Đè thi học sinh giỏi huyện môn: Toán 8 Đề 328244

ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Đề KS Bài 1: a)Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x y (1) b) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vần số phương Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu Bài 3: 1 1 1    a + b + c = abc ta có    a b c a b c a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b)Cho phương trình: x  x 1  Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm x  m x 1 Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài 6a)Cho a, b số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2  + ab b)Cho S = 1 1 + + +…+ Chứng minh S > 101 102 103 200 12 ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Đề KS Bài 1: a)Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x y (1) b) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vần số phương Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu Bài 3: 1 1 1    a + b + c = abc ta có    a b c a b c a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b)Cho phương trình: x  x 1  Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm x  m x 1 Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm d Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC e Gọi CD đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân f Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài 6a)Cho a, b số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2  + ab b)Cho S = 1 1 + + +…+ Chứng minh S > 101 102 103 200 12 ThuVienDeThi.com Nội dung giải Câu a)Thêm xy vào hai vế: x  xy  y  x y  xy  ( x  y )  xy ( xy  1) (2) Ta thấy xy xy + hai số ngun liên tiếp, có tích số phương nên tồn số Xét xy = Từ (1) có x  y  nên x = y = Xét xy + = Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) (-1 ; 1) Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) nghiệm phương trình cho b) Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  N,  a , b, c, d  9, a  abcd  k Ta có:  (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m Câu với k, m  N, 31  k  m  100 abcd  k  abcd  1353  m Do đó: m2 – k2 = 1353  (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 m  k  123  m  k  11 ( k + m < 200 ) m  k  41 m  k  33  m  67 (thỏa mãn)   k  57 m  37 (loại) k   Vậy số cần tìm là: abcd = 3136 Theo gt: 1    nên a  , b  0, c  a b c Ta có:  Câu 1 1 1 1  1 1               2     a b c a b c a b c  ab bc ca  1  abc     2 4 a b c  abc  Vì a + b + c = abc (gt) nên  Bài 3: abc 1 abc 1 1 1         ( đpcm) a b c a b c a/ x  x   2.x  22  43  x  x   2x  x  4 43; 2 ThuVienDeThi.com Đặt x2-4x = t Đk: t  -4 Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0  (t + 7)(t – 5) =  t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0  (x +1)(x – 5) =  x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} b/ ĐK PT x+2 x+1  x-m x-1 (*) x–m   x  m x–1   x  Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = PT (**) có dạng : 0x = Trường hợp PT (**) vô nghiệm (1) - Với m  PT (*) có nghiệm: x = 2-m m 2-m nghiệm PT (*) phải thỏa mãn điều kiện: x  m x  m 2-m Tức :   2-m  m  m  m 2-m  m  m + m -   m - 1m +   m  m  , m  -2 Như PT (*) vô nghiệm với giá trị m  {-2 ; ; 1} Nghiệm x = Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  N,  a , b, c, d  9, a  abcd  k Ta có:  (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m với k, m  N, 31  k  m  100 abcd  k  abcd  1353  m Bài 4: Do đó: m2 – k2 = 1353  (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 ( k + m < 200 ) m  k  123 m  k  41   m  k  11 m  k  33 m  67 m  37 (thỏa mãn)  (loại)   k  57 k  Vậy số cần tìm là: abcd = 3136 ThuVienDeThi.com Câu 1: A E F P B C Ta có: AEPF hình bình hành nên AEˆ P  AFˆP Bài 4: (6 đ) Xét  EPB  FPC, ta có: EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) PEˆ B = PFˆC ( 600 - AEˆ P =600 - AFˆP )   EPB =  FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: EAˆ F  AEˆ P  180  Aˆ  Eˆ1  60 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do Â3 = Ê2 Xét  EPB  ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) Â3 = Ê2   EPB =  ABC ( cgc ) Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) (2)  PB = PC = BC Vậy  PBC Câu 2: C B D H A a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: Ta có: SABC = AC.BC = b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm  ABC vuông C AC.BC 20.15 AB.CH  CH   = 12 cm AB 25 CD tia phân giác  ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm ThuVienDeThi.com Do BC = BD ( = 15 cm ) Vậy  BDC cân B c Xét  vng : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 a)Với số a, b dương: Xét: a  b2   ab  a2 + b2 – ab   (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( a + b > 0)  a3 + b3  a + b  (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) Bài :  a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6  2a3b3  ab5 + a5b  ab(a4 – 2a2b2 + b4)    ab a  b    a, b > Vậy: a  b2   ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5  1 1   1 1  b)Ta có: A =           150   151 152 153 200   101 102 103 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta được: 1  1   101  102  103    150   150  50    1  1   151  152  153    200   200  50    1   1 1  1  A=           > + =  150   151 152 153 200  12  101 102 103  A= 1 1      101 102 103 200 12 ThuVienDeThi.com ...   ( đpcm) a b c a b c a/ x  x   2.x  22  43  x  x   2x  x  4 43; 2 ThuVienDeThi.com Đặt x2-4x = t Đk: t  -4 Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0  (t + 7)(t – 5) =  t =... 33 m  67 m  37 (thỏa mãn)  (loại)   k  57 k  Vậy số cần tìm là: abcd = 3136 ThuVienDeThi.com Câu 1: A E F P B C Ta có: AEPF hình bình hành nên AEˆ P  AFˆP Bài 4: (6 đ) Xét  EPB ... 600 - AEˆ P =600 - AFˆP )   EPB =  FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: EAˆ F  AEˆ P  180  Aˆ  Eˆ1  60 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do Â3 = Ê2 Xét  EPB  ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF)