Đề thi ô Lim pic huyện môn Toán lớp 8 năm học 2006 200728317

đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm häc 2006-2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi Phân tích thành nhân tử a) a 2a  13a  10 b) (a  4b  5)2  16(ab  1)2 Bµi Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho Bµi a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2  b) Cho 6a – 5b = T×m giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Bài §a thøc bËc cã hÖ sè bËc cao nhÊt thoả mÃn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 TÝnh f(-1) + f(5) Bµi Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam gi¸c BAN b) NC NB  1 AN AB ThuVienDeThi.com đáp án toán Bài Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, câu điểm) a) Ta nhận thấy a = 1, a = nghiệm đa thøc nªn: a  2a  13a  10  (a  1)(a  2)(a  5) b) (a  4b  5)  16(ab  1)  (a  4b   4ab  4)(a  4b   4ab  4)  (a  2b)  1 (a  2b)    (a  2b  1)(a  2b  1)(a  2b  3)(a  2b  3) Bµi Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho (3 ®iĨm) A = a + b + c  =>2A  6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho => C  => B  Bµi a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2 (*).(4 điểm, câu điểm) Tõ a – b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vµo (*) ta cã: + 2b + 2b2  => 4b2 + 4b +1  =>(2b + 1)2 BĐT Vậy a2 + b2  DÊu b»ng xÈy (2b + 1)2 b =- 1 vµ a = ; 2 b) Cho 6a 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Đặt x = 2a; y = - 5b áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta cã: (3x + y)2  (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2  DÊu b»ng xÈy b   ; 50 a 1 Hay 4a2 + 25b2  10 10  3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b x y 20 ThuVienDeThi.com Bài Đa thức bËc cã hƯ sè bËc cao nhÊt lµ thoả mÃn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 TÝnh f(-1) + f(5) (4 ®iĨm) NhËn xÐt: g(x) = 2x2 + tho¶ m·n g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21 Q(x) = f(x) - g(x) đa thức bậc có nghiệm x = 1, x = 2, x = VËy Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - a); ta cã: f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + = 29 + 24a f(5) = Q(5) + 2.52 + = 173 - 24a => f(-1) + f(5) = 202 Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy ®iĨm N cho NM = MA; CN c¾t AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng víi tam gi¸c BAN b) NC NB   .(4 điểm, câu điểm) AN AB a) ANC vuông N (vì AM = MC = MN) C F CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v M Mµ MNA = NAC => CNM = BAN N Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN A E B =>  BNE   BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM = MN Tứ giác ANCF hình chữ nhật (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) => BAN   BFA => FA BF NC FN  NB NC AB  NB NC NB         (§pcm) AN BA AN AB AN AB AN AB C¸ch kh¸c: b) Ta cã:  ACN   EAN =>  BNE Tõ   BAN => CN AC AN   AN EA EN (1) AN BA BE NB  (2) va  (3) Tõ (1) vµ (2) => BN = AE NE BN BN AB CN AC CN AB AE  EB EB EB      1  1 4  AN EA AN AE AE AE BN ThuVienDeThi.com Từ (3) (4) => CN NB (Đpcm) AN AB ThuVienDeThi.com ... giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy ®iĨm N cho NM = MA; CN c¾t AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng víi tam gi¸c BAN b) NC NB   .(4 điểm, câu điểm) AN AB a) ANC vuông N... AB AE  EB EB EB      1  1 4  AN EA AN AE AE AE BN ThuVienDeThi.com Từ (3) (4) => CN NB (Đpcm) AN AB ThuVienDeThi.com ...đáp án toán Bài Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, câu điểm) a) Ta nhận thấy a = 1, a = nghiệm đa thøc nªn: