Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu composite cốt sợi đồng phương: Xác định module đàn hồi Young E11 tác giả Nguyễn Đính Đức, Hoàng Văn Tùng; Đặt và giải bài toán xác

Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho

vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Nguyễn Tiến Đắc

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn; Mã số: 60 44 21

Người hướng dẫn: PGS TSKH Nguyễn Đình Đức

Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Nghiên cứu về vật liệu composite cốt sợi đồng phương hai pha và ba pha Mô

hình hóa - lý thuyết về vật liệu này và giới thiệu phương pháp xấp xỉ thể tích được sử dụng cho luận văn Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu composite cốt sợi đồng phương: Xác định module đàn hồi Young E11 (tác giả Nguyễn Đính Đức, Hoàng Văn Tùng); Đặt và giải bài toán xác định module khối biến dạng phẳng K23 Xác định các hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu Đưa ra được hàm giải tích của một số đặc trưng cơ học của vật liệu composite cốt

sợi đồng phương hai pha và ba pha

Keywords: Cơ học chất rắn; Vật liệu composite; Vật lý

Content

MỞ ĐẦU

Trong khuụn khổ luận văn này, chỳng tụi chỉ đi sõu nghiờn cứu vào loại vật liệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xỏc định một số module đàn hồi độc lập của compostite hai pha và đưa ra một phương ỏn xỏc định cỏc hệ số gión nở nhiệt của composite ba pha, qua đú gúp phần xỏc định được ứng xử cơ học của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Vấn đề xỏc định module đàn hồi cho composite cốt sợi đồng phương đó được nhiều tỏc giả nghiờn cứu như Christensen, Pobedria, Vanin [8] Cỏch tiếp cận là dựa trờn cỏc phương phỏp như tìm các biểu thức giới hạn nhờ các định lý biến phân năng lượng, tìm lời giải giải tích, phương pháp xác định bằng thực nghiệm Theo cách tìm các biểu thức giới hạn, người ta sử dụng các định lý biến phân năng lượng (định lý thế năng toàn phần) để xác định các cận trên và cận

dưới của các module đàn hồi Tuy nhiên, phương pháp trên dẫn đến các cận, xa với thực tế và chỉ xác định khoảng gần đúng các module này Trong khi đó, phương pháp tìm lời giải giải tích thông qua các hàm năng lượng Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp này được tìm dựa vào các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số nhưng tính toán khá phức tạp

Cỏc cỏch tiếp cận như vậy đó ứng dụng nguyờn lý Esenpi, sử dụng cỏc hàm năng lượng…Ưu điểm của của những phương phỏp đú là cho phộp đưa ra lời giải với độ chớnh xỏc khỏ cao, vấn đề ở chỗ khi giải quyết bài toỏn ta thường gặp rất nhiều khú khăn

Theo cách tiếp cận mới, phương pháp xấp xỉ thể tích đã được giới thiệu trong các bài báo của PGS.TSKH.Nguyễn Đình Đức và những người khác Ưu điểm của phương pháp này dễ nhận thấy là đơn giản, gần gũi, dễ tiếp cận Việc mô hình hoá dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích thường đưa về giải các bài toán cơ bản của lý thuyết đàn hồi để tìm các hằng số đàn hồi

Dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích, luận văn đã đề ra mục tiêu xác định module đàn hồi

23

K - module khối biến dạng phẳng của vật liệu composite cốt sợi đồng phương thông qua bài toán kéo trụ đều mọi phía theo phương ngang với lực kéo không đổi Bên cạnh

đó, luận văn cũng đề xuất một phương án nhằm xác định biểu thức của các hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu như là hàm của các đặc trưng đàn hồi thành phần, các hệ số giãn nở nhiệt thành phần, tỉ lệ thể tích của thành phần sợi và hạt

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU COMPOSTE CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG 1.1 Mụ hỡnh vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Composite cốt sợi đồng phương được cấu tạo từ cỏc sợi song song theo một phương cơ bản nằm trong vật liệu nền Sợi được sử dụng trong vật liệu cú thể làm dưới dạng liờn tục như sợi dài, hoặc cú thể dưới dạng giỏn đoạn như sợi ngắn, vụn,…Khi chế tạo vật liệu, chỳng ta hoàn toàn cú thể điều chỉnh được sự phõn bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật liệu cú cơ - lý tớnh khỏc nhau Khi đú, ta cần chỳ ý đến bản chất của vật liệu thành phần, tỉ lệ của cỏc vật liệu tham gia và phương của sợi

+) a=b=1,    / 2 Khi đó, hình bình hành trở thành hình vuông và cấu trúc được gọi là cấu trúc hình vuông

Hình 1.2: Cấu trúc hình vuông

Trong khuôn khổ luận văn này, ta xem vật liệu nền và sợi đều là những vật liệu đàn hồi đồng nhất, đẳng hướng Hơn nữa, các sợi là dài liên tục và có dạng hình trụ tròn Miền vật liệu nền sẽ ký hiệu là S, miền cốt sợi có tâm đi qua điểm (m,n) trong mặt phẳng  x x1, 2 là Amn Biên của nền và sợi Amn là mn Mắt xích chu kỳ tuần hoàn trên mặt có chiều dài cạnh bằng đơn vị (xem hình vẽ 1.3)

Khi đó, tenxơ hằng số đàn hồi của composite đang xét là hàm tuần hoàn của x1,x2 và không phụ thuộc vào x3:

Cijkl( x x1, 2)   ( x x1, 2)  ij kl   ( x x1, 2)(  ik jl   il jk) trong đó:

1 2 1

2

( , )

mn

khi x S

x x

khi x A

















1 2 1

2

( , )

mn

khi x S

x x

khi x A











 









Theo một số tác giả [3], thực nghiệm chỉ ra vật liệu composite cốt sợi đồng phương là đẳng hướng ngang, do đó nó có 5 hằng số đàn hồi độc lập Đối với trường hợp này, bài toán xác định các module đàn hồi thực chất là đi tìm các biểu thức của 5 module đàn hồi khi ta đã biết các đặc trưng cơ học và hình học của các vật liệu thành phần, ví dụ như module đàn hồi của các sợi, vật liệu nền, độ dài sợi, tỉ lệ khối lượng, tỉ lệ thể tích Cơ tính của sợi và nền trong vật liệu được đặc trưng bởi các module đàn hồi Để tiện cho việc sử dụng, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu:

+ Đặc trưng cho cốt sợi là E ,11

+ Đặc trưng cho vật liệu nền là E ,2 2

+ Tỉ lệ thể tích của pha sợi trong nền là 

Hơn nữa, ta bổ sung thêm các giả thiết sau:

+ Các sợi có cùng các đặc trưng về kích thước như mặt cắt tròn, chiều dài

+ Sự phân bố các sợi trong nền là đều, có cấu trúc tuần hoàn

1.2 Nguyờn lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite

Theo Esenpi, môi trường composite độn là vô hạn chỉ chứa một hạt cầu, tức là sự phân bố

thể tích của các hạt độn trong miền nền coi là nhỏ (  0.3) Do đó, thay vì tính năng lượng của vật thể thông qua tích phân trên biên có hình dạng phức tạp, năng lượng toàn phần của vật thể được tính thông qua năng lượng của miền đồng chất cộng với năng lượng lấy trên biên của miền hạt độn (biên này có hình dạng đơn giản, dễ tính toán)

1.3 Mối quan hệ ứng suất - biến dạng đối với composite cốt sợi đồng phương

Vật liệu composite cốt sợi đồng phương mà luận văn quan tâm chính là loại vật liệu đẳng hướng ngang Phần tử đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương bao gồm một sợi được bao xung quanh bởi một hình trụ làm bằng vật liệu thành phần khác Vì vật liệu này có một trục quay, nên được gọi là vật liệu trực hướng tròn xoay, tức là khi quay hệ cơ sở xung quanh trục trên ta không làm thay đổi ma trân độ cứng hoặc độ mềm Hình vẽ 1.9 dưới đây sẽ mô tả rõ điều này:

(phương x  2, y  3, z  1)

Hình 1.9: Hình không gian của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Bây giờ, ta ký hiệu các đại lượng như sau:

   

;

Khi đó, định luật Hooke biểu thị ứng suất qua biến dạng:

11 12 12

12 22 23

12 23 22

22 23

66

66

2

C C

C C

hay       A 

Nếu biểu thị biến dạng qua ứng suất, ta có:

22 23

66

66

S S S

S S S

S S S

S S

S S

hay       B 

CHƯƠNG 2 XÁC ĐỊNH CÁC MODULE ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU COMPOSITE HAI

PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG 2.1 Phương phỏp xấp xỉ thể tớch

Tư tưởng chính của phương pháp này là ta xem toàn bộ vật thể trong một mô hình được đơn giản hoá Với các giả thiết đã nêu ở trên, ta có một mẫu vật liệu composite như là một khối

hình hộp chữ nhật, khối này chứa các sợi được phân bố đều theo phương dọc của hình hộp Với công nghệ sản xuất đạt chuẩn, vật liệu composite cốt sợi đồng phương được xem như có cấu trúc tuần hoàn Do đó, việc nghiên cứu vật liệu này đưa về xét một phần tử đại diện có dạng hình hộp chứa hình trụ tròn tượng trưng cho pha sợi Phương pháp xấp xỉ thể tích thể hiện ở việc xấp xỉ hình hộp chữ nhật bên ngoài bởi một vỏ trụ có cùng thể tích tượng trưng cho pha nền Kết quả là phần tử thể tích đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương có dạng 2 hình trụ tròn lồng nhau Ta có các bước xấp xỉ thể tích như hình vẽ dưới đây:

Hình 2.1: Phần tử thể tích đại diện của composite cốt sợi đồng phương và mô hình gần đúng 2.2 Xỏc định mođun đàn hồi Young E1 1

Trong [5], vấn đề xác định module đàn hồi Young E1 1 đã được trình bày rất cụ thể và rõ

ràng Bài toán kéo dọc trụ xác định module E1 1 của vật liệu composite cốt sợi đồng phương đưa

ra:



2

1 2 2

4 (1 )( ) (1 )

(1 )

1

Như vậy, bằng phương pháp xấp xỉ thể tích, các tác giả [5] đã đưa ra được kết quả tính

toán module Young E11 như trong biểu thức trên Công thức này trùng với công thức mà Kristensen [8] đã đưa ra

2.3 Xỏc định module khối biến dạng phẳng K23

2.3.1 Đặt và giải bài toỏn

Trên cơ sở cách tiếp cận theo phương pháp xấp xỉ thể tích đã nêu, luận văn đặt ra và giải

bài toán xác định module khối biến dạng phẳng K23 của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Xét trụ không đồng chất làm từ hai vật liệu khác nhau, chịu lực kéo đều trên mặt trụ Giả thiết mỗi miền làm từ vật liệu đàn hồi đồng nhất đẳng hướng, do đó trụ gồm:

+ Miền trong - miền cốt  0   r a  có các đặc trưng 1,1

+ Miền ngoài - miền nền  a   r b  có các đặc trưng 2,2

Trụ được kéo dều mọi phía theo phương ngang bởi lực P2 = const, giả thiết liên kết giữa 2 miền

là lí tưởng, bỏ qua tương tác của các sợi độn và vật liệu nền Khi trụ đủ dài, ta có bài toán biến dạng phẳng với phương pháp giải tương tự như trong lý thuyết đàn hồi Vấn đề đặt ra là: hãy xác định module khối biến dạng phẳng K23 của trụ không đồng chất khi ta xem nó như một vật liệu composite tương đương với các đặc trưng    , 

Hình 2.5: Phần tử đại diện theo phương pháp xấp xỉ thể tích trong trường hợp kéo đều mọi phía

của trụ

Như vậy, sau khi mô hình hoá vật liệu composite, bằng phương pháp xấp xỉ thể tích đã nêu, luận văn đã thiết lập và giải bài toán xác định module khối biến dạng phẳng K23 của vật liệu

composite cốt sợi đồng phương

23 2 2

3

4 1

3 3

K

K K





 





Kết quả tính toán ở công thức trên trùng với kết quả mà Christensen [8] đã đưa ra Như vậy, với

các đặc trưng cho trước của vật liệu thành phần, biết được tỉ lệ thể tích của pha sợi trong nền ,

ta có thể tính được module khối biến dạng phẳng K23 của vật liệu composite nhờ công thức trên

Tuỳ vào mục đích sử dụng và các yêu cầu kĩ thuật đối với vật liệu, ta có thể điều chỉnh mật độ - phương của sợi, thay đổi các đặc trưng của vật liệu thành phần để tạo ra vật liệu composite cốt sợi đồng phương có hằng số vật liệu như mong muốn

2.3.2 Vớ dụ minh họa

Với công thức cho K23 xác định ở trên, tính toán cho vật liệu composite có nền epoxy với các đặc trưng sau:

E2 = 300 kg/mm2 ; 2 = 0.33

và các sợi đồng phương là các sợi thuỷ tinh có các đặc trưng sau:

E1 = 9500 kg/mm2 ; 1 = 0.27

Tính module khối biến dạng phẳng K23 cho trường hợp trên, xét cho các trường hợp

  0.05;0.1;0.2;0.3;0.5;0.61

Thay các giá trị tương ứng của E ,  vào biểu thức của K, xác định tương ứng các giá trị của K1 và K2 của các thành phần cốt và nền Cuối cùng, thay các giá trị của K1và K2 và 

vào biểu thức của K23, ta sẽ được bảng sau:

 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.61

23

K 353.7820 378.1585 435.4449 507.8666 730.7233 938.3005

H×nh 2.7: §å thÞ biÓu diÔn sù phô thuéc cña K23 vào tỉ lệ thể tích  đối với trường hợp vật

liệu composite có cấu trúc hình vuông

CHƯƠNG 3 XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GIÃN NỞ NHIỆT CỦA VẬT LIỆU COMPOSITE BA

PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG ĐỘN HẠT CẦU 3.1 Đặt vấn đề

Vấn đề đặt ra là xác định hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha thông qua các tham số

kỹ thuật của các vật liệu thành phần, tức là đưa ra biểu thức của  Ei, ,   i i, i như là một hàm của các đặc trưng đàn hồi Ei, i, các hệ số giãn nở nhiệt thành phần i, tỉ lệ thể tích thành phần sợi và hạt độn  1, 3

í tưởng chính để giải quyết bài toán đối với composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu là đưa về giải quyết hai bài toán đối với composite hai pha, sau đó kết hợp lại để đưa ra kết quả cuối cùng Đầu tiên, chúng tôi kết hợp pha nền ban đầu với thành phần hạt độn để tạo ra một pha nền mới, gọi là pha nền giả định Thực tế, nền giả định này được giả thiết như là vật liệu composite hai pha độn hạt cầu Sau đó, chúng tôi tìm nghiệm cho trường hợp vật liệu được tạo thành từ pha nền hiệu quả và pha sợi gắn trong nền đó

3.2 Xác định hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu

3.2.1 Hệ số giãn nở nhiệt của nền giả định

Bằng mô hình cầu composite, sử dụng lý thuyết nhiệt đàn hồi [2] và phương pháp xấp xỉ thể tích [6], các tác giả trong [10] đã đưa ra được biểu thức xác định hệ số giãn nở nhiệt của composite hai pha độn hạt cầu như sau:

   3  2 2 3 







   (1)

trong đó:

 2, 3: hệ số giãn nở nhiệt đàn hồi tương ứng của pha nền và hạt

K K2, 3: module khối tương ứng của pha nền và hạt

G2  2: module trượt của pha nền

3: tỉ lệ thể tích của pha hạt

2: hệ số giãn nở nhiệt của nền giả định

3.2.2 Hệ số giãn nở nhiệt của composite hai pha cốt sợi đồng phương

Tiếp tục hướng đi trong mục 3.2.1 nhưng áp dụng cho mô hình trụ composite, các tác giả trong [11] đã đưa ra được biểu thức xác định các hệ số giãn nở nhiệt của loại vật liệu này Cụ

thể, [11] đưa ra các biểu thức sau:

*

2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

*

*

*

1 2 1 2 2 2 1

1

1

3

t t

a t

k







(2)

*

2 1 2 2 1 2

* * *

1 2 1 2 2 2 1

1

1 1

a a

t a a



   1 1 2 2    1 1K1  1 2k       2 2  1 1 2 2   (3)

trong đú:

 1, 2: hệ số gión nở nhiệt đàn hồi tương ứng của pha sợi và nền

k k1, 2: module khối biến dạng phẳng tương ứng của sợi và nền

K K1, 2: module khối tương ứng của pha sợi và nền

 1, 2: hệ số Lame tương ứng của pha sợi và nền

 1, 2: module trượt tương ứng của pha sợi và nền

 1, 2: hệ số Poison của pha sợi và nền

kt*: module khối biến dạng phẳng của composite cốt sợi đồng phương

a*: module trượt của composite cốt sợi đồng phương

Ea*: module Young của composite cốt sợi đồng phương

1: tỉ lệ thể tích của pha sợi

t*: hệ số gión nở nhiệt ngang của composite hai pha cốt sợi đồng phương

a*: hệ số gión nở nhiệt dọc của composite hai pha cốt sợi đồng phương

Hơn nữa, theo [8] cú:

k  K       i 

23 2

1

1 1

3

4 1

3 3

t

K K

 





*

2

a

 

  

2

11 1 1 1 2

1 2 1 2

4 (1 )( ) (1 )

(1 )

1

a

3.2.3 Hệ số gión nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu

Kết hợp hai vấn đề trên, luận văn đề xuất một phương án để đưa ra biểu thức của các hệ

số giãn nở nhiệt ngang và dọc của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu Trong đó, chú ý tới sự thay đổi các đặc trưng đàn hồi của pha nền giả định thay thế cho pha nền

cũ trong các biểu thức (3.2) và (3.3) Biểu thức của hệ số giãn nở nhiệt ngang t và dọc a của loại vật liệu này được xác định như sau:

*

2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

*

1 2 1 2 2 2 1 *

1

1

3

t t

a t

k







(4)

2 1 2 2 1 2

* * *

1 2 1 2 2 2 1

1

1 1

a

a

t a a











   1 1 2 2    1 1K1  1k2      2 2 1 1 2 2  (5)