Thông tin tài liệu
1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề số Đề gồm 01 trang x 1 x 1 Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P = x : x x x x a) Tìm x để P xác định, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x x x Bài 2: (2,0 điểm) Giải c{c phƣơng trình a) x 3x x x x 2x 2 b) x x x 5 x Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1 ba số a, b, c phải có số 2015 a b c 2015 b) Cho x y thỏa mãn x x2 2015 y y2 2015 2015 Tính x + y Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đƣờng tròn t}m O đƣờng kính BC Gọi D l| trung điểm AB, E trọng tâm tam gi{c ACD, G l| giao điểm CD AO Chứng minh: b) OE CD a) EG // AB c) SDAC + SBDO = SABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đƣờng vuông góc với đƣờng phân giác góc A cắt AB AC lần lƣợt M N Chứng minh: BM = CN HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh HƢỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần a) Đ{p {n x 1 x 1 P x : , ĐKXĐ: x 0, x x x x x 0,25 x 1 x 1 x 1 : = x x x x 1 0,25 0,75 điểm Điểm = x 1 x 1 x x : = x x x x 1 = x 1 : x 1 x 1 x x x 1 x x = x 1 x 1 x 1 x 0,25 b) 0,5 điểm Với x = ĐKXĐ, x = = 2 Nên P = 11 1 3 = 1 = 1 x 1 0,25 1 0,25 c) ĐK: x P x = x x x 1 x x 1 x = x 3 x = x 3 x x + x + = x 3 x 0,75 điểm Do x 2 x > 0; Nên để (*) xảy Kết luận 0,25 x 2 x x (*) x4 0, x x x = (TM ĐKXĐ) 0,25 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a) Đ{p {n Điểm x 3x x x x 2x (1) a, x 3x ĐK: x x2 x x (1) điểm (x-1)(x-2) + x+3 = 0,25 x-2 + (x-1)(x+3) x 1 a Đặt: x b x c (1) a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = 0,25 a (a - 1)(b - c) = b c Với a = Với b = c x x - = x = (thoả mãn đk) x x x - = x + 0x = vô 0,25 nghiệm Vậy phƣơng trình (1) có nghiệm x = b) x 5x x 5 x Đặt điểm 0,25 0,25 x y (với y ) y Khi đó, ta có: y 5x x 5y y 5 y x y x Từ tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình l|: x 4 0,5 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần Đ{p {n Điể m a) 1 1 1 1 1 0 a b c abc a b c abc ab ab 0 ab c(a b c) ( a b) 0 ab c( a b c) ( a b)( ab ac bc c ) ( a b)(b c)(c a ) a b b c c a +) Nếu a + b = suy c = 2015 +) Nếu b + c = suy a = 2015 +) Nếu a + c = suy b = 2015 Chứng tỏ số a, b, c phải có số x b) x2 2015 y y2 2015 2015 (hai nhân tử vế trái phải khác 0)Nên x x2 2015 2015 y y 2015 Tƣơng tự y y2 2015 = điểm 0,5 y2 2015 y x2 2015 x Cộng vế theo vế, ta có 0,5 x + y + y2 2015 + x2 2015 = y2 2015 + x2 2015 x y 2(x + y) = nên x + y = Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đ{p {n A a) M E D N G điểm B O C Điểm 0,25 Vẽ hình xác Chứng minh EG //AB: Kẻ c{c đƣờng trung tuyến CM, DN ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm ABC 0,25 Xét MCD, ta có: b) CE CG EG // DM hay EG // AB CM CD Chứng minh OE CD : 0,5 0,5 OD AB (Đƣờng kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG OD (1) điểm ABC cân A OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2) 0,5 Từ (1) (2) suy G trực tâm ODE, OE DG hay OE CD c) Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 0,5 1 1 1 OC OA BC OA OA.BC 2 2 OA.BC 4 OA.BC SODC SABC SODC điểm Vậy SABC = SODC hay SODC = SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 4 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đ{p {n A P N B M K D C Điểm Vẽ hình xác Chứng minh: BM = CN Gọi K l| giao điểm MN v| đƣờng phân giác góc A Từ B kẻ đƣờng thẳng song song với MN cắt AC P 0,25 AMN tam giác cân A (AK vừa l| đƣờng cao vừa điểm đƣờng phân giác) AM = AN (1) BP//MN nên BP AK.Tƣơng tự ABP cân A AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong BCP, D l| trung điểm BC, DN// BP N trung điểm 0,5 CP hay NP = NC (5) 0,25 Từ (4),(5) BM = CN Lƣu ý: C{c c{ch giải kh{c cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề số Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x2 x x 1 1.Cho biểu thức A = : x x 1 x x 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A Cho biểu thức: 2+x 2-x với –2 < x < x 2+x 2-x Tính giá trị biểu thức x+2 x-2 Bài 2: (2,0 điểm) Giải phƣơng trình: x2 x x 30 Cho hai đƣờng thẳng (d1): y = ( m – ) x – m2 – 2m (Với m tham số) (d2): y = ( m – ) x – m2 – m + cắt G a) X{c định toạ độ điểm G b) Chứng tỏ điểm G thuộc đƣờng thẳng cố định m thay đổi Bài 3: (2,0 điểm) a/ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 – 24 b/ Tìm số tự nhiên n cho A n2 n l| số phƣơng c/ Tìm số ngun x; y thỏa mãn: y xy 3x Bài4: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn t}m O, đƣờng thẳng d cố định nằm ngo|i đƣờng tròn, M di động đƣờng thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đƣờng tròn (O,R), OM cắt AB I a Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b Tìm vị trí M để MAB c Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài5: (1,0 điểm) Cho số thực dƣơng x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z x yz y zx z xy IH = EI CA CF Vậy I l| trung điểm EH 0,75 237 B H G N K A C M Kẻ MK AB; NH AB; MG NH Tứ giác MGHK hình chữ nhật MG KH Mà MN MG MN KH Các tam giác AKM, BHN tam giác vuông có góc nhọn 1 60o nên AK AM ; BH BN 2 Do đó: AM BN KH AB AK BH AB BC AB CN BN AB AB 2 MN AB Vậy MN AB 2014 1007 cm 2 MN l| đƣờng trung bình tam gi{c ABC hay M l| trung điểm cạnh AC Từ x yz x yz 2x yz (*) Dấu "=" x2 = yz 0,25 Ta có: 2016x yz x y z x yz x yz x(y z) x(y z) 2x yz Suy ra: 2016x yz x(y z) 2x yz x ( y z) (áp dụng (*)) x 2016x yz x Tƣơng tự ta có: x y z x x (1) x 2016x yz x y z y y y 2016y zx x y z z z z 2016z xy x y z (2) (3) 0,25 238 Từ (1),(2),(3) ta có: x y z 1 x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy Dấu "=" xảy x = y = z = 672 Vậy giá trị lớn A x=y=z=672 0,25 0,25 ... (d1) (loại) Vậy m = giá trị cần tìm 0.25 0.25 Giả sử 199 0 + n2 số phƣơng 199 0 n2 = m2 (m N ) Từ suy m2 - n2 = 199 0 (m + n) (m – n) = 199 0 Nhƣ số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m... ) 1022 99 5 nên b =9 Thay v|o (2) ta đƣợc: 9cd c d 1022 cd c d 113 (3) cd 113 c d 113 95 nên c =9 Thay v|o (3) ta đƣợc: 9d d 113 d ... trình: x2 y x 19 HẾT -(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm 27 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài
Ngày đăng: 20/02/2023, 16:22
Xem thêm:
