Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu Composite cốt sợi đồng phương

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi sâu nghiên cứu vào loại vật liệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một số module đàn hồi độc lập của compostite hai ph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Hà Nội, năm 2012

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 1

Mở đầu 2

Chương 1 Tổng quan về vật liệu composite cốt sợi đồng phương 4

1.1 Mô hình 4

1.2 Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite 9

1.3 Mối quan hệ ứng suất - biến dạng của composite cốt sợi đồng phương 16

Chương 2 Xác định các module đàn hồi của vật liệu composite hai pha cốt sợi đồng phương 20

2.1 Phương pháp xấp xỉ thể tích 20

2.2 Xác định module đàn hồi Young E11 20

2.3 Xác định module khối biến dạng phẳng K23 28

2.3.1 Đặt và giải bài toán 28

2.3.2 Ví dụ minh họa 34

Chương 3 Xác định hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu 34

3.1 Đặt vấn đề 34

3.2 Xác định hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu 35

3.2.1 Hệ số giãn nở nhiệt của nền giả định 35

3.2.2 Hệ số giãn nở nhiệt của composite hai pha cốt sợi đồng phương 34

3.2.3 Hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu 37

3.3.Ví dụ bằng số 39

Kết luận 48

Phụ lục 46

Tài liệu tham khảo 497

MỞ ĐẦU

Composite là vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều vật liệu có bản chất khác nhau, nhằm mục đích tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những thành phần ban đầu Nhờ những thuộc tính ưu việt hơn hẳn các vật liệu truyền thống

mà ngày nay vật liệu composite đã được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế cuộc sống, trong các lĩnh vực khác nhau như xây dựng, chế tạo máy, trong giao thông vận tải, công nghiệp nặng, công nghiệp dân dụng, thậm chí cả trong y học và đặc biệt là ứng dụng trong thiết kế chế tạo các kết cấu hàng không, vũ trụ hiện đại,…

Đến nay, có hai cách phân loại vật liệu composite: dựa vào cấu trúc của thành phần cốt hoặc bản chất của vật liệu nền Theo cơ học, composite được phân loại dựa vào cấu trúc của các thành phần cốt, bao gồm composite độn hạt, composite cốt sợi đồng phương, composite phân lớp, composite có cấu trúc không gian, composite tạp lai Theo công nghệ, composite được phân loại dựa trên bản chất của vật liệu nền, bao gồm các loại cơ bản như composite polime, composite kim loại, composite gốm, composite cacbon, nano composite (khi có một thành phần composite có cấu trúc nano)

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi sâu nghiên cứu vào loại vật liệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một số module đàn hồi độc lập của compostite hai pha và đưa ra một phương án xác định các hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha, qua đó góp phần xác định được ứng xử cơ học của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Vấn đề xác định module đàn hồi cho composite cốt sợi đồng phương đã được nhiều tác giả nghiên cứu như Christensen, Pobedria, Vanin [8] Cách tiếp cận là dựa trên các phương pháp như tìm các biểu thức giới hạn nhờ các định lý biến phân năng lượng, tìm lời giải giải tích, phương pháp xác định bằng thực nghiệm Theo cách tìm các biểu thức giới hạn, người ta sử dụng các định lý biến phân năng lượng (định lý thế

năng toàn phần) để xác định các cận trên và cận dưới của các module đàn hồi Tuy nhiên, phương pháp trên dẫn đến các cận, xa với thực tế và chỉ xác định khoảng gần đúng các module này Trong khi đó, phương pháp tìm lời giải giải tích thông qua các hàm năng lượng Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp này được tìm dựa vào các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số nhưng tính toán khá phức tạp

Các cách tiếp cận như vậy đã ứng dụng nguyên lý Esenpi, sử dụng các hàm năng lượng…Ưu điểm của của những phương pháp đó là cho phép đưa ra lời giải với

độ chính xác khá cao, vấn đề ở chỗ khi giải quyết bài toán ta thường gặp rất nhiều khó khăn

Theo cách tiếp cận mới, phương pháp xấp xỉ thể tích đã được giới thiệu trong các bài báo của PGS.TSKH.Nguyễn Đình Đức và những người khác Ưu điểm của phương pháp này dễ nhận thấy là đơn giản, gần gũi, dễ tiếp cận Việc mô hình hoá dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích thường đưa về giải các bài toán cơ bản của lý thuyết đàn hồi để tìm các hằng số đàn hồi

Dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích, luận văn đã đề ra mục tiêu xác định module đàn hồi

23

K - module khối biến dạng phẳng của vật liệu composite cốt sợi đồng phương thông qua bài toán kéo trụ đều mọi phía theo phương ngang với lực kéo không đổi Bên cạnh đó, luận văn cũng đề xuất một phương án nhằm xác định biểu thức của các hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu như là hàm của các đặc trưng đàn hồi thành phần, các hệ số giãn

nở nhiệt thành phần, tỉ lệ thể tích của thành phần sợi và hạt

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU COMPOSTE CỐT SỢI

ĐỒNG PHƯƠNG

1.1 Mô hình vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Composite cốt sợi đồng phương được cấu tạo từ các sợi song song theo một phương cơ bản nằm trong vật liệu nền Sợi được sử dụng trong vật liệu có thể làm dưới dạng liên tục như sợi dài, hoặc có thể dưới dạng gián đoạn như sợi ngắn, vụn,…Khi chế tạo vật liệu, chúng ta hoàn toàn có thể điều chỉnh được sự phân bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật liệu có cơ -

lý tính khác nhau Khi đó, ta cần chú ý đến bản chất của vật liệu thành phần, tỉ lệ của các vật liệu tham gia và phương của sợi

Bây giờ, ta đưa ra một mặt cắt ngang mô tả vật liệu có cấu trúc tuần hoàn được minh họa trong hình vẽ 1.1:

Hình 1.1: Mô hình vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Ta xét một phần tử đại diện trong trường hợp tổng quát là một hình bình hành

có chiều dài 2 cạnh a, b Ta gọi nó là hình bình hành mắt xích chu kì tuần hoàn Trong mỗi mắt xích này các sợi đồng phương được bố trí sao cho các đỉnh của hình bình hành trùng với tâm của mỗi sợi (các sợi có tiết diện tròn với bán kính R) Khi đó, toạ

độ các điểm cắt trục của những sợi đồng phương trên mặt  x x1, 2 (còn phương cơ bản theo phương x3) sẽ là:

Trong mô hình composite có cấu trúc hình vuông này, chúng ta thấy bán kính

R đạt giá trị tối đa là 1/2 và có sự phân bố thể tích sợi trong composite (a R2)

là 78.5%

Hình 1.3: Mô tả mặt cắt của phần tử đại diện có cấu trúc hình vuông

+) a=b=1,    / 3 Khi đó, cấu trúc có dạng tam giác đều

Từ trước đến nay, nhiều bài toán về composite khi xem xét các phần tử đại diện đều được giả thiết là có cấu trúc tuần hoàn với mỗi mắt xích tuần hoàn là một phần tử đại diện Cách tiếp cận mà các bài toán đó hướng tới dựa trên quan điểm vi mô

Trong khuôn khổ luận văn này, ta xem vật liệu nền và sợi đều là những vật liệu đàn hồi đồng nhất, đẳng hướng Hơn nữa, các sợi là dài liên tục và có dạng hình trụ tròn Miền vật liệu nền sẽ ký hiệu là S, miền cốt sợi có tâm đi qua điểm (m,n) trong mặt phẳng  x x1, 2 là Amn Biên của nền và sợi Amn là mn Mắt xích chu kỳ tuần hoàn trên mặt có chiều dài cạnh bằng đơn vị (xem hình vẽ 1.3)

Khi đó, tenxơ hằng số đàn hồi của composite đang xét là hàm tuần hoàn của x1,x2

và không phụ thuộc vào x3:

Cijkl( x x1, 2)   ( x x1, 2)  ij kl   ( x x1, 2)(  ik jl  il jk) (1.1) trong đó:

tỉ lệ thể tích Cơ tính của sợi và nền trong vật liệu được đặc trưng bởi các module đàn hồi Để tiện cho việc sử dụng, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu:

+ Đặc trưng cho cốt sợi là E ,11

+ Đặc trưng cho vật liệu nền là E ,2 2

+ Tỉ lệ thể tích của pha sợi trong nền là 

Hơn nữa, ta bổ sung thêm các giả thiết sau:

+ Các sợi có cùng các đặc trưng về kích thước như mặt cắt tròn, chiều dài

+ Sự phân bố các sợi trong nền là đều, có cấu trúc tuần hoàn

Hình 1.4: Hình dạng các cốt sợi trong vật liệu nền

Với những đặc tính vuợt trội, vật liệu composite thực sự đã trở thành loại vật liệu then chốt trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đặc biệt là ngành công nghiệp nặng, hàng không vũ trụ Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ hiện đại đã đưa đến nhu cầu to lớn về vật liệu, đặc biệt là vật liệu composite với những đặc tính hơn hẳn các vật liệu thông thường khác Composite với các sợi độn đồng phương cũng là một trong các dạng phân loại theo cơ học của vật liệu composite, đem lại những ứng dụng hữu ích cho khoa học kĩ thuật và thực tế đời sống

Trong composite cốt sợi đồng phương, các sợi độn đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra các vật liệu composite có tính năng nổi trội Bằng cách dựa vào đặc tính và mật độ của các sợi trong thành phần nền, chúng ta có thể tạo nên những vật liệu có đặc điểm phù hợp với nhu cầu và mục đích sử dụng như đặc tính cơ lí, tính dễ gia công, chi phí gia công vật liệu… Khi chế tạo vật liệu, ta có thể điều chỉnh được sự phân bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật liệu có cơ lí tính khác nhau

Để giúp cho việc chế tạo kết cấu chi tiết composite, luận văn muốn giới thiệu

sơ lược về công nghệ pulltrusion [1] Công nghệ này là quá trình công nghệ chế tạo các kết cấu composite bằng cách kéo liên tục các sợi cốt, được tẩm qua nhựa nền thông qua những khuôn tạo dáng nóng (hình 1.5) Một trong những ví dụ về sản phẩm của phương pháp này là các dầm, cốt của bê tông trong xây dựng, có hình dáng hệt như thép nhưng lại được chế tạo từ composite (những dầm như vậy có cấu trúc cốt sợi

đồng phương) Quá trình công nghệ này, về thực chất giống như công nghệ extrusion, chỉ khác nhau ở chỗ: trong công nghệ extrusion, lực ép đẩy vật liệu qua khuôn tạo dáng là áp lực được tạo ra từ trong máy đúc ép, còn trong công nghệ pulltrusion, vật liệu được kéo qua khuôn đúc nhờ tác động của lực kéo bên ngoài, được tạo ra nhờ thiết bị kéo (điểm số 7 trên hình 1.5 - hai con lăn quay áp sát vào dầm composite tạo

ra sức kéo liên tục)

Hình 1.5: Sơ đồ chế tạo composite theo phương pháp pulltrusion

Trong sơ đồ của hình 1.5, sợi cốt (điểm số 1 trong hình), trực tiếp được tẩm qua bình chứa nhựa nền ướt (điểm số 2), sau đó được bóp, gạt lại những nhựa thừa (điểm số 3)

và được kéo qua khuôn tạm thời (điểm 4) để tạo dáng tương đối, sau đó được kéo qua khuôn đúc nóng để tạo dáng kết cấu đúng theo yêu cầu cần chế tạo - thiết kế (điểm 5), rồi sau đó sản phẩm được đưa qua lò nung (điểm 6) để làm đông rắn hoàn toàn

Phương pháp công nghệ pulltrusion có ưu điểm là sản phẩm nhận được có độ chính xác cao, có thể chế tạo kết cấu composite có chiều dài tuỳ ý, hệ số sử dụng vật liệu cao (đến 95%), điều chỉnh được chính xác tỷ lệ phân bố nền-cốt sợi trong composite,

có năng suất khá lớn (có thể đến 1,5 m/ph)

Mọi thiết bị của quá trình công nghệ pulltrusion như giá mắc, bể chứa, khuôn đúc, lò nung, con lăn kéo, đều đơn giản và có thể dùng được cho những phương pháp công nghệ khác

Các dầm cốt bằng vật liệu composite cốt sợi các bon dọc theo hướng tâm của loa phụt của động cơ tên lửa cũng được chế tạo theo phương pháp này

Với vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu vật liệu composite cốt sợi đồng phương có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

1.2 Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite

Nhiều bài toán tìm module đàn hồi của vật liệu composite đã sử dụng phương pháp năng lượng để giải quyết vấn đề Luận văn xin giới thiệu khái quát nguyên lý năng lượng do Esenpi xây dựng, nguyên lý này có những ứng dụng quan trọng trong

cơ học vật liệu composite [8]

Theo Esenpi, môi trường composite độn là vô hạn chỉ chứa một hạt cầu, tức là

sự phân bố thể tích của các hạt độn trong miền nền coi là nhỏ (  0.3) Do đó, thay

vì tính năng lượng của vật thể thông qua tích phân trên biên có hình dạng phức tạp, năng lượng toàn phần của vật thể được tính thông qua năng lượng của miền đồng chất cộng với năng lượng lấy trên biên của miền hạt độn (biên này có hình dạng đơn giản,

dễ tính toán)

* Xét hai vật thể có cấu trúc tương tự nhau, chịu tác dụng của lực ngoài và điều kiện biên như nhau Tuy nhiên, vật thể thứ hai không có cốt (hình 1.6)

+ Nghiệm của bài toán với vật thể một là: ij,ij,u i.

+ Nghiệm của bài toán với vật thể hai là: ij o,ij o,u i o.

Hình 1.6: Mô hình hai vật thể

Điều kiện biên đối với vật thể một: ijnj  i trên S (1.2)

Điều kiện biên đối với vật thể hai: ij onj  i o trên S

2

1

, , ,

, ,

Suyra: ijij  (ij u i),j (1.8)

Thay (1.8) vào (1.7), ta có:

   

V

j o i o ij i ij

j o i o ij i

    trên S

o

i o i o i j o ij j o i o

ij u n  n u  u

   trên S

Suy ra: u u n dS u u dS u u o dS

i i S

o i i

o i i S

o i j

i o ij i S

vật thể 2 (không có cốt) với các điều kiện tương đương của biên và hình dáng Hệ

thức (1.10) là một biểu thức trung gian sẽ được sử dụng khi xét bài toán bổ trợ với

một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực ngoài

* Xét bài toán với một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực như hình 1.7 Có thể xem

vật thể tương đương với hai vật thể như sau:

Hình 1.7: Phân tích cấu trúc của vật thể

Gọi nghiệm của bài toán với vật thể (a) là: ij, ij , u , với vật thể (b) là: i o

ij

 , o ij

 , o i

u , với vật thể (c) là: ij,ij,u i

Theo nguyên lí hợp nhất nghiệm ta có:

  



  2

2

1   

  (1.16) với U TH là năng lượng tương hỗ của hai trạng thái ứng suất trên (b) và (c)

Tích phân năng lượng (1.16) có thể biểu diễn dưới dạng thuận tiện hơn Xét số hạng

thứ hai trong vế phải (1.16), áp dụng định luật Hooke ta có:

o kl

kl kl o ij klij kl o ij ijkl o ij kl ijkl o ij

         (1.17) Thay (1.17) vào (1.16) ta có:

U dV

V ij o ij

TH   (1.18)

Sử dụng nguyên lí hợp nhất nghiệm và o,  0

j ij

 ta có:

U u dS

S i o i

TH   (1.19) Theo (1.10) ta đã có:

U U u i u i o dS

S

o i

Hình 1.8

Suy ra: U U u i dS

S

o i

(1.21) Trở lại (1.18), phân tích miền lấy tích phân thành hai miền với mặt phân

chia  như hình 1.8 Khi đó, (1.18) có dạng:

U dV dV

ij o ij ij

o ij

TH       (1.22)

Hệ thức (1.22) có thể viết lại dưới dạng:

U u ds u ds u i o ds

S i o

i i i

o i

U u u o ds

i i i o i

I

)(

2



  (1.26)

Dễ thấy, kết quả này có thể tổng quát cho trường hợp nhiều cốt Như vậy, năng

lượng của vật liệu nhiều thành phần bằng năng lượng của vật liệu đồng nhất nào đó

cộng với một năng lượng được lấy tích phân trên biên của thành phần độn Nhờ

nguyên lý này, ta có thể xác định các module đàn hồi K và G của vật liệu composite

các hạt độn cầu Phương pháp dùng hàm năng luợng là một trong các phương pháp

được sử dụng để giải bài toán tìm module đàn hồi nhưng tính toán lại rất phức tạp

1.3 Mối quan hệ ứng suất - biến dạng đối với composite cốt sợi đồng

phương

Trong thực tế, nhiều vật liệu sử dụng cho kĩ thuật đều là những vật liệu không

thuần nhất Vì thế để nghiên cứu các ứng xử cơ học, mối quan hệ bản chất của vật

liệu, ta đưa ra giả thiết về tính liên tục của vật liệu, tức là cấu tạo thực của vật liệu

được lí tưởng hóa bằng cách xem nó là liên tục Do đó, khái niệm về sự thuần nhất

hóa được đưa ra: môi trường trong vật liệu được coi là thuần nhất khi tính chất của nó

tại mọi điểm là như nhau

Vật liệu thực tế thường không thuần nhất ở chỗ tính chất cơ lí của nó phụ thuộc

vào các điểm của vật liệu Theo đó, các quá trình biến đổi ở composite hoặc là liên tục

hoặc là gián đoạn Với trường hợp này, sự biến đổi là gián đoạn tại các mặt chuyển

tiếp giữa các pha khác nhau, trong đó ta coi các pha là thuần nhất và đẳng hướng

Phương pháp làm thuần nhất một vật liệu không thuần nhất được gọi là phương pháp

thuần nhất hóa

Việc xét composite đưa về xét trên một phần tử đại diện, hay người ta gọi là “

tế bào ” hoặc mắt xích tuần hoàn Từ các điều kiện biên cho trước trên biên của phần

+ ij và ij là ứng suất biến dạng tại điểm x k

+ dV là vi phân thể tích bao quanh điểm x k

Các quan hệ trên rất tổng quát, cho phép biểu thị các hằng số độ cứng và các hằng số

độ mềm bởi các biểu thức sau:

ij C ijklkl (1.29)

ij S ijklkl (1.30) trong đó:

+ Cijkl là tensơ hằng số độ cứng theo phương pháp trung bình hóa

+ Sijkl là tensơ hằng số độ mềm theo phương pháp trung bình hóa

Để đơn giản về sau ta xét các hằng số độ cứng và độ mềm theo nghĩa ”thuần nhất” ở trên Như vậy, muốn xác định các tính chất đã thuần nhất của một vật liệu không thuần nhất, thì trước hết cần phải tính toán các ứng suất, biến dạng trung bình trên thể tích đại diện thông qua công thức (1.27) và (1.28) Sau đó, suy ra các hằng số

độ cứng hoặc độ mềm nhờ công thức (1.29) và (1.30) Trên thực tế, bài toán xác định các hằng số này là rất phức tạp Do vậy, vấn đề ở chỗ là ta phải tìm cách giải chính xác của trường ứng suất ij( xk) và biến dạng ij( xk) tại mỗi điểm của vật không thuần nhất [3]

Khi có lực ngoài tác dụng lên vật thể, trạng thái biến dạng tại mỗi điểm của vật thể sẽ thay đổi, kéo theo trạng thái ứng suất sẽ thay đổi theo Ứng suất xuất hiện trong vật thể là do biến dạng làm thay đổi sự sắp xếp các phần tử cơ bản của nó Điều đó cho thấy giữa ứng suất và biến dạng phải tồn tại một sự liên hệ nào đấy Công thức Green [2] chỉ ra liên hệ giữa ứng suất và biến dạng:

( phương x  2, y  3, z  1 )

Hình 1.9: Hình không gian của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Bây giờ, ta ký hiệu các đại lượng như sau:

(1.34)

hay       A 

(1.35)

hay       B 

trong đó: A, B tương ứng là các ma trận độ cứng, độ mềm (với A, B là ma trận nghịch đảo của nhau) Tính chất của vật liệu cốt sợi đồng phương phụ thuộc vào 5 hằng số đàn hồi độc lập trên, bao gồm C11,C12,C22,C23,C66 hoặc S11,S12,S22,S23,S66 Vấn đề đối với chúng ta là xác định 5 hằng số đàn hồi độc lập này (hằng số độ cứng hoặc dộ mềm) Muốn vậy, ta cần tìm công thức biểu diễn các module như E11,K23,  12, 12, 23(các module này phụ thuộc vào vật liệu thành phần và tỉ lệ thể tích  ) Mặt khác, ta lại có mối quan hệ qua lại giữa các module này và các hằng số độ cứng (hoặc độ mềm), từ đó xác định được mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng hay ứng xử đàn hồi của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Thực tế, có 2 cách chủ yếu giải bài toán xác định các module đàn hồi là bằng thực nghiệm và giải tích Theo phương pháp thực nghiệm, [3] không chỉ ra được ảnh hưởng của vật liệu thành phần lên composite Theo phương pháp giải tích, một số tác giả đã dùng hàm năng lượng, sử dụng định lý biến phân năng lượng để nghiên cứu

sự ảnh hưởng của đặc trưng hình học, cấu trúc cũng như tính chất ban đầu của các vật liệu thành phần tác động lên composite, tuy nhiên một điểm dễ nhận thấy là các phương pháp này thường rất phức tạp Do vậy, chương 2 trong luận văn này sẽ đi sâu vào việc thiết lập và giải bài toán xác định các module đàn hồi (nghiệm giải tích) của vật liệu composite cốt sợi đồng phương theo phương pháp xấp xỉ thể tích

CHƯƠNG 2 XÁC ĐỊNH CÁC MODULE ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU COMPOSITE HAI PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG

2.1 Phương pháp xấp xỉ thể tích

Mục tiêu của luận văn là xác định các module đàn hồi của vật liệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một trong năm hằng số đàn hồi độc lập

là module khối biến dạng phẳng K23 Thực chất của việc xác định các module đàn hồi

là xác định mối liên hệ giữa ứng suất trung bình và biến dạng trung bình của môi trường composite, tức là xác định các hằng số C ijkl trong công thức của định luật Hook Như phần mở đầu giới thiệu, có nhiều phương pháp tiếp cận để giải bài toán tìm module đàn hồi, nhưng phương pháp chủ đạo được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ thể tích của phần tử thể tích đại diện Ưu điểm dễ nhận thấy của phương pháp này là đơn giản, dựa trên phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và dạng nghiệm thu được là giải tích

Tư tưởng chính của phương pháp này là ta xem toàn bộ vật thể trong một mô hình được đơn giản hoá Với các giả thiết đã nêu ở trên, ta có một mẫu vật liệu composite như là một khối hình hộp chữ nhật, khối này chứa các sợi được phân bố đều theo phương dọc của hình hộp Với công nghệ sản xuất đạt chuẩn, vật liệu composite cốt sợi đồng phương được xem như có cấu trúc tuần hoàn Do đó, việc nghiên cứu vật liệu này đưa về xét một phần tử đại diện có dạng hình hộp chứa hình trụ tròn tượng trưng cho pha sợi Phương pháp xấp xỉ thể tích thể hiện ở việc xấp xỉ hình hộp chữ nhật bên ngoài bởi một vỏ trụ có cùng thể tích tượng trưng cho pha nền Kết quả là phần tử thể tích đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương có dạng 2 hình trụ tròn lồng nhau Ta có các bước xấp xỉ thể tích như hình vẽ dưới đây:

+ V xấp xỉ = V của trụ tròn ngoài (bán kính đáy là R) =  R2.h =  R2.h

+ V ban đầu = V xấp xỉ, nên có:

 h =  R2.h

 R = 1/ 

với h là chiều dài của sợi

Như vậy, với mặt cắt là hình vuông đơn vị thì hình vuông này sẽ được xấp xỉ diện tích thành hình tròn có bán kính 1/  trong mặt phẳng

Từ cấu trúc hình hộp chữ nhật chứa hình trụ tròn chuyển thành cấu trúc hai hình trụ tròn lồng nhau thông qua việc xấp xỉ thể tích, có thể nói đây chính là ý tưởng chính của phương pháp xấp xỉ thể tích Sau đó, dựa vào các hệ thức cơ sở, các giả thiết ban đầu và phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lí thuyết đàn hồi, ta sẽ giải bài toán này tìm ra công thức xác định các module khối biến dạng phẳng

23

K của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Hình 2.2: Phần tử đại diện sau khi đã được xấp xỉ

2.2 Xác định mođun đàn hồi Young E1 1

Trong [5], vấn đề xác định module đàn hồi Young E1 1 đã được trình bày rất cụ thể và rõ ràng Bài toán kéo dọc trụ xác định module E1 1 của vật liệu composite cốt sợi đồng phương đặt ra:

Giả sử, có một hình trụ không đồng chất được làm từ hai vật liệu khác nhau, bao gồm: + Miền trong - miền cốt  0   r a  có các đặc trưng 1,1

+ Miền ngoài - miền nền  a   r b  có các đặc trưng 2,2

Trụ được kéo dọc bởi lực hằng theo phương sinh và coi rằng liên kết giữa 2 miền là lí tưởng, bỏ qua tương tác của các sợi độn và vật liệu nền Điều này dẫn đến biến dạng dọc theo trục z của 2 miền là như nhau và bằng  Bài toán đặt ra: hãy xác định module đàn hồi Young E1 1 của trụ không đồng chất khi xem nó là một vật liệu composite tương đương với các đặc trưng    , 

Hình 2.3: Mô tả cấu trúc không gian của một phần tử đại diện

* Các hệ thức cơ sở trong hệ toạ độ trụ  r , ,  z :

Do tính đối xứng, các thành phần chuyển dịch trong toạ độ trụ có dạng:

r

zz

du e

dr u e r

Phương trình cân bằng có dạng:

Thay (2.6) và (2.7) vào phương trình cân bằng (2.5), ta nhận được phương trình vi

phân đối với ur:

trong đó: P là tương tác ứng suất trên biên giữa 2 miền

Thay (2.11) vào điều kiện biên (2.12), ta được:

Pa b B

(1)     

1 1 1 12( )

rr A (2.15) Điều kiện biên: