PHỊNG GD&ĐT VŨ QUANG Trêng THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG §Ị thi chọn học sinh giỏi HUYN môn toán - lớp Năm học 2016-2017 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài ( 2,0 ®iĨm) Chøng minh r»ng: a) Víi mäi a Z , a b không chia hết cho th× a b6 chia hÕt cho b) Với n N n5 n ln có chữ số tận giống Bµi ( 2,0 điểm) a) Giải phương trình: 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 y 2009 z 2009 32010 Bµi ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c số dương thoả mãn: 1 abc a b c th× ta có bất đẳng thức a b c 3abc Bµi ( 1,5 điểm) Cho 6a - 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Bài ( 3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy ®iĨm N cho NM = MA; CN c¾t AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng víi tam gi¸c BAN b) NC NB 1 AN AB ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT VŨ QUANG Trêng THCS HƯƠNG THỌ đáp án biểu điểm môn toán - lớp Năm học 2011-2012 Bài a) (1,0 điểm) Vỡ a không chia hết a có dạng 3k+1 hc 3k+2 (k Z ) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia d NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + chia d Vậy nên a không chia hết cho a2 chia d 1.(1) T¬ng tù ta cịng cã b không chia hết cho b2 chia d 1.(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b2 (3) (0,5 ®) 6 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã a -b = (a -b )[(a ) +a b +(b ) ] = (a -b )[( a ) - 2a b +(b )2+3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b2 => (a2-b2)2 mµ 3a2b2 víi mäi a Z nên (a2-b2)2+ 3a2b2 (4) Từ (3) (4) suy (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a6-b6 (0,5 ®) b) (1,0 ®iĨm) Ta cần chứng minh: n5 – n 10 * Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) (0,25 ®) (vì với n N ta có n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) * Chứng minh: n5 – n n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) ( Vì với n N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + ) tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5n( n – 1)( n + ) với n N ) (0,5 ®) Vì ( ; ) = nên n5 – n 2.5 tức n5 – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,25 ®) Bài a) 1,0 điểm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 (0,5 ®) 1 ( x 4) ( x 7) 18 => 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = ThuVienDeThi.com (0,25 đ) => x = -13 x = ( Thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy PT đà cho có hai nghiệm x1=-13; x2=2 b) 1,0 điểm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x y y z z x x y z x2009 = y2009 = z2009 (0,25 ®) (0,25 ®) (1) (0,25 ®) Theo bµi ta cã x 2009 y 2009 z 2009 32010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = Vậy x = y = z = Bµi Chứng minh rằng: Nếu a, b, c số dương thoả mãn: th× ta có bất đẳng thức a b c 3abc (0,25 ®) (0,25 ®) 1 abc a b c 1 bc ca ab abc abc a b c abc ab bc ca (a b c)abc (*)(vì a,b,c > nên abc>0) 2 2 Mµ a b 2ab; c b 2cb ; a c 2ac nªn céng theo vÕ bÊt đẳng thức ta 2(a b c ) 2(ab bc ca) a b c ab bc ca) (1) L¹i cã (a b c)2 a b c 2(ab bc ca) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (a b c)2 3(ab bc ca) (**) Tõ (*) vµ(**) ta cã (a b c)2 3abc(a b c) a b c 3abc (Vì a,b,c > nên a + b + c> 0) Ta có Bài ( 1,0 điểm) Cho 6a - 5b = 1.(1) Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Đặt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai số 3x vµ y ta cã: (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 1 Hay 4a2 + 25b2 10 10 DÊu b»ng xÈy 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2) x y Tõ (1) vµ (2) => b ; 50 a 20 ThuVienDeThi.com Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy ®iĨm N cho NM = MA; CN c¾t AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng víi tam gi¸c BAN b) NC NB 1 AN AB a) ANC vuông N (vì MN =AM = C F AC ) CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v M Mµ MNA = NAC => CNM = BAN N Mặt khác CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN A E B => BNE BAN b) Trên tia đối tia MN lÊy ®iĨm F cho FM = MN Tø giác ANCF hình chữ nhật (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) => BAN BFA => FA BF NC FN NB NC AB NB NC NB (Đpcm) AN BA AN AB AN AB AN AB Cách kh¸c: b) Ta cã: ACN EAN => BNE Tõ BAN => CN AC AN AN EA EN AN BA BE NB (2) va (3) Tõ (1) vµ (2) => BN = AE NE BN BN AB CN AC CN AB AE EB EB EB 1 1 4 AN EA AN AE AE AE BN Tõ (3) vµ (4) => (1) CN NB 1 (§pcm) AN AB ThuVienDeThi.com ... 13 x 42 18 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 (0,5 ®) 1 ( x 4) ( x 7) 18 => 18( x+7) – 18( x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = ThuVienDeThi.com (0,25...PHềNG GD&T V QUANG Trường THCS HNG TH đáp án biểu điểm môn toán - lớp Năm học 2011-2012 Bài a) (1,0 điểm) Vỡ a không chia hết a có dạng 3k+1 3k+2 (k Z ) NÕu a... 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) ( Vì với n N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + ) tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5n( n – 1)( n + ) với n N ) (0,5 ®) Vì ( ; ) = nên