Bo de thi hoc sinh gioi huyen mon toan lop 9

1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề số Đề gồm 01 trang   x 1 x 1   Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P =  x     :  x  x x  x   a) Tìm x để P xác định, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x  x   x  Bài 2: (2,0 điểm) Giải c{c phƣơng trình a) x  3x   x   x   x  2x  2 b) x  x   x  5 x  Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1    ba số a, b, c phải có số 2015 a b c 2015    b) Cho x y thỏa mãn x  x2  2015 y  y2  2015  2015 Tính x + y Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đƣờng tròn t}m O đƣờng kính BC Gọi D l| trung điểm AB, E trọng tâm tam gi{c ACD, G l| giao điểm CD AO Chứng minh: b) OE  CD a) EG // AB c) SDAC + SBDO = SABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đƣờng vuông góc với đƣờng phân giác góc A cắt AB AC lần lƣợt M N Chứng minh: BM = CN HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh HƢỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần a) Đ{p {n   x 1 x 1   P x :    , ĐKXĐ: x  0, x   x   x x  x   0,25  x 1  x 1   x 1 :  =   x  x  x x 1  0,25  0,75 điểm Điểm =  x 1 x 1 x x  : = x x x x 1    = x 1 : x 1 x 1  x x x 1    x x  = x  1 x 1   x 1 x 0,25 b) 0,5 điểm Với x =   ĐKXĐ, x =  = 2  Nên P =  11 1 3 = 1 =   1  x  1 0,25  1 0,25 c) ĐK: x  P x = x   x      x 1 x   x 1 x = x 3 x  = x 3 x   x + x + = x 3 x   0,75 điểm Do  x 2    x > 0; Nên để (*) xảy Kết luận 0,25  x 2   x   x   (*) x4  0, x    x    x = (TM ĐKXĐ) 0,25 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a) Đ{p {n Điểm x  3x   x   x   x  2x  (1) a, x  3x    ĐK: x   x2 x  x    (1)  điểm (x-1)(x-2) + x+3 = 0,25 x-2 + (x-1)(x+3)  x 1  a   Đặt:  x   b    x   c  (1)  a.b + c = b + a.c  a(b - c) - (b - c) = 0,25 a   (a - 1)(b - c) =   b  c Với a =  Với b = c  x    x - =  x = (thoả mãn đk) x   x   x - = x +  0x = vô 0,25 nghiệm Vậy phƣơng trình (1) có nghiệm x = b) x  5x   x  5 x  Đặt điểm 0,25 0,25 x   y (với y  ) y  Khi đó, ta có: y  5x  x  5y   y  5 y  x     y  x Từ tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình l|: x  4 0,5 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần Đ{p {n Điể m a) 1 1 1 1 1          0 a b c abc a b c abc  ab ab  0 ab c(a  b  c)    ( a  b)   0  ab c( a  b  c)   ( a  b)( ab  ac  bc  c )   ( a  b)(b  c)(c  a )  a  b   b  c   c  a  +) Nếu a + b = suy c = 2015 +) Nếu b + c = suy a = 2015 +) Nếu a + c = suy b = 2015 Chứng tỏ số a, b, c phải có số x  b)   x2  2015 y  y2  2015  2015 (hai nhân tử vế trái phải khác   0)Nên x  x2  2015  2015 y  y  2015 Tƣơng tự y  y2  2015 = điểm 0,5  y2  2015  y x2  2015  x Cộng vế theo vế, ta có 0,5 x + y + y2  2015 + x2  2015 = y2  2015 + x2  2015  x  y  2(x + y) = nên x + y = Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đ{p {n A a) M E D N G điểm B O C Điểm 0,25 Vẽ hình xác Chứng minh EG //AB: Kẻ c{c đƣờng trung tuyến CM, DN  ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm  ABC 0,25 Xét  MCD, ta có: b) CE CG    EG // DM hay EG // AB CM CD Chứng minh OE  CD : 0,5 0,5 OD  AB (Đƣờng kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG  OD (1) điểm  ABC cân A  OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2) 0,5 Từ (1) (2) suy G trực tâm  ODE, OE  DG hay OE  CD c) Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 0,5 1 1 1 OC  OA   BC  OA  OA.BC 2 2 OA.BC  4 OA.BC SODC  SABC SODC điểm Vậy SABC = SODC hay SODC = SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 4 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đ{p {n A P N B M K D C Điểm Vẽ hình xác Chứng minh: BM = CN Gọi K l| giao điểm MN v| đƣờng phân giác góc A Từ B kẻ đƣờng thẳng song song với MN cắt AC P 0,25  AMN tam giác cân A (AK vừa l| đƣờng cao vừa điểm đƣờng phân giác)  AM = AN (1) BP//MN nên BP  AK.Tƣơng tự  ABP cân A  AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong  BCP, D l| trung điểm BC, DN// BP  N trung điểm 0,5 CP hay NP = NC (5) 0,25 Từ (4),(5)  BM = CN Lƣu ý: C{c c{ch giải kh{c cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề số Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm)  x2 x  x 1 1.Cho biểu thức A =     :  x x 1 x  x  1  x  a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh  A  Cho biểu thức: 2+x 2-x  với –2 < x < x  2+x 2-x Tính giá trị biểu thức x+2 x-2 Bài 2: (2,0 điểm) Giải phƣơng trình: x2  x  x   30 Cho hai đƣờng thẳng (d1): y = ( m – ) x – m2 – 2m (Với m tham số) (d2): y = ( m – ) x – m2 – m + cắt G a) X{c định toạ độ điểm G b) Chứng tỏ điểm G thuộc đƣờng thẳng cố định m thay đổi Bài 3: (2,0 điểm) a/ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 – 24 b/ Tìm số tự nhiên n cho A  n2  n  l| số phƣơng c/ Tìm số ngun x; y thỏa mãn: y  xy  3x   Bài4: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn t}m O, đƣờng thẳng d cố định nằm ngo|i đƣờng tròn, M di động đƣờng thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đƣờng tròn (O,R), OM cắt AB I a Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b Tìm vị trí M để  MAB c Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài5: (1,0 điểm) Cho số thực dƣơng x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z    x  yz y  zx z  xy IH = EI CA CF Vậy I l| trung điểm EH 0,75 237 B H G N K A C M Kẻ MK  AB; NH  AB; MG  NH Tứ giác MGHK hình chữ nhật  MG  KH Mà MN  MG  MN  KH Các tam giác AKM, BHN tam giác vuông có góc nhọn 1 60o nên AK  AM ; BH  BN 2 Do đó:  AM BN  KH  AB   AK  BH   AB       BC AB  CN BN   AB       AB   2   MN  AB Vậy MN  AB 2014   1007  cm  2  MN l| đƣờng trung bình tam gi{c ABC hay M l| trung điểm cạnh AC  Từ x  yz    x  yz  2x yz (*) Dấu "=" x2 = yz 0,25 Ta có: 2016x  yz   x  y  z  x  yz  x  yz  x(y  z)  x(y  z)  2x yz Suy ra: 2016x  yz  x(y  z)  2x yz  x ( y  z) (áp dụng (*)) x  2016x  yz  x Tƣơng tự ta có:   x y z  x x  (1) x  2016x  yz x y z y y  y  2016y  zx x y z z z  z  2016z  xy x y z (2) (3) 0,25 238 Từ (1),(2),(3) ta có: x y z   1 x  2016x  yz y  2016y  zx z  2016z  xy Dấu "=" xảy x = y = z = 672 Vậy giá trị lớn A x=y=z=672 0,25 0,25 ... (d1) (loại) Vậy m = giá trị cần tìm 0.25 0.25 Giả sử 199 0 + n2 số phƣơng 199 0 n2 = m2 (m  N ) Từ suy m2 - n2 = 199 0  (m + n) (m – n) = 199 0 Nhƣ số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m... )  1022       99 5 nên b =9 Thay v|o (2) ta đƣợc: 9cd   c  d  1022  cd  c  d  113 (3)  cd  113   c  d   113      95 nên c =9 Thay v|o (3) ta đƣợc: 9d   d  113  d ... trình: x2  y  x  19 HẾT -(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm 27 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài