Đề thi học sinh giỏi 12 môn Toán - Đề 2

Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phương trình *.[r]

K× thi häc sinh giái líp 12 M«n To¸n- (Thời gian 180 phút,không kể giao đề ) Bµi Cho hµm sè : f(x) = x(x-1)(x-2)…(x-2006) TÝnh f'(0) ( x  1)dx Bµi TÝnh I =  x4  Bài Tìm m để phương trình : cã nghiÖm nhÊt x x  m.2  m2   Bài Giải phương trình : x   2 x  Bài Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] phương trình: cos x  cot g x  Bµi Cho sin x  sin x  ABC, Chøng minh r»ng (p-a)(p-b)(p-c)  víi p  abc abc n Bµi TÝnh L= nlim [(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2 )], víi x <1  21 x  x  0 Bài Giải bất phương trình: 2x  Bài Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10 T×m quü tÝch ®iÓm M cho AM=3BM Bµi10 Chøng minh r»ng: NÕu n,k  N th×: n n n n  k c2 n  k  ( c n )2 c hÕt - Lop12.net *** đáp án –thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12 M«n To¸n- §¸p ¸n –thang ®iÓm nµy gåm cã : trang Bµi Néi dung Bµi ®iÓm 2.0  x=x-x0=x Ta cã  y=f(x0+  x)-f(x0) = f(  x)-f(0)= x(x  1)(x  2) (x  2006) Cho x0=0 mét sè gia Suy  y  (x  1)(x  2) (x  2006) x y ' lim f (0) = x0 = lim x x0 0.5 1.0 (x  1)(x  2) (x  2006) =(-1)(-2)…(-2006)=2006 ! 0.5 vËy f ' (0) =2006! Bµi 2.0 Ph©n tÝch x4+1 =(x2+ x+1)( x2- x+1) x2  Ax  B Cx  D  Ph©n tÝch  x  x  2x  x  2x  1  A    B  1 §ång nhÊt hai vÕ ta ®­îc  C    1 D   Lop12.net 0.5 1.0 1 dx  (2 x  )dx (2 x  )dx  VËy I=  + 2 0 x  x  2 0 x  x  x 1 1 1 1 2 = ln( x  x  1)  ln( x  x  1) = ln( ) 2 2 2 2 Bµi 0.5 2.0 Giả sử x0 là nghiệm phương trình thì -x0 là nghiệm Do tính nhÊt nghiÖm nªn x0=-x0  x0=0 Thay x0=0 vào phương trình ta m= -1, m=2 Víi m=-1, ta cã pt: x x x x x     (2  1)(2  2)      x  Víi m=2, ta cã pt: x x x x  2.2    (2  1)      x  0.5 0.5 0.5 0.5 VËy m=-1,m=2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 2.0 0.5 §Æt t= x   t  x   x   2t Pt   3  x  t  ( t  x )   x   2t  x   2t  ( x  t )[( x  )  t  2]    xt  1 1 , x= 2 1 1 Vậy phương trình có nghiệm là: x=1, x= , x= 2  x3-2x+1=0  x=1, x= Bµi 1.0 0.5 2.0 §K:sinx  0,PT  2cos2x+cotg2x=sin  2sin2x+sinx-1=0   sin x  1    sin x     x +1+ cotg2x 3  4k   x1     x2   2k   x  5  2k  Lop12.net 0.5 a.Cho  3  4k  40  k  0,1,2,3,4,5  (4k  3)  39  VËy tæng c¸c nghiÖm cña hä x1 lµ : k 0  0.5 b.Tương tự tổng các nghiệm họ x2 là :  (  2k )  43 k 1 0.5 5  2k )  35 0.5 ( c.tæng c¸c nghiÖm cña hä x3 lµ : k 0 VËy tæng c¸c nghiÖm lµ 39  +43  +35  =117  Bµi 2.0 ( p  a  b) c  Theo B§T C«Si ta cã: (p-a)(p-b)  4 (2 p  b  c) a  Tương tự: (p-b)(p-c)  4 (2 p  a  c) b  (p-a)(p-c)  4 Nh©n vÕ víi vÕ cña B§T trªn ta ®­îc : [(p-a)(p-b)(p-c)]2  ( 0.5 1.0 abc ) 4  ( p  a)( p  b)( p  c)  abc (§pcm) Bµi Nh©n vµ chia biÓu thøc lÊy giíi h¹n víi (1-x) ta ®­îc : n [(1  x)(1  x)(1  x )(1  x ) (1  x )] L= nlim  (1  x) [(1  x )(1  x )(1  x ) (1  x )] = nlim =…=  (1  x) 0.5 2.0 0.5 1.0 n n [1  ( x ) ] = lim n  1 x V× x 2n lim ( x ) =0 VËy L=  nªn n 1 x Bµi Lop12.net 0.5 2.0 V× -2x+1=-2x+1+ x lµ hµm nghÞch biÕn vµ f(1)=0 nªn f(x)=21-x f(x)>f(1)=0  x<1  1-x>0 VËy f(x) cïng dÊu víi (1-x) Vì g(x)=2x-1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0  x>0 VËy g(x) cïng dÊu víi x f ( x) 1 x       x  Suy BPT g ( x) x 1.0 0.5 0.5 VËy tËp nghiÖm cña BPT lµ: (0;1] Bµi Chọn hệ toạ độ Oxyz cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0) Gäi M(x;y;z) lµ ®iÓm tho· m·n AM=3BM  AM2=9BM2  (x+5)2+y2+z2=9(x-5)2+9 y2+9z2  x2+y2+z2- 25 x +25 =0 2.0 0.5 1.0 (*) Đây là phương trình mặt cầu Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phương trình (*) Bµi 10 0.5 2.0 Cố định n, với  k  n , xÐt d·y sè {uk} (2n  k )! (2n  k )! n!(n  k )! n!(n  k )! (2n  k  1)! (2n  k  1)! n n uk 1  c2n  k 1.c2n  k 1 n!(n  k  1)! n!(n  k  1)! n n Ta cã uk  c n c n  k   0.5 u k 1 (2n  k  1)(n  k )   u k (n  k  1)(2n  k ) 1.0  (2n+k+1)(n-k)  (n+k+1)(2n-k)  2nk+n  đúng vì  k  n VËy {uk} lµ d·y sè gi¶m n n Suy víi k  ta cã uk= n  k n  k c c  (c2nn ) =u0 HÕt - Lop12.net (®pcm) 0.5 Lop12.net