Thông tin tài liệu
Phòng GD - ĐT Đức Thọ Trường THCS Đồng Lạng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2013 - 2014 MƠN: TỐN Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: 1) x 2) x x x x 24 b Giải phương trình: x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 c Cho Chứng minh rằng: 0 bc ca ab bc ca ab 10 x x Câu2 Cho biểu thức: A :x x x 4 2x x2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 ThuVienDeThi.com Câu Câu (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Đáp án 4 2 a x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) (1đ) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (1đ) b x 30x 31x 30 x x x x (*) Điểm (2 điểm) ) + > x (*) (x - 5)(x + 6) = x x x x a b c c Nhân vế của: 1 bc ca ab với a + b + c; rút gọn đpcm 10 x x Biểu thức: A :x x x 4 2x x2 1 a Rút gọn kq: A x2 1 1 4 b x x x A A 2 c A x 1 d A Z Z x 1;3 x2 Vì x2 - x + = (x - Câu (6 điểm) A E (2 điểm) (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) B (1 điểm) F Câu (6 điểm) D M C ThuVienDeThi.com a Chứng minh: AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD b c 1 a a a a c 1 a Từ: a + b + c = b b b a b 1 c 1 c c 1 a b a c b c a b c b a c a c b 32229 Dấu xảy a = b = c = 2001 2001 2000 2000 b Vì a +b =a +b 2001 2001 2000 2000 => a +b -a -b =0 2000 2000 a (a-1) + b (b-1) = (1) Vì a2001 + b2001 = a2002 + b2002 a2002+ b2002 - a2001 - b2001 = a2001(a-1) + b2001(b-1) = (2) Trừ (2) cho (1) ta a2000(a-1)2 + b2000(b-1)2 = (*) Vì a>0, b>0 nên a2000>0 b2000 >0; (a-1)2 ; (b-1)2 Nên (*) = a-1 = => a =1 b-1 = => b=1 Khi a2011 + b2011 = 1+1 = (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) Câu 4: (2 điểm) (1 điểm) ThuVienDeThi.com Ngày soạn: 10/03/2014 CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Hệ thống lại dạng toán phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải số tập phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ kỹ phân tích đa thức thành nhân tử B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP: I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: * Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p p ước hệ số tự do, q ước dương q hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số nguyên Để a-1 a+1 nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 - x2 – = x 2x x 2x 2x x x x(x 2) 2(x 2) = x 2 x x 2 Cách 2: x x x x x x (x 2)(x 2x 4) (x 2)(x 2) = x x 2x (x 2) (x 2)(x x 2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, 5 không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x x 6x 2x 15x 3x x 6x 2x 15x = x (3x 1) 2x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)(x 2x 5) ThuVienDeThi.com Vì x 2x (x 2x 1) (x 1) với x nên khơng phân tích thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích 6.Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: a) Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) b) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung a) Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) b) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) * Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: ThuVienDeThi.com x7 + x2 + ; x7 + x5 + 1; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – Đặt x - 1 )+7] + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x x x x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x * Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = (x y z )(x y z) (xy yz+zx) 2 2 2 2 = (x y z ) 2(xy yz+zx) (x y z ) (xy yz+zx) Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x y z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x y z ) ( x y z )2 2( x y z )( x y z )2 ( x y z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y y z z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó: B = - 4( x y y z z x ) + (xy + yz + zx)2 4x y 4y z 4z x 4x y 4y z 4z x 8x yz 8xy z 8xyz 8xyz(x y z) Ví dụ 5: (a b c)3 4(a b3 c3 ) 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + C = (m + c)3 m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn – 4c3 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + ThuVienDeThi.com Nhận xét: số 1, không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c 6 ac b d 12 đồng đa thức với đa thức cho ta có: ad bc 14 bd Xét bd = với b, d Z, b 1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành a c 6 ac 8 2c 8 c 4 a 2 a 3c 14 ac bd Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a 3 b 2a 7 a = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c b 5 c 2b c 4 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) ac 12 bc ad 10 a c = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3c a bd 12 b 6 d 3d b 12 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 10) 64x4 + y4 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - ThuVienDeThi.com 4) 2x3 - x2 + 5x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 14) x8 + x + 15) x8 + 3x4 + 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63 ThuVienDeThi.com Ngày soạn: 24 – 03 - 2014 CHUÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức toán chia hết số, đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo toán chứng minh chia hết, khơng chia hết, sốngun tố, số phương… * Vận dụng thành thạo kỹ chứng minh chia hết, khơng chia hết… vào tốn cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: I Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đoi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m + Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì: +) an - bn chia hết cho a - b (a - b) +) (a + 1)n BS(a )+ +) a2n + + b2n + chia hết cho a + b +)(a - 1)2n B(a) + n n +) (a - 1)2n + B(a) - (a + tập: b) = B(a) + b 2.+Bài Các toán Bài 1: chứng minh a) 251 - chia hết cho b) 270 + 370 chia hết cho 13 c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải a) 251 - = (23)17 - M23 - = b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 M4 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + M17 + = 18 1917 - M19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 M18 d) 3663 - M36 - = 35 M7 3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dư - e) 4n - = (24) n - M24 - = 15 Bài 2: chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; ThuVienDeThi.com Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) Mặt khác: n - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - +5)= n(n2 - 1).(n2 - )+5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) suy đpcm b) Đặt A = n4 -10n2 + = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k Z) A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 M27 (1) + 10 n - 9n - = [( 9 { + 1) - 9n - 1] = 9 { - 9n = 9( 1 { - n) M27 (2) n n n M9 1 { - n M3 1 { - n số có tổng chữ số chia hết cho n n Từ (1) (2) suy đpcm Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho b) a7 - a chia hết cho Giải a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn số bội nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k Z) a chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 - = 49k2 + 14k chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Trong trường hợp củng có thừa số chia hết cho Vậy: a7 - a chia hết cho Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Giải : Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) 10 ThuVienDeThi.com Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B Bài tập nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n chẵn c) Cho a l số nguyên tố lớn Cmr a2 – chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 chia hết cho e) 20092010 không chia hết cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho Dạng 2: Tìm số dư phép chia Bài 1: Tìm số dư chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải: a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = - Ta có : 2100 = (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - = B(9) + Vậy: 2100 chia cho dư b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + Vậy: 2100 chia chop 25 dư c)Sử dụng cơng thức Niutơn: 2100 = (5 - 1)50 = (550 - 549 + … + 50.49 - 50 ) + Không kể phần hệ số khai triển Niutơn 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49 - 50.5 chia hết cho 125, số hạng cuối Vậy: 2100 = B(125) + nên chia cho 125 dư Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng số tự nhiên Tổng lập phương chia cho dư bao nhiêu? Giải Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an Gọi S a13 a 23 + a 33 + + a n = a13 a 23 + a 33 + + a n + a - a = (a1 - a1) + (a2 - a2) + …+ (an - an) + a Mỗi dấu ngoặc chia hết cho dấu ngoặc tích ba số tự nhiên liên tiếp Chỉ cần tìm số dư chia a cho 1995 số lẻ chia hết cho 3, nên a củng số lẻ chia hết cho 3, chia cho dư Bài 3: Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân giải Tìm chữ số tận tìm số dư phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư phép chia 2100 cho 125 11 ThuVienDeThi.com Vận dụng ta có 2100 = B(125) + mà 2100 số chẵn nên chữ số tận 126, 376, 626 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 2100 = 1625 chi hết ba chữ số tận chia hết cho số 126, 376, 626 876 có 376 chia hết cho Vậy: 2100 viết hệ thập phân có ba chữ số tận 376 Tổng quát: Nếu n số chẵn khơng chia hết cho chữ số tận 376 Bài 4: Tìm số dư phép chia số sau cho a) 2222 + 5555 b)31993 c) 19921993 + 19941995 d) 32 Giải a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS +1)22 + (BS – 1)55 = BS + + BS - = BS nên 2222 + 5555 chia dư b) Luỹ thừa sát với bội 33 = BS – Ta thấy 1993 = BS + = 6k + 1, đó: 31993 = 6k + = 3.(33)2k = 3(BS – 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, đó: 19921993 + 19941995 = (BS – 3)1993 + (BS – 1)1995 = BS – 31993 + BS – Theo câu b ta có 31993 = BS + nên 19921993 + 19941995 = BS – (BS + 3) – = BS – nên chia cho dư d) 32 = 32860 = 33k + = 3.33k = 3(BS – 1) = BS – nên chia cho dư Bài tập nhà Tìm số d khi: a) 21994 cho b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = + + + + 99 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n Z để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n Giải Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + = (n + 3)(n2 - n) + Để A chia hết cho B phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) chia hết cho n, ta có: n -1 -2 n-1 -2 -3 n(n - 1) 2 loại loại 1930 1930 Vậy: Để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n n 1; 2 Bài 2: a) Tìm n N để n5 + chia hết cho n3 + b) Giải toán n Z 12 ThuVienDeThi.com Giải Ta có: n5 + Mn3 + n2(n3 + 1) - (n2 - 1) Mn3 + (n + 1)(n - 1) Mn3 + (n + 1)(n - 1) M (n + 1)(n2 - n + 1) n - M n2 - n + (Vì n + 0) a) Nếu n = M1 Nếu n > n - < n(n - 1) + < n2 - n + nên xẩy n - M n2 - n + Vậy giá trụ n tìm n = b) n - M n2 - n + n(n - 1) M n2 - n + (n2 - n + ) - M n2 - n + M n2 - n + Có hai trường hợp xẩy ra: n + n2 - n + = n(n - 1) = (Tm đề bài) n + n2 - n + = -1 n2 - n + = (Vơ nghiệm) Bài 3: Tìm số ngun n cho: a) n2 + 2n - M11 b) 2n3 + n2 + 7n + M2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + Mn4 - d) n3 - n2 + 2n + Mn2 + Giải a) Tách n2 + 2n - thành tổng hai hạng tử có hạng tử B(11) n2 + 2n - M11 (n2 - 2n - 15) + 11 M11 (n - 3)(n + 5) + 11 M11 11 n 3M n = B(11) + (n - 3)(n + 5) M11 11 n = B(11) - n + M b) 2n3 + n2 + 7n + = (n2 + n + 4) (2n - 1) + Để 2n3 + n2 + 7n + M2n - M2n - hay 2n 2n 2n - Ư(5) 2n 2n 1=-5 n = - n = = -1 Vậy: n 2; 0; 1; 2n3 + n2 + 7n + M2n - n = 1=1 1=5 n = c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + Mn4 - Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) A chia hết cho B nên n A chia hết cho B n - Mn + (n + 1) - Mn + n n Mn + n n n = -3 1=-2 n = - 1=-1 n = 1=1 $ Tm) 1=2 n = (khong d) Chia n3 - n2 + 2n + cho n2 + thương n - 1, dư n + Để n3 - n2 + 2n + Mn2 + n + Mn2 + (n + 8)(n - 8) Mn2 + 65 Mn2 + Lần lượt cho n2 + 1; 5; 13; 65 ta n 0; 2; Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = (T/m) Vậy: n3 - n2 + 2n + Mn2 + n = 0, n = Bài tập nhà: Tìm số nguyên n để: a) n3 – chia hết cho n – b) n3 – 3n2 – 3n – chia hết cho n2 + n + 13 ThuVienDeThi.com c)5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn hay không tồn chia hết Bài 1: Tìm n N cho 2n – chia hết cho Giải : Nếu n = 3k ( k N) 2n – = 23k – = 8k - chia hết cho Nếu n = 3k + ( k N) 2n – = 23k + – = 2(23k – 1) + = BS + Nếu n = 3k + ( k N) 2n – = 23k + – = 4(23k – 1) + = BS + V ậy: 2n – chia hết cho n = BS Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – chia hết cho b) A = 32n + + 24n + chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho Giải: a) Khi n = 2k (k N) 3n – = 32k – = 9k – chia hết cho – = Khi n = 2k + (k N) 3n – = 32k + – = (9k – ) + = BS + Vậy : 3n – chia hết cho n = 2k (k N) b) A = 32n + + 24n + = 27 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n) Nếu n = 2k +1(k N) 9n + 16n = 92k + + 162k + chia hết cho + 16 = 25 Nếu n = 2k (k N) 9n có chữ số tận , cịn 16n có chữ số tận suy 2((9n + 16n) có chữ số tận nên A không chia hết không chia hết cho 25 c) Nếu n = 3k (k N) 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho Nếu n = 3k + 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 23k = BS + 8k = BS + 3(BS – 1)k = BS + BS + Tương tự: n = 3k + 5n – 2n khơng chia hết cho Ngày soạn: 10 – 04 - 2014 CHUYÊN ĐỀ – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC A Dạng 1: Tìm dư phép chia mà khơng thực phép chia Đa thức chia có dạng x – a (a hằng) 14 ThuVienDeThi.com a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a Ta có: f(x) = (x – a) Q(x) + r Đẳng thức với x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a f(a) = b) f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – c) f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + Ví dụ : Khơng làm phép chia, xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – không Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C Đa thức chia có bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b f(x) = g(x) Q(x) + ax + b Ví dụ 1: Tìm dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Cách 1: Ta biết x2n – chia hết cho x2 – nên ta tách: x7 + x5 + x3 + = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + chia cho x2 – dư 3x + Cách 2: Gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức với x nên với x = 1, ta có = a + b (1) với x = - ta có - = - a + b (2) Từ (1) (2) suy a = 3, b =1 nên ta dư 3x + Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) Ví dụ 2: Tìm dư phép chia a) x41 chia cho x2 + b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + Giải a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – dư x nên chia cho x2 + dư x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – dư 4x c) x99 + x55 + x11 + x + = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + chia cho x2 + dư – 2x + B Sơ đồ HORNƠ Sơ đồ 15 ThuVienDeThi.com Để tìm kết phép chia f(x) cho x – a (a số), ta sử dụng sơ đồ hornơ Nếu đa thức bị chia a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thức chia x – a ta thương b0x2 + b1x + b2, dư r ta có Ví dụ: Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – Ta có sơ đồ -5 -4 2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = r = 2 +(- 4) = 2 Vậy: x -5x + 8x – = (x – 2)(x – 3x + 2) + phép chia hết Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị đa thức x = a Giá trị f(x) x = a số dư phép chia f(x) cho x – a Ví dụ 1: Tính giá trị A = x3 + 3x2 – x = 2010 Ta có sơ đồ: -4 a = 2010 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 2010.4046130 – = 4046130 = 8132721296 Vậy: A(2010) = 8132721296 C Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác I Phương pháp: Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) Mg(x) f(x) g(x) Mg(x) cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia II Ví dụ 1.Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ta có: x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta lại có: x4n + x2n + = x4n + 2x2n + – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia hết cho x2n + xn + Vậy: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n N Ta có: x3m + + x3n + + = x3m + - x + x3n + – x2 + x2 + x + = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – x3n – chia hết cho x3 – nên chia hết cho x2 + x + Vậy: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n N Ví dụ 3: Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – 16 ThuVienDeThi.com = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có nghiệm x = x = Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – = x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x f(1) = (12 + – 1)10 + (12 – + 1)10 – = x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung, f(x) chia hết cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Ví dụ 5: Chứng minh a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giải a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta có: x2 – x + chia hết cho B = x2 – x + x9 + chia hết cho x3 + nên chia hết cho B = x2 – x + x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + (cùng có nghiệm x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8(x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – có tổng hệ số suy (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm x = 0, x = - 1, x = - Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – = x = nghiệm C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – = x = - nghiệm C(x) 1 1 ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – = x = nghiệm C(x) 2 2 Mọi nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia đpcm C(- Ví dụ 6: Cho f(x) đa thức có hệ số nguyên Biết f(0), f(1) số lẻ Chứng minh f(x) khơng có nghiệm ngun Giả sử x = a nghiệm nguyên f(x) f(x) = (x – a) Q(x) Trong Q(x) đa thức có hệ số nguyên, f(0) = - a Q(0), f(1) = (1 – a) Q(1) Do f(0) số lẻ nên a số lẻ, f(1) số lẻ nên – a số lẻ, mà – a hiệu số lẻ số lẻ, mâu thuẩn Vậy f(x) khơng có nghiệm ngun Bài tập nhà: 17 ThuVienDeThi.com Bài 1: Tìm số dư a) x43 chia cho x2 + b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + Bài 2: Tính giá trị đa thức x4 + 3x3 – x = 2009 Bài 3: Chứng minh a) x50 + x10 + chia hết cho x20 + x10 + b) x10 – 10x + chia hết cho x2 – 2x + c) x4n + + 2x2n + + chia hết cho x2 + 2x + d) (x + 1)4n + + (x – 1)4n + chia hết cho x2 + e) (xn – 1)(xn + – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 CHUYÊN ĐỀ 10 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ngày soạn:15 – - 2013 Ngày dạy: 18 - 03 - 2013 A Kiến thức: * Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c) AB AC BC ABC A’B’C’ = = A'B' A'C' B'C' 18 ThuVienDeThi.com b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c) AB AC µ µ = ; A = A' ABC A’B’C’ A'B' A'C' c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) µ = A' µ; B µ = B' µ ABC A’B’C’ A A'H' AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: = k (Tỉ số đồng dạng); SA'B'C' = K2 AH SABC B Bài tập áp dụng A Bài 1: µ= C µ , AB = cm, BC = 10 cm Cho ABC có B a)Tính AC E b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp B bao nhiêu? Giải Cách 1: Trên tia đối tia BA lấy ñieåm E cho:BD = BC C AC AD D ACD ABC (g.g) AB AC AC AB AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cách 2: · Vẽ tia phân giác BE cuûa ABC ABE ACB AB AE BE AE + BE AC = AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 AC AB CB AB + CB AB + CB AC = 12 cm b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) Vì b > anên b = a + b = a + + Neáu b = a + (a + 1)2 = a2 + ac 2a + = ac a(c – 2) = a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại) A - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c = Baøi 2: Cho ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm D Giaûi CD BC = CD = cm vaø BC = cm Ta có AD AC B C Bài toán trở Bài 3: cạnh 19 ThuVienDeThi.com Cho ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho OB2 CE = Chứng minh BD a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO laàn lượt phân giác góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải OB2 CE OB µ= C µ (gt) DBO OCE a) Từ CE = B = BD OB BD µ3 = E µ2 (1) b) Từ câu a suy O µ3 + DOE · · EOC 1800 (2) Vì B, O ,C thẳng hàng nên O µ2 + C µ EOC · 1800 (3) tam giác EOC E · µ C µ B Từ (1), (2), (3) suy DOE DO OE DOE DBO có (Do DBO OCE) = A DB OC DO OE · µ C µ B vaø (Do OC = OB) vaø DOE = DB OB nên DOE DBO OCE E µ1 = D µ2 DO phân giác góc BDE c) Từ câu b suy D I µ1 = E µ2 EO phân giác góc CED Củng từ câu b suy E D H c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi D di động AB Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) B O C Cho ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, · µ AC cho DME = B a) Chứng minh tích BD CE không đổi · b)Chứng minh DM tia phân giác BDE A c) Tính chu vi AED ABC tam giác Giải · · · µ + BDM · · µ(gt) = DME + CME =B =B a) Ta có DMC , mà DME · · µ= C µ ( ABC cân A) = BDM nên CME , kết hợp với B E suy BDM CME (g.g) I BD BM = BD CE = BM CM = a không đổi CM CE D H DM BD DM BD K b) BDM CME = = ME CM ME BM · · DM laø = BMD (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE hay · B M C tia phaân giác BDE · c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC kẻ MH CE ,MI DE, MK DB MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH 20 ThuVienDeThi.com ... x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8( x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8( x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5... f(x) = x99 + x 88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x 88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – 16 ThuVienDeThi.com = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + +...Câu Câu (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Đáp án 4 2 a x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x)
Ngày đăng: 18/03/2022, 18:27
Xem thêm:
