + = ï x y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ïí (5) ïï 1 ïï x + y + + = x y ïỵ GIẢI ìï S = x + y Nhận xét: Nếu đặt ïí thơng thường dẫn tới hệ phương trình ïï P = xy ỵ phức tạp Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ ìï ïï u = x + x (5) trở thành Đặt ïí ïï ïï v = y + y ïỵ Đặt ïìï S = u + v í ïï P = uv ỵ điều kiện ìï u + v = ïí (5’) ïï u2 + v = î S2 ³ 4P Hệ phương ìï S = ìï S = ïí ïí Û ïï S2 - 2P = ïỵï P = ỵ => u, v nghiệm phương trình t2 – 4t + = Û t = ìï ïï x + = ìï u = ìï x = x Vậy ïí Û ïí Û ïí ïï v = ïï ïy= ỵ ỵï ïï y + = y ïỵ Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm (1;1) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -3ThuVienDeThi.com trình (5’) trở thành: Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu iii) Có hệ phương trình đối xứng loại I không giải theo cách giải quen thuộc Ta phải dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng giải theo phương pháp quen thuộc ìï x y + y x = 30 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình ïí (6) ïï x x + y y = 35 ïỵ GIẢI Điều kiện x, y ³ Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại I không giải theo phương pháp quen thuộc Đặt u = ìï u2v + uv = 30 (6’) y hệ (6) trở thành ïí ïï u + v = 35 ỵ x;v= Giải ví dụ ta kết nghiệm (6’) (2;3) ; (3;2) => (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4) ìï x + Ví dụ 7: Giải hệ phương trình ïí ïï ïỵ x+ y = y = (7) GIẢI Điều kiện x, y ³ ìï u = Đặt ïí ïï v = ïỵ x y ìï u + v = hệ (7) trở thành ïí (7’) ïï u + v = ỵ Giải theo phương pháp thông thường ta kết nghiệm (7’) (2;1) ; (1;2) => nghiệm hệ (7): (64; 1); (1; 64) ìï 2x + 2y = Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ïí ïï x - y + x + y + x - y = 35 ỵ (8) GIẢI Nhận xét: Đây hệ phương trình đối xứng loại I ẩn x, y không giải theo cách giải quen thuộc ìï u2 + v = Dùng ẩn phụ đặt u = x + y ; v = x - y đưa hệ (8) dạng ïí (8’) ïï u + v + uv = ỵ Hệ (8’) giải theo phương pháp quen thuộc Ta thu kết nghiệm (8) ổ1 ổ3 l ỗỗỗ ; ữ ữ; ỗỗ ; ữ ữ ữ; ữ ỗố2 ứ ố2 ứ ổ 3ử ỗỗ- ; - ữ ữ ữ; ỗố 2 ứ Giỏo viờn: Phm Th Cnh ổ 1ử ỗỗ- ; - ữ ữ ữ; ỗố 2 ứ ổ3 ổ 3ử ữ ỗỗ ; - ữ ỗ ; ữ ữ ữ ỗỗố- ; ứ ữ; ỗố2 ứ -4ThuVienDeThi.com ổ 1ử ổ1 ỗỗ- ; ữ ữ; ỗỗ ; - ữ ữ ữ ữ ỗố2 ứ ỗố 2 ứ Phng phỏp gii h i xứng loại I số tập mẫu * Nhiều hệ dang ban đầu chưa thấy xuất ẩn phụ, trường hợp ta cần sử dụng vài phép biến đổi phù hợp ìï Ví dụ 9: Giải hệ phương trình ïí ïï ïỵ x+ y = x+ 5+ y+ 5= (9) GIẢI Điều kiện x, y >0 ìï (9) Û ïí ïï ïỵ x+ 5+ x+ y+ 5+ y = 10 x + 5- x+ y + 5- y = ìï ( x + + Û ïí ïï ( x + + ïỵ ìï u = Đặt ïí ïï v = ïỵ => u, v ìï u = ïìï ïí hay í ïï v = ï ỵ ïỵï x) + ( y + + x).( y + + x+ 5+ y+ 5+ ìï ïï Û ïí ïï ïïỵ x+ 5+ x+ x + 5+ x + y+ 5+ y = 10 y+ 5+ y = y) = 10 y) = 25 ìï u + v = 10 (u, v > 0) Khi ta có hệ ïí ïï u + v = 25 y ỵ x nghiệm phương trình t2 – 10t + 25 = Û t = x+ 5+ x = y+ 5+ y = (9’) Giải hệ (9’) ta nghiệm (4;4) => Vậy hệ (9) có nghiệm (4;4) iv) Trong số trường hợp gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta giải theo cách giải quen thuộc không chọn ẩn phụ thích hợp để đưa cách giải “quen thuộc” ta dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải ìï x - y = ( 3y - Ví dụ 10: Giải hệ phương trình ïí 3 3x - 1)(x + y + 2) ïï x + y = 16 ỵ GIẢI Điều kiện x, y > ìï 3y - - 3x - 1 ïï = - Nếu x ¹ y (10) Û í y- x x + y + (10’) ïï 3 ïïỵ x + y = 16 Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -5ThuVienDeThi.com (10) Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu Ta nhận thấy 3y - - 3x - 3y - - 3x + = = y- x (y - x)( 3y - + 3x - 1) - < suy (x; y) : x= y không thỏa hệ x + y2 + 2 ìï x = y Với x = y (10) Û ïí 3 ìï x = Û ïí ïỵï x + y = 16 ïỵï y = Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm (2; 2) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -6ThuVienDeThi.com 3y - + 3x - >0 ... Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm (1;1) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -3ThuVienDeThi.com trình (5’) trở thành: Phương pháp gi? ?i hệ đ? ?i xứng lo? ?i I số tập mẫu iii) Có hệ phương trình đ? ?i xứng lo? ?i I. . .Phương pháp gi? ?i hệ đ? ?i xứng lo? ?i I số tập mẫu ìï x + xy + y = Ví dụ 2: Gi? ?i hệ phương trình ïí (2) ïï x - y - xy = ỵ GI? ?I Nhận xét: Hệ vốn khơng đ? ?i xứng ìï x - t x + t = Đặt t= - y ta hệ đ? ?i. .. çè2 ø çè 2 ø Phương pháp gi? ?i hệ đ? ?i xứng lo? ?i I số tập mẫu * Nhiều hệ dang ban đầu chưa thấy xuất ẩn phụ, trường hợp ta cần sử dụng v? ?i phép biến đ? ?i phù hợp ìï Ví dụ 9: Gi? ?i hệ phương trình